5. Applikationen
5.3 Städte und Gemeinden mit mehr als 500 Einwohnern
Als letztes Anwendungsbeispiel betrachten wir uns alle Städte und Gemeinden in der Bundesrepublik Deutschland mit mehr als 500 Einwohnern.
Dabei handelt es sich um 9422 Städte und Gemeinden.
51 5.3 Städte und Gemeinden mit mehr als 500 Einwohnern
Bundesland Name Status Kreis Einwohner
Baden-Württemberg Aach Stadt Konstanz 2.178
Baden-Württemberg Aalen
Große
Kreis-stadt Ostalbkreis 66.196
Baden-Württemberg Abstatt Gemeinde Heilbronn 4.507
Baden-Württemberg Abtsgmünd Gemeinde Ostalbkreis 7.421
Baden-Württemberg Achberg Gemeinde Ravensburg 1.657
Baden-Württemberg Achern
Große
Kreis-stadt Ortenaukreis 24.947
Baden-Württemberg Achstetten Gemeinde Biberach 4.130
Tabelle 17: Ausschnitt aus den Städten & Gemeinden im Bundesland mit mehr als 500 Einwohnern28
Die Auswertung der 9422 Daten hinsichtlich der ersten Ziffer, zeigt uns die nachfolgende Tabelle.
Häufigkeit
d Absolute Relative Benford
1 2994 31,78% 30,10%
2 1435 15,23% 17,61%
3 883 9,37% 12,49%
4 586 6,22% 9,69%
5 934 9,91% 7,92%
6 809 8,59% 6,69%
7 676 7,17% 5,80%
8 575 6,10% 5,12%
9 530 5,63% 4,58%
Tabelle 18: Auswertung der Städte & Gemeinden im Bundesland mit mehr als 500 Einwohnern
Anhand der Abb.17, kann man jetzt schon sehr gut erkennen, dass die Stichprobe nicht Benford-verteilt ist.
28 Quelle: http://www.citypopulation.de/Deutschland_d.html
Abbildung 17: Vergleich der Städte & Gemeinden mit der Benford-Verteilung
Doch was liefern uns jetzt die einzelnen Testverfahren für ein Ergebnis. Außerdem ist jetzt auch hier der χ²-Anpassungstest für die Stichprobe noch aussagekräftiger, da die Stichprobe aus 9422 Daten besteht.
1. χ²-Anpassungstest
Beim χ²-Anpassungstest erhalten wir für die Prüfgröße einen Wert von 398,815. Bei einem Signifikanzniveau von 0,05 und einem Freiheitsgrad von 8 liegt der kritische Wert bei 15,507.
Daraus können wir schlussfolgern, dass die Daten mit einer 95%iger Sicherheit nicht Benford-verteilt sind, da die Prüfgröße größer als der kritische Wert ist.
2. Kolmogoroff-Smirnov-Anpassungstest
Beim KSA erhalten wir für die Prüfgröße einen Wert von 92,625. Bei einem Signifikanzniveau von 0,05 liegt der kritische Wert bei 1,36.
Folglich sind die Daten nach KSA mit einer 95%iger Sicherheit nicht Benford-verteilt, da die Prüf-größe Prüf-größer als der kritische Wert ist.
3. Z-Test
Nach dem Z-Test liegen sig. Abweichungen bei allen Ziffern vor (siehe Tab. 19). Dies gilt sowohl sowohl bei einem Signifikanzniveau von 0,05, als auch bei einem Signifikanzniveau von 0,1.
d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Zd 3,530 6,049 9,150 11,373 7,152 7,326 5,690 4,327 4,850
Tabelle 19: Auswertung des Z-Tests für die Städte & Gemeinden 0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Städte & Gemeinden
Relative Benford
53 5.3 Städte und Gemeinden mit mehr als 500 Einwohnern
4. Abstandsmaß
Beim Abstandsmaß erhalten wir für unsere Stichprobe eine MAD von 0,01994. Nach Nigrinis An-passungsschranken liegt der Wert über 0,012 und somit liegt keine Übereinstimmung vor.
5. Verzerrungsfaktor-Modell
Für den Verzerrungsfaktor erhalten wir als beobachteten Mittelwert 3,660 und für den erwarten-den Mittelwert 3,908. Folglich ergibt sich als Prüfgröße -0,06354. Dieser Wert liegt innerhalb des Wertebereiches und somit sind die Daten Benford-verteilt.
