3.5 Teilbarkeit und Euklidischer Algorithmus
Die Teilbarkeit ist der erste Schritt zur Zahlentheorie. In der zweiten Klasse Unterstufe werden den Schülern wichtige Teilbarkeitsregeln mitgeteilt und anhand von Beispielen begründet. Die Summen- und Produktregel, die Teilbarkeitsregeln für das Teilen durch besondere Zahlen aber auch derggT und daskgV werden im Schulunterricht mittels Primfaktorzerlegung ermittelt. Hier wer-den also zumindest einige Grundbegriffe erklärt, auf die man bei der Beschäftigung mit Zahlen-theorie zurückgreifen kann. Da man eine ohnehin sicher knapp bemessenen Zeit für ZahlenZahlen-theorie in der Schule zur Verfügung hat, wird man sicher nicht langwierig zunächst das Kapitel Teilbar-keit behandeln. Die entsprechenden Definition und Regeln wird man immer nur dann bringen und begründen, wenn man sie braucht. Noch dazu, wo viele dieser Regeln den Schülern unmittelbar einsichtig erscheinen. Es sei jetzt hier ganz kurz das Wichtigste über Teilbarkeit ohne Beweise zusammengestellt:
Definition 3.5.1. Es seien aund bganze Zahlen. Man sagt: ateilt b, wenn es eine ganze Zahlq gibt, sodassa·q= bund schreibt dafüra|b.
Satz 3.1.
Für alle ganzen Zahlena,b,c,d ∈Zgilt:
• ±1,±asind stets Teiler von a (die sog. unechten oder trivialen Teiler von a)
• a|0
• a|bundb|c=⇒a|c
• a|b⇐⇒ac|bcmitc,0
• a|bunda|c=⇒a|(xb+yc) fürx,y∈Z
• a|bundc|d =⇒ ac|bd
• a|bundb,0=⇒|a|≤|b|
• a|bundb|a=⇒a= ±b
Satz 3.2.
Sei aeine ganze Zahl und b eine positive ganze Zahl. Dann existiert genau ein Paar von ganzen Zahlen (q,r), sodass 0≤r <bunda=b·q+rgilt.
3.5 Teilbarkeit und Euklidischer Algorithmus
Dieser Satz erscheint den Schülern unmittelbar einsichtig, obwohl er nicht ganz so trivial ist. Es genügt aber sicher, wenn man im Zusammenhang mit dem Euklidischen Algorithmus nur auf diesen Satz hinweist.
Definition 3.5.2. Es seienaundbganze Zahlen. Die Zahlcheißt gemeinsamer Teiler vonaundb wennc|aundc|b.
Definition 3.5.3. Die größte ganze Zahl, die gemeinsamer Teiler vonaundbist, nennt man größter gemeinsamer Teiler vonaundbund schreibt ggT(a,b).
Definition 3.5.4. Ganze Zahlenaundb, für dieggT(a,b) = 1 gilt, heißen teilerfremd oder relativ prim.
In der Schule wird der größte gemeinsame Teiler über die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen aundbberechnet. In der Zahlentheorie erweist sich aber eine andere Methode als zweckmäßig um den ggT zweier ganzer Zahlen a undb zu berechnen: Der Euklidische Algorithmus, den Euklid bereits in seinen “Elementen” als Möglichkeit zur Berechnung des ggT beschreibt. Hat man in einem Wahlpflichtfach vor, mehr Zahlentheorie zu machen, dann ist es unbedingt notwendig, diesen Algorithmus eingehender zu behandeln.
Zunächst kann man folgendes festhalten: Wegen
ggT(a,b)=ggT(b,a), ggT(a,0)=|a| undggT(a,b)= ggT(|a|,|b|) genügt es im Folgenden den Falla≥ b>0 zu betrachten.
Um nun den größten gemeinsamen Teiler vona ≥ b> 0 zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor:
a=bq1+r1 0<r1 < b b=r1q2+r2 0<r2 < r1
r1= r2q3+r3 0<r3 < r2
. . . .
Wir erhalten dadurch eine monotone abnehmende Folge positiver Zahlen:
b> r1 >r2 >r3 > . . .
