Temperierte Distributionen und die Fouriertransformation

In diesem Kapitel entwickeln wir die wesentlichen Eigenschaften der Fou-riertransformation. F¨ur unsere Zwecke notwendig ist dabei eine Einf¨uhrung in die Theorie der Distributionen, die wir voranstellen wollen. Wir werden uns hier jedoch auf temperierte Distributionen beschr¨anken.

1. Temperierte Distributionen

Definition 1.1 (Schnell fallende Funktionen). Eine Funktion ϕ∈C^∞(Rⁿ) heißt schnell fallend, falls f¨ur alle Multiindizes α, β∈Nⁿ

d_α,β(ϕ) := sup

x∈Rⁿ

{|x^αD^βϕ(x)|}<∞.

Wir bezeichnen die Menge aller schnell fallenden Funktionen mit S.

Weiter versehen wirSmit der Topologie, die von der Menge der Halbnormen {d_α,β:α, β∈N^d} induziert wird.

Bemerkung 1.2. (a) Nach Definition konvergiert eine Folge(ϕn)n∈N⊂ S gegen ϕ∈ S, wenndα,β(ϕn−ϕ)→0 f¨ur alle α, β∈N^d gilt.

(b) Der Raum der schnell fallenden Funktionen ist ein Fr´echet-Raum.

Denn eine abz¨ahlbare Familie von Halbnormen ist gegeben durch dj(ϕ) := sup

|α|=j

sup

x∈Rⁿ

{(1 +|x|²)^j|D^αϕ(x)|}, j ∈N. und

d(ϕ, ψ) :=

∞

X

j=0

2^−jd_j(ϕ−ψ) 1 +d_j(ϕ−ψ)

definiert eine Metrik auf S mit der dieser Raum vollst¨andig ist.

Definition 1.3. Der Dualraum von S (versehen mit der schwach-* To-pologie) heißt der Raum der temperierten Distributionen und wird mit S⁰ bezeichnet. D.h.:

S⁰ :={f :S →C:f ist linear und stetig}.

Wir schreiben hf, ϕi f¨ur die duale Paarung zwischen S⁰ und S.

Bemerkung 1.4. (a) Eine Folge (T_n)n∈N ⊂ S⁰ konvergiert gegen T ∈ S⁰, falls hT_n−T, ϕi →0 f¨ur alle Testfunktionen ϕ∈ S.

40

1. TEMPERIERTE DISTRIBUTIONEN 41

(b) Die Definition der Ableitung stimmt f¨ur stetig differenzierbare Funk-tionen mit der ¨ublichen Definition der Ableitung ¨uberein.

Beispiele 1.5. (a) Es seif :Rⁿ→Cmessbar mitR

(1+|x|²)^−rf(x)dx <

∞ f¨ur ein r≥0. Dann definiert Tf(ϕ) :=

Z

f ϕdx

eine temperierte Distribution. Insbesondere ist also in diesem Sinne L^p(Rⁿ)⊂ S⁰ f¨ur 1≤p≤ ∞.

(b) Das Auswertfunktional δ(ϕ) :=ϕ(0)definiert ebenfalls eine tempe-rierte Distribution die sogenannte Diracsche δ-Distribution.

(c) Cauchy Hauptwert:

Durch

ch− 1

x(ϕ) := lim

ε→0

Z

|x|>ε

ϕ(x)1 x dx wird eine Distribution in S⁰(R) definiert.

Proof. Einfach, bzw. in den ¨Ubungen.

Definition und Satz 1.6. Es seienT ∈ S⁰, ψ∈ S und p ein Polynom.

(a) Die AbleitungD_i in Richtung i= 1, . . . , dist definiert durch hD_iT, ϕi:=−hT, D_iϕi.

(b) Die Multiplikation von T mitψ bzw. p ist definiert durch hψT, ϕi:=hT, ψϕi ϕ∈ S

hpT, ϕi:=hT, pϕi ϕ∈ S

Diese Definitionen sind wohldefiniert, d.h. f¨ur α∈N^d gilt D^αT, pT, ψT ∈ S⁰.

Proof. Ubung¨

Mit Hilfe der Notation ˜τxg(y) := g(x−y) ¨ubertragen wir die Faltung auf Distributionen.