Wir können mit einer 95%iger Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass die Städte und Gemeinden mit mehr als 500 Einwohnern nicht Benford-verteilt sind. Wobei das Verzerrungsfaktor-Modell der Behauptung ist, dass die Daten Benford-verteilt sind. Aber sowohl in diesem als auch beim vorheri-gen Beispiel ist das Verzerrungsfaktor-Modell nicht sehr geeignet. Der Grund dafür ist, weil das Ver-zerrungsfaktor-Modell speziell für die Überprüfung der Bilanz entwickelt wurde.
Schlussfolgerung
Das Phänomen Newcomb-Benford-Law, haben wir sowohl mathematisch nachgewiesen als auch anhand von Daten, wie z.B. die Überprüfung einer Bilanz auf Manipulation, angewendet.
Das Gesetz spielt in vielen Gebieten unseren Lebens eine wichtige Rolle. Wie z.B. dass die
Hausnummern
Länge der Flüsse
Einwohnerzahlen der 3141 US-Bezirke u.v.m. Benford-verteilt sind.
Ein weiteres Beispiel ist, mit dem sich heutzutage jeder Mensch beschäftigt, die Recherche in Such-maschinen (z.B. Google). Wie oft wird die zweite Seite oder die Seite neuen bei einer Suche aufgeru-fen? Folglich sind die Aufrufe bei Suchmaschinen nach Benford-verteilt.
Das faszinierende am Gesetz ist überhaupt, wie auch das Ziel dieser Arbeit ist, die Überprüfung von Bilanzen auf Manipulation. Anhand des Beispiels aus Kapitel fünf haben wir sehen können, wie die Vorgehensweise dabei ist.
Die untersuchte Bilanz wurde nach der Durchführung der Testverfahren als nicht gefälscht bewertet.
Dabei muss man aber beachten, dass der Stichprobenumfang nicht sehr groß war und dadurch Test-verfahren wie der χ²-Anpassungstest in seiner Anwendung eingeschränkt sind.
Bei der Überprüfung einer Bilanz auf Manipulation sollte man folgendes nicht falsch interpretieren.
Falls nach der Analyse, die Bilanz als nicht gefälscht bewertet wird, wie in unserem Beispiel, heißt dies nicht automatisch, dass das Unternehmen als profitabel eingestuft wird.
Des Weiteren konnten wir aber auch sehen, dass die Schlusskurse an der NYSE und die Städte und Gemeinden im Bundesland mit mehr als 500 Einwohner nicht Benford-verteilt sind. Da die Stichpro-benumfänge hier recht groß waren, im Vergleich zum vorherigem Beispiel, war die Entscheidung umso einfacher.
Das Gesetz findet nicht nur in der Wirtschaft seine Anwendung, sondern auch z.B. in der Wissen-schaft oder Wettspiele u.v.m.
Ein Beispiel für die Wettspiele ist das Lottospiel. Wenn man nun sich jetzt fragt, ob sich anhand des Gesetzes im Lottospiel die Gewinnchance erhöht? Die Antwort lautet natürlich nein! Der Gewinn
55 Schlussfolgerung
erhöht sich aber, wenn er denn überhaupt eintritt . Wenn wir davon ausgehen, dass die meisten Leute unbewusst kleine Zahlen als führende Ziffer präferieren, dann sollte man beim Tippen selbst diese Zahlen meiden, damit beim Gewinn die Gewinnsumme mit weniger Mitgewinnern teilen zu müssen.
Anhand der Beispiele konnte man aber auch sehen, dass das Gesetz in seiner Anwendung hinsichtlich der Testverfahren noch nicht ausgereift ist. D.h. dass es noch kein spezielles Testverfahren aus-schließlich für die Benford-Verteilung gibt.
Der χ²-Anpassungstest ist nur für große Stichproben geeignet und des Weiteren müssen die Daten unabhängig sein.
Der KSA ist für kleine Stichproben besser geeignet. Da die Voraussetzung jedoch für die Anwendung die Stetigkeit von ist, ist der KSA konservativ und von geringer Güte.
Der Z-Test ist im Vergleich zu den vorherigen Testverfahren besser, aber anhand von ihm kann nicht das gesamte Paket bewerten.
Die letzten zwei Testverfahren – MAD und Verzerrungsfaktor-Modell – beruhen auf Beobachtungen von Nigrini. Das Verzerrungsfaktor-Modell macht im Vergleich zum MAD einen besseren Eindruck.
Aus diesem Grund sind die Testverfahren hinsichtlich des Newcomb-Benford-Gesetzes noch nicht ausgereift und deshalb noch ausbau fähig.
Was in dieser Arbeit nicht untersucht respektive nicht nachgewiesen wurde und außerdem in der Regel auch in vielen anderen Arbeiten vernachlässigt wird, ist der Beweis hinsichtlich des Logarith-mus. D.h. warum lautet es überhaupt und nicht vielleicht ?
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