Diese kann also nur endlich viele Glieder enthalten. Das Verfahren bricht also nach endlich vielen Schritten ab. Dies kann aber nur dann der Fall sein, wenn der Rest 0 auftritt, denn sonst ergibt sich stets ein neuer Schritt in diesem Verfahren. Die drei letzten Zeilen sehen so aus:
3.5 Teilbarkeit und Euklidischer Algorithmus
rn−3= rn−2qn−1+rn−1 0<rn−1< rn−2
rn−2= rn−1qn+rn 0<rn <rn−1 rn−1= rnqn+1
Wir setzen nund =rn, dann gilt:
d>0, d|rn−1 ⇒d |rn−2 ⇒d|rn−3 ⇒. . . ⇒d|b⇒d |a⇒d |a und d |b
Es seiteine weiterer Teiler vonaundb. Aust |aundt|bfolgt
t|r1 ⇒t |r2 ⇒t |r3 ⇒. . .⇒ t|rn⇒ t|d.
Die Zahldist also die größte natürliche Zahl, die a und b teilt, alsod= ggT(a,b).
Dieses Verfahren ist zugleich Existenzbeweis, Eindeutigkeitsbeweis und Berechnungsmethode.
Ein Beispiel dazu:
Beispiel 3.5.1. Berechne denggT von 8991 und 3293:
Lösung:
8991 = 3293·2 + 2405 3293 = 2405·1 + 888 2405 = 888·2 + 629 888 = 629·1 + 259 629 = 259·2 + 111
259 = 111·2 + 37
111 = 37·3 Also:ggT(8991,3293)= 37
Man kann bei der Durchführung des Euklidischen Algorithmus einfach zusätzliche Informationen herausholen, die sich später als sehr nützlich erweisen werden. Wir demonstrieren das gleich an-hand dieses Beispiels. Wir schreiben den Euklidischen Algorithmus etwas anders an:
3.5 Teilbarkeit und Euklidischer Algorithmus
Man multipliziert immer mit dem entsprechendenqi (vergleiche oben mit dem Euklidischen Algo-rithmus) und subtrahiert die entstehende Gleichung von der vorhergehenden. Man führt also auf der linken Seite den Euklidischen Algorithmus aus, während rechts immer eine Linearkombination vona(8991) undb(3293) steht. Das kommt den Schülern vom Lösen zweier linearer Gleichungen bekannt vor, sie müssen sich nur den etwas trickreichen Ansatz der ersten und der zweiten Zeile merken. Welche zusätzliche Information hat man nun mit diesem “erweiterten Euklidischen Algo-rithmus” gewonnen? Wir haben 37= ggT(8991,3293) als Linearkombination von 8991 und 3293 dargestellt, denn es gilt:
37=−26·8991+71·3293
Allgmein kann man das so interpretieren: In der Spalte ri steht genau die monoton abnehmende Folge positiver Zahlen
a> b>r1 >r2 >r3 > . . .
des Euklidischen Algorithmus von oben. Der Vollständigkeit halber setzt manr−1 = aundr0 = b.
Die Folge muss igendwann abrechen, das heißt es tritt der Rest 0 auf. Jede diese Zahlen ri lässt sich als Linearkombination vona undb darstellen, wobei die Zahlen in den Spalten xi und yi die jeweiligen Koeffizienten angeben. Hier ist sicher der Hinweis notwendig, dass die Summe zweier Linearkombinationen von aundb wieder eine Linearkombination vona undbergibt. Daher gibt es auch für die letzte Zeiled= rn, das ist nach dem oben Bewiesenen derggT vonaundb, so eine Darstellung. Wir können daher folgenden Satz aussprechen:
Satz 3.3.
Giltd =ggT(a,b), so gibt es zwei ganze Zahlenxundy, sodass gilt:
d =ax+by (3.2)
Bemerkung: Auf die rekursive Definition der Folgenri, xi undyi wird man im Unterricht nicht ein-gehen. Es ist vollkommen ausreichend, wenn die Schüler mit diesem Algorithmus rechnen können, ihn verstehen und wissen, was er leistet.