Definition1.7 (Faltung von Distributionen mit Funktionen). Es seien T ∈ S⁰, ϕ∈C_c^∞(R^d). Dann definieren wir die Faltung T∗ϕdurch

(T ∗ϕ)(x) =hT,τ˜_xϕi.

Satz 1.8. Es seien T ∈ S⁰ und ϕ∈C_c^∞(R^d), dann gilt T∗ϕ∈C^∞(R^d) mit D_j(T ∗ϕ) = (D_jT)∗ϕ=T ∗(D_jϕ).

Proof. 1.T∗ϕist stetig:

Es gilt ˜τzϕ(y)−˜τxϕ(y) =ϕ(z−y)−ϕ(x−y) und damit folgt ˜τzϕ(y)→τ˜xϕ(y) in S, falls z → x (MWS). Also hT,τ˜_zϕi → hT,τ˜_xϕi und damit limz→x(T ∗ ϕ)(z) = (T ∗ϕ)(x).

2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 42

2. Differenzierbarkeit: Es seih∈R\{0}undeideri-te Einheitsvektor. Dann gilt

1

h(˜τx+heiϕ−˜τxϕ) (y) = 1

h(ϕ(x+hei−y)−ϕ(x−y)). Wie oben folgt daher ¹_h(˜τ_x+heiϕ−τ˜_xϕ)^h→0→ τ˜_x(∂_iϕ) in S. Also folgt

∂i(T ∗ϕ)(x) = lim

h→0

1

hhT,τ˜_x+heiϕ−τ˜xϕi

= lim

h→0hT, 1

h(˜τx+heiϕ−τ˜xϕ)i

T stetig

= hT,τ˜x∂iϕi

Def= (T ∗∂iϕ) (x)

und damit existiert die partielle Ableitung vonT∗ϕmit∂_i(T∗ϕ) =T∗∂_iϕ.

Insbesondere ist damit ∂_i(T ∗ϕ) eine stetige Funktion. Mit Induktion folgt schließlich (T∗ϕ)∈C^∞(R^d).

3.∂i(T ∗ϕ) = (∂iT)∗ϕ:

Es gilt (∂_iϕ)(x−y) = −(∂_iϕ(x− ·))(y), also ist auch ∂_i(˜τ_xϕ) = −˜τ_x(∂_iϕ) damit rechnen wir unter Verwendung von Obigem

∂_i(T∗ϕ)(x) = (T ∗∂_iϕ)(x) =hT,τ˜_x(∂_iϕ)i

=hT,−∂_i(˜τ_xϕ)i=h∂_iT,τ˜_xϕi= ((∂_iT)∗ϕ) (x).

2. Die Fouriertransformation

Definition 2.1. F¨ur f ∈L¹(R^d) ist die Fouriertransformation von f defi-niert durch

Ff(ξ) := ˆf(ξ) := 1 (2π)^d2

Z

R^d

e^−ihx,ξif(x) dx.

Lemma 2.2. Es seif ∈L¹(R^d). Dann ist fˆ∈BC(R^d) und es gilt kfˆk_L∞(R^d)≤ 1

(2π)^d2

kfk_L1(R^d).

Proof. Es sei ξ∈R^d und (ξk)⊂R^d mitξk→ξ. Dann gilt

k→∞lim |fˆ(ξk)−fˆ(ξ)| ≤ lim

k→∞

1 (2π)^d2

Z

R^d

|f(x)|

e^−ihx,ξki−e^−ihx,ξi

Lebesgue

= 0, d.h. ˆf ist stetig. Desweiteren gilt:

|fˆ(ξ)| ≤ 1 (2π)^d2

Z

R^d

|f(x)|= 1 (2π)^d2

kfk_L1(R^d), ξ∈R^d.

2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 43

Proof. (a) Wir erhalten mit Fubini:

Z

2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 44

also ist e^|ξ|2/4afˆ(ξ) konstant. Die Konstante ergibt sich aus fˆ(0) = 1

Somit erhalten wir die Behauptung f¨urd= 1. Der allgemeine Fall folgt nun mit Fubini:

2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 45

Theorem 2.6 (Inversionsformel der Fouriertransformation). Seien f,fˆ ∈ L¹(R^d). Dann gilt:

( ˆf)ˇ=fbˇ=f, f. ¨u.