Dieses Verfahren, das auch auch unter den Namen Berlekamp - Algorithmus bekannt ist, kann man noch weiter formalisieren, wie in der folgenden Tabelle zu sehen ist:
3.5 Teilbarkeit und Euklidischer Algorithmus
ri xi yi qi
8991 1 0
3293 0 1 2
2405 1 −2 1
888 −1 3 2
629 3 −8 1
259 −4 11 2
111 11 −30 2
37 −26 71 3
0
Tabelle 3.5: Der Berlekamp - Algortihmus
Wie kann man denggT von zwei Zahlen mit DERIVE berechnen?
Bevor man daran geht hier einen Befehl zu schreiben, wird man noch folgenden Satz bringen:
Satz 3.4.
Es seienaundbganze Zahlen. Für alle ganzen Zahlen gilt:
ggT(a,b)=ggT(b,a−bk) Beweis: Es seir= a−bk,d1 =ggT(a,b) undd2 =ggT(b,r).
Dad1 | a undd1 | bk, gilt d1 | r = a−bk. Dad1 gemeinsamer Teiler von bundr ist, aberd2 der größte gemeinsame Teiler vonbundrist, gilt:
d2≥ d1
Umgekehrt folgt aber ausa=bk+ranalog zu obend2 |aund daher istd2 gemeinsamer Teiler von aundb. Da aberd1 der größte gemeinsame Teiler vonaundbist, gilt folglich:
d2≤ d1
Zusammenfassend haben wird1 =d2 und damit ist der Satz bewiesen.
Diesen Satz kann man nun verwenden um einen DERIVE Befehl für denggT(a,b) zu schreiben:
GGT1(a, b) := IF(b = 0, a, GGT1(b, ABS(a - b)))
3.5 Teilbarkeit und Euklidischer Algorithmus
oder besser:
GGT2(a, b) := IF(b = 0, a, GGT2(b, MOD(a, b)))
Die vorprogrammierte FunktionGCD(a1,a2, . . . ,an)berechnet ebenfalls den größten gemeinsamen Teiler der Zahlena1,a2, . . . ,an.
Der Euklidische Algorithmus ist durch ein Programm von J. Wiesenbauer gut ersichtlich, da jeder Schritt des Algorithmus gezeigt wird.
Um es an einem einfachen Beispiel zu zeigen, wollen wir den größten gemeinsamen Teiler von 12345 und 6543 berechnen.
Um den erweiterten Euklidischen Algorithmus in DERIVE zu berechnen, kann man auch folgenden Befehl eingeben. Dieser ermöglicht eine genaue Auflistung der einzelnen Linearkombinationen.
3.5 Teilbarkeit und Euklidischer Algorithmus
s_ := ADJOIN([FIRST(a), FIRST(b), FIRST(REST(a)), FIRST(REST(b))], s_) q_ := FLOOR(FIRST(a), FIRST(b))
r_ := a - q_·b a := b
b := r_
An einem Beispiel ist nun für die Schüler gut ersichtlich, wie der erweiterte Euklidische Algorith-mus funktioniert.
2345234 6455243 [1, 0] [0, 1]
6455243 2345234 [0, 1] [1, 0]
2345234 1764775 [1, 0] [-2, 1]
1764775 580459 [-2, 1] [3, -1]
580459 23398 [3, -1] [-11, 4]
23398 18907 [-11, 4] [267, -97]
18907 4491 [267, -97] [-278, 101]
4491 943 [-278, 101] [1379, -501]
943 719 [1379, -501] [-5794, 2105]
719 224 [-5794, 2105] [7173, -2606]
224 47 [7173, -2606] [-27313, 9923]
47 36 [-27313, 9923] [116425, -42298]
36 11 [116425, -42298] [-143738, 52221]
11 3 [-143738, 52221] [547639, -198961]
3 2 [547639, -198961] [-1786655, 649104]
2 1 [-1786655, 649104] [2334294, -848065]
In unserem Beispiel ergeben sich in der 5. Zeile also folgende Linearkombinationen:
3·2345234−1·6455243= 580459
−11·2345234+4·6455243=23398
Kapitel 4 Primzahlen
4.1 Grundlegendes
Die Primzahlen und ihre faszinierenden Eigenschaften haben zu allen Zeiten Mathematiker in ihren Bann gezogen. Namen wie Fermat, Euler, Lagrange, Legendre, Gauß, usw. lassen sich hier als Bei-spiel anführen. Das Studium der Primzahlen ist, wenn man so will, das Kernstück der Zahlentheorie.