Proof. F¨urt >0,x∈R^dsetze

ϕ_x,t(z) := e^ihx,zie^−t2|z|2. Dann gilt:

ˆ

ϕx,t(ξ) = 1 (2π)^d2

Z

R^d

e^ihx−ξ,zie^−t2|z|2 dz= 1 2^d2t^de⁻

|x−ξ|2 4t2

= (2π)^d2 1 (4π)^d2t^de⁻

|x−ξ|2

4t2 := (2π)^d2gt(x−ξ), wobeig(x) = ¹

(4π)^d2e^−|x|2/4 und gt(x) := 1/t^dg(x/t). Somit gilt:

Z

R^d

ϕ_x,t(ξ) ˆf(ξ) dξ= Z

R^d

f(ξ) ˆϕ_x,t(ξ) dξ (22)

= (2π)^d2 Z

R^d

f(ξ)gt(x−ξ) dξ= (2π)^d2(f∗gt)(x).

Man zeigt (vgl. Mollifier)

limt→0kf∗gt−fk_L1(R^d)= 0.

Desweiteren gilt:

limt→0

Z

R^d

ϕ_x,t(ξ) ˆf(ξ) dξ= Z

R^d

e^ihx,ξifˆ(ξ) dξ= (2π)^d2( ˆf)ˇ(x).

(23)

Aus (22) und (23) folgt f = ( ˆf)ˇ. Analog zeigt manf =bfˇ. Korollar 2.7. Sei f ∈L¹(R^d) und fˆ= 0. Dann gilt f = 0.

Proof. Klar.

Theorem 2.8 (Plancherel). Seif ∈L¹(R^d)∩L²(R^d). Dann ist fˆ∈L²(R^d) und die Abbildung F |_L1(R^d)∩L²(R^d) kann eindeutig zu einem unit¨arem Iso-morphismus F₂ auf L²(R^d) fortgesetzt werden.

Proof. Sei X := {f ∈ L¹(R^d) : ˆf ∈ L¹(R^d)}. Dann ist insbesondere f ∈L^∞(R^d), d.h.X⊂L²(R^d). Ferner ist X dicht inL²(R^d), daC_c^∞(R^d)⊂ X.

Seien f, g∈X undh:= ˆg. Dann gilt:

ˆh(ξ) = 1 (2π)^d2

Z

R^d

e^−ihx,ξig(x) dxˆ = 1 (2π)^d2

Z

R^d

e^ihx,ξig(x) dxˆ =g(ξ),

2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 46

d.h.

Z

R^d

f g= Z

R^d

fhˆ= Z

R^d

f hˆ = Z

R^d

fˆˆg.

Insbesondere folgt mit g=f, dass kfk_L2(R^d)=kfkˆ _L2(R^d) gilt. Da FX =X kann F |_X zu einem unit¨aren Isomorphismus F₂ fortgesetzt werden.

Es bleibt zu Zeigen, dass

(F₂f)(ξ) = ˆf(ξ), f ∈L¹(R^d)∩L²(R^d).

Sei (ϕj)⊂C_c^∞(R^d) mit

j→∞lim kf−ϕjk_L1(R^d)= 0

j→∞lim kf−ϕ_jk_L2(R^d)= 0.

Einerseits gilt limj→∞kfˆ−ϕˆjk_L∞(R^d) = 0, d.h.

j→∞lim Z

B(0,R)

|ϕˆ_j(ξ)−fˆ(ξ)|dξ= 0, R >0.

Andererseits folgt mit Plancherel

j→∞lim kϕˆ_j− F₂fk_L2(R^d)= lim

j→∞kϕ_j−fk_L2(R^d) = 0, d.h.

j→∞lim Z

B(0,R)

|ϕˆ_j(ξ)− F₂f(ξ)|dξ = 0, R >0.

Damit folgtF₂f(ξ) = ˆf(ξ) f¨ur alle f ∈L¹(R^d)∩L²(R^d).

Satz 2.9 (Hausdorff-Young-Ungleichung). Sei ¹_p + ¹_q = 0 mit p ∈ [1,2].

Der Operator F kann zu einem stetigen Operator F_p,q :L^p(R^d) → L^q(R^d) fortgesetzt werden. Es gilt:

kF_p,qk_L(Lp(R^d),L^q(R^d))≤ 1 (2π)^np−d2

.

Proof. Wir wissen bereits, dass F : L¹(R^d) → L^∞(R^d) und F₂ : L²(R^d) →L²(R^d) stetig sind. Daher folgt die Behauptung aus dem Riesz–

Thorin Konvexit¨atstheorem (man ersetze∞ durch 2).

Bemerkung 2.10. F¨ur p > 2 und f ∈ L^p(R^d) ist fˆi. A. keine Funktion mehr (vgl. Distributionen-Theorie).

Proof. Ohne Beweis.

Satz 2.11. Seik∈N0. Dann gilt:

2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 47

(a) Seix7→x^αf(x)∈L²(R^d) f¨ur alle α∈N^d₀ mit |α| ≤k. Dann gilt

∂^αfˆ=(−ix)\^αf . (b) Sei f ∈H^k(R^d). Dann gilt

∂d^αf(ξ) = (iξ)^αfˆ(ξ), ξ∈R^d f¨ur alleα∈N^d₀ mit|α| ≤k.

Proof. Nach Satz 2.3 gilt die Behauptung f¨urϕ ∈C_c^∞(R^d). Approxi-miere f ∈L²(R^d) mit (ϕn)⊂C_c^∞(R^d) und nutze Plancherel.

Satz 2.12. Die Fouriertransformation ist ein topologischer Isomorphismus von S nach S.

Proof. Wegen einfacherer Notation setzen wir zun¨achstD^α = (−i)^|α|∂^α f¨urα∈N^d Wir verwenden Satz 2.3 und erhalten f¨urϕ∈ S und α, β∈N^d

|ξ^αD^βϕ(ξ)|ˆ =|ξ^α(−1)^|β|F(xβϕ)|

=|F(D^α(−x)^βϕ)|

≤ 1

(2π)d/2 Z

R^d

|D^α(x^βϕ(x))|dx

= 1

(2π)d/2 Z

R^d

(1 +|x|²)^−m(1 +|x|²)^m|Dα(x^βϕ(x))|dx.

W¨ahlen wir m so, dassR

(1 +|x|²)^−mdx=M <∞ gilt, so folgt

|ξ^αD^βϕ(ξ)| ≤ˆ sup

x∈R^d

(1 +|x|²)^m|Dα(x^βϕ(x))|M (24)

Da ϕ ∈ S gilt, folgt somit auch Fϕ ∈ S. F ist linear und mit (24) folgt auch, dass Fϕ_n→0, fallsϕ_n→0, also ist F stetig.

Mit Theorem 2.6 folgt schließlich die Bijektivit¨at und die Stetigkeit vonF⁻¹,

da F⁻¹ϕ(x) =Fϕ(−x).

Setzt man die Fouriertransformation in nat¨urlicher Weise auf komplexe Va-riablen fort, so erhalten wir die folgende Verbindung zwischen holomorphen Funktionen und Funktionen mit kompaktem Tr¨ager. Wir bemerken hierzu noch, dass eine Funktion F : C^d → C holomorph ist, wenn sie in jeder Koordinate holomorph ist.

Satz2.13 (Paley-Wiener). Eine ganze holomorphe FunktionF(ζ) :C^d→C ist genau dann die Fouriertransformierte einer Funktion f ∈ C_c^∞(R^d) mit supp(f)⊂B(0, R), d.h.

F(ζ) = (2π)^−d2 Z

R^d

e^−ihζ,xif(x) dx,

2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 48

wenn es f¨ur jedesN ∈N eine Konstante CN gibt, so dass (25) |F(ζ)| ≤CN(1 +|ζ|)^−Ne^R|Imζ|.

Proof. Es seif ∈C_c^∞(R^d) mit suppf ⊂B(0, R). Dann folgt mit par-tieller Integration f¨ur jedes β∈N^d mit|β|=N

|(iζ)^βF(ζ)|=|(2π)^−d/2 Z

B(0,R)

e^−ihζ,xi∂^βf(x) dx|

≤e^|Imζ|R(2π)^−d/2 Z

B(0,R)

|∂^βf(x)|dx F¨ur die R¨uckrichtung definieren wir zun¨achst

f(x) = (2π)^−d/2 Z

R^d

e^ihξ,xiF(ξ).

(26)

Die Inversionsformel liefert nun, dass ˆf(ξ) =F(ξ) undf ∈C^∞(R^d) gilt, da aus der Glattheit vonF folgt, dass ˇF ∈L¹(R^d) gilt.