Eine Fülle von Gesetzmäßigkeiten wurde im Laufe der Jahrhunderte entdeckt und der Themenkom-plex Primzahlen bietet genug Material um die eine oder andere interessante Unterrichtseinheit zu gestalten. Die Begriffe Primzahl, Sieb des Eratosthenes und der Fundamentalsatz der Zahlentheorie findet man noch in jedem besseren Lehrbuch für Mathematik.
Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie lautet:
Satz 4.1.
Jede natürliche Zahla > 0 ist als Produkt endlich vieler Primzahlen darstellbar. Diese Darstellung ist eindeutig, wenn man die in ihr vorkommenden Primzahlen der Größe nach ordnet.
In einem Wahlpflichtfach mit Schwerpunkt “Primzahlen” kann man durchaus den exakten Beweis dafür bringen. Jedoch kann man auf einen Beweis des Fundamentalsatzes im Normalunterricht verzichten, da der Inhalt dieses Satzes den Schülern sowieso evident erscheint und man mit einem strengen Beweis die Schüler eher demotiviert. Hingegen sollte man in diesem Zusammenhang unbedingt auf drei Dinge hinweisen:
• Die Primzahlen sind die multiplikativen Bausteine der natürlichen Zahlen.
• Würde man 1 zu den Primfaktoren zählen, so wäre der obige Satz falsch, da man zur Primfak-torzerlegung einer natürlichen Zahl stets beliebig viele Faktoren 1 dazuschreiben könnte und die Darstellung somit nicht eindeutig wäre. Das ist der Grund, warum bei der Definition der Primzahlen 1 ausgeschlossen wird. Vielleicht merken sich so die Schüler, dass 2 die kleinste Primzahl ist.
4.1 Grundlegendes
• Gemäß mathematischer Konvention hat das sogenannte leere Produkt aus null Faktoren den Wert 1 und stellt damit die Primfaktorzerlegung der 1 dar.
Nicht auslassen darf man hier den Beweis des Satzes von Euklid, denn die Schüler einer AHS sollten diesen einfachen Beweis kennen. Es ist ein Muss in der Schule diesen Beweis durchzunehmen, da der Satz einen ähnlichen Stellenwert wie der Satz des Pythagoras besitzt. Der Beweis kann durchaus schon in einer fünften Klasse Oberstufe gebracht werden:
Satz 4.2. “Satz von Euklid”
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis: Man erklärt zunächst die einfache Teilbarkeitsregel:
t |aundt-b=⇒ t-a+b
Wir multiplizieren jetzt die ersten zwei, drei, ... Primzahlen, addieren jeweils den Wert 1 und ermitteln das Ergebnis:
2·3+1= 7 2·3·5+1= 31 2·3·5·7+1=211 2·3·5·7·11+1= 2311 2·3·5·7·11·13+1=30031
Die Werte auf der rechten Seite können alle nicht durch die Primzahlen, die auf der linken Seite im Produkt auftreten, teilbar sein. Daher steht rechts entweder eine neue Primzahl (7, 31, 211, 2311) oder eine Zahl, die einen Primteiler besitzt, der größer als die links auftretenden ist (30031= 59· 509). Aus der entsprechenden Verallgemeinerung folgt sogleich, dass es nicht endlich viele Primzahlen geben kann. Vielleicht führt man aber hier auch einen strengeren indirekten Beweis, der in einem Wahlpflichtfach durchaus gezeigt werden kann:
Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlenp1, p2, p3,. . . , pr.
Wir bilden nun wie oben die Zahln = p1p2p3· · ·pr+1.Da bei der Division vonndurch eine der Primzahlen p1, p2, p3,. . . , pr stets der Rest 1 bleibt und jede natürliche Zahl> 1 mindestens eine Primzahl als Teiler besitzt, mussn entweder selbst eine neue Primzahl sein oder einen Primteiler verschieden von p1, p2, p3,. . . , prbesitzen. Beide Fälle stehen aber im Widerspruch zur Annahme.
Aus dem Beweis folgt auch, dass es keine größte Primzahl gibt.