Zur Eingrenzung des Tr¨agers vonf differenzieren wir zun¨achst (26) unterm Integralzeichen. Dies ist durch die Voraussetzung (25) gerechtfertigt. Es folgt somit

∂^βf(x) = (2π)^−d/2 Z

R^d

e^ihx,ξi(iξ)^βF(ξ) dx (27)

Wir setzen nun f¨ur ein α > 0 η = α_|x|^x und wenden Cauchys Integralsatz sukzessive auf (26) an und erhalten

f(x) = (2π)^−d/2 Z

R^d

e^ihx,ξ+iηiF(ξ+iη) dξ

wobei die Integrale ¨uber die Wege in imagin¨arer Richtung wegen (25) im Grenzfall verschwinden.

F¨urN =d+1 erhalten wir nun wieder mit der Voraussetzung die Absch¨atzung

|f(x)| ≤Ce^{R|η|−hx,ηi} Z

R^d

(1 +|ξ|)^−d−1dξ.

Da dies f¨ur beliebige α > 0 gilt, folgt (mit α → ∞) f¨ur |x| > R, dass

f(x) = 0. Also folgt suppf ⊂B(0, R).

Definition und Satz 2.14. Sei m ∈ L^∞(R^d). Dann ist T_m : L²(R^d) → L²(R^d), T_mf :=F₂⁻¹(mF₂f) ein stetiger Operator mit

kT_mk_L(L2(R^d)) =kmk_L∞(R^d). Die Funktion m heißt Fourier–Multiplikator.

2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 49

Proof. Plancherel liefert

kT_mfk_L2(R^d) =kF₂⁻¹(mF₂f)k_L2(R^d)=kmF₂fk_L2(R^d)

≤ kmk_L∞(R^d)kF₂fk_L2(R^d)

=kmk_L∞(R^d)kfk_L2(R^d), f ∈L²(R^d), d.h. kT_mk_L(L2(R^d))≤ kmk_L∞(R^d).

Zuε >0 w¨ahle Ω⊂R^dmit 0<|Ω| ≤1 mit infx∈Ω|m(x)| ≥ kmk_L∞(R^d)−ε.

Dann gilt f¨urϕ=χ_Ω

kT_m(F₂⁻¹ϕ)k_L2(R^d)=kmF₂F₂⁻¹ϕk_L2(R^d)=kmϕk_L2(R^d)

≥

kmk_L∞(R^d)−ε

kϕk_L2(R^d),

d.h. kT_mk_L(L2(R^d))=kmk_L∞(R^d).

Bemerkung 2.15. Man kann zeigen, dass m ∈ L^∞(R^d) eine notwendige Bedingung ist.

Definition2.16. Die Fouriertransformation f¨ur temperierte Distributionen ist definiert durch hFf, ϕi:=hf,Fϕi, f ∈ S⁰, ϕ∈ S.

Satz 2.17. Die Fouriertransformation F :S⁰→ S⁰ ist stetig. Ist ψ∈ S und ist Tψ ∈ S⁰ die von ψ erzeugte Distribution (via hT_ψ, ϕi := R

ψϕ), so gilt Tˆψ =Tψˆ.

Proof. FT ∈ S⁰ folgt aus der Stetigkeit vonF auf S, da f¨urϕk→ϕ hFT, ϕ_ki=hT,Fϕ_ki → hT,Fϕi=hFT, ϕi

gilt.

Die Stetigkeit vonF auf S⁰ folgt ¨ahnlich, denn f¨urT_k →T inS⁰ folgt hTˆ_k, ϕi=hT_k,ϕi → hT,ˆ ϕiˆ =hT , ϕiˆ

Satz 2.18. Die Fouriertransformation ist ein Isomorphismus auf S⁰ mit InverserhF⁻¹T, ϕi=hT,F⁻¹ϕi.

Proof. Es sei T ∈ S⁰ und ϕ∈ S. Dann gilt

hF F⁻¹T, ϕi=hF⁻¹T,F⁻¹ϕi=hT,F F⁻¹ϕi=hT, ϕi

also folgt F F⁻¹ =IdS⁰ und analogF⁻¹F =IdS⁰.

KAPITEL 5

Im Dokument Partielle Differentialgleichungen I Matthias Geißert, Robert Haller-Dintelmann, Horst Heck (Seite 44-54)