Singul¨ are Integraloperatoren

1. Interpolation von Operatoren

Wir werden uns in diesem Abschnitt einen Spezialfall des Interpolationssat-zes von Marcinkiewicz beweisen. F¨ur diesen Satz definieren wir zun¨achst die folgenden Begriffe. Im folgenden sei (M,Σ, µ) einσ-endlicher Maßraum.

Definition 1.1. Es sei T eine Abbildung, die messbare Funktionen auf M auf messbare Funktionen auf M schickt. Weiter sei1≤q <∞ und1≤p <

∞. Dann ist T vom schwachen (p, q)-Typ, falls es eine Konstante A gibt, so dass f¨ur alle f ∈L^p(M) und alle λ >0

µ({x:|T f(x)|> λ})≤

Akfkp

λ q

.

Die Abbildung ist vom schwachen (p,∞)-Typ, falls es eine KonstanteA gibt mit

kT fk∞≤Akfkp

Schließlich sagen wir, dass T vom starken (p, q)-Typist, falls f¨ur ein A kT fkq≤Akfkp

gilt.

Definition 1.2. Es sei T wie in Definition 1.1. Die Abbildung T heißt sublinear, falls

|T(f +g)(x)| ≤ |T f(x)|+|T g(x)|.

Wesentlich f¨ur den Beweis des MArcinkiewicz-Satzes ist die folgende Dar-stellungsformel f¨ur dieL^p-Norm

Lemma 1.3. Es seien 1≤p <∞ und f :M → Keine messbare Funktion.

Dann gilt f¨ur alle f ∈L^p(M) kfk^pp=p

Z∞ 0

µ({x:|f(x)|> λ})λ^p−1dλ.

50

1. INTERPOLATION VON OPERATOREN 51

Beweis. F¨ur eine einfache Funktion αχ_A gilt offensichtlich die Glei-chungkfk^pp =α^pµ(A). Weiter gilt

p Z∞

0

µ({x:|f(x)|> λ})λ^p−1dλ=p Zα 0

µ(A)λ^p−1dλ

=µ(A)[λ^p]^α₀

=α^p.

Aufgrund der Linearit¨at des Integrals folgt damit die Aussagen auch f¨ur Treppenfunktionen. F¨ur eine beliebige messbare Funktionf w¨ahlen wir eine monotone Folge von TreppenfunktionenT_n mitT_n→ |f|(punktweise). Mit dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt dannkT_nkp → kfkp. Außer-dem ist An, wobei An(λ) := {x : |Tn(x)| > λ} eine wachsende Folge von messbaren Mengen mit A_n(λ) → A(λ) = {x :|f(x)|> λ}, d.h. ∪A_n = A.

Eine weitere Anwendung des Satzes von Beppo-Levi ergibt p

Z∞ 0

µ(A_n(λ))λ^p−1dλ→p Z∞ 0

µ(A(λ))λ^p−1dλ

womit die Behauptung bewiesen ist.

F¨ur einen Maßraum M bezeichnen wir im Folgenden mitM(M) die Men-ge aller messbaren Funktionen von M nach C. Weiter definieren wir die Zerlegung einer Funktionf :M →Cdurchf =f_λ+f^λ wobei

f_λ(x) =

f, falls|f| ≤λ 0, sonst

undf^λ=f−f_λ. Nun k¨onnen wir zum Beweis des Satzes von Marcinkiewicz kommen.

Theorem 1.4 (Marcinkiewicz Interpolationssatz). Es seien 1≤p₀ < p₁ ≤

∞ und (M,Σ, µ) bzw. (N,Π, ν) σ-endliche Maßr¨aume. Weiter sei D(T)⊂ M(M) und T : D(T) → M(N) eine sublineare Abbildung. Außerdem sei D(T) abgeschlossen unter Zerlegung, d.h. f_λ ∈D(T), falls f ∈D(T).

Ist T vom schwachen (pj, pj)-Typ f¨ur j = 0,1, dann ist T vom starken (p, p)-Typ f¨ur jedes p∈(p₀, p₁). Ist p₁ <∞ so gilt

kT fkp≤2

pA^p₀⁰

p−p₀ + p1A^p₁¹ p₁−p

1/p

kfkp. Im Fall p₁=∞ gilt

kT fkp ≤(1 +A₁)

pA^p₀⁰ p−p₀

1/p

kfkp.

Beweis. Wir betrachten zuerst den Fall p₁ < ∞. F¨ur f ∈ D(T) sei f_λ +f^λ = f die Zerlegung zu λ > 0. Aus der Sublinearit¨at von T folgt {x:|T f(x)|>2λ} ⊂

x:|T f_λ(x)|+|T f^λ(x)|>2λ ⊂ {x:|T f_λ(x)|> λ}∪

1. INTERPOLATION VON OPERATOREN 52 Mit Hilfe von Lemma 1.3 und der Substitution 2z→λfolgt 2^−pkT fk^pp = 2^−pp

da |f_λ| < λ gilt. Zur weiteren Absch¨atzung betrachten wir zun¨achst den zweiten Term der rechten Seite. Mit

µ({x:|f_λ(x)|> τ})≤µ({x:|f(x)|> τ}) und dem Satz von Tonelli folgt

pp₁

1. INTERPOLATION VON OPERATOREN 53

F¨ur die Absch¨atzung des ersten Terms von oben bemerken wir zun¨achst, dass

µn

x:|f^λ(x)|> τo

=µ({x:|f(x)|> τ}), fallsτ > λund µn

x:|f^λ(x)|> τo

=µ({x:|f(x)|> λ}), fallsτ ≤λ.

Daher folgt

pp₀ Z∞ 0

Z∞ 0

µn

x:|f^λ(x)|> τo

τ^p0−1dτ λ^p−p0−1dλ

=pp₀ Z∞

0

Z∞ λ

µ({x:|f(x)|> τ})τ^p0−1dτ λ^p−p0−1dλ

+p Z∞

0

µ({x:|f(x)|> λ})λ^p−1dλ

= p₀

p−p0

+ 1

kfk^pp.

Insgesamt folgt also

kT fk^pp ≤2^p

pA^p₀⁰

p−p₀ + p1A^p₁¹ p₁−p

kfk^pp.

F¨ur den Fallp₁=∞bemerken wir zun¨achst, dass falls|T f(x)|>(1 +A₁)λ auch die Ungleichung

(1 +A₁)λ <|T f_λ(x)|+|T f^λ(x)| ≤A₁λ+|T f^λ(x)|

gilt, da T vom schwachen (∞,∞)-Typ ist. Damit folgt dann|T f^λ(x)|> λ.

Das heißt, es gilt die Beziehung

{x:|T f(x)>(1 +A₁)λ} ⊂n

x:|T f^λ(x)> λo .

2. CALDER ´ON-ZYGMUND-THEORIE 54

Wir k¨onnen nun wie folgt absch¨atzen (1 +A₁)^−pkT fk^pp = (1 +A₁)^−pp

Z∞ 0

ν({x:|T f(x)> λ})λ^p−1dλ

=p Z∞ 0

ν({x:|T f(x)>(1 +A₁)λ})λ^p−1dλ

≤p Z∞ 0

νn

x:|T f^λ(x)>1λo

λ^p−1dλ

=p Z∞

0

A₀kf^λkp0

λ

p0

λ^p−1dλ

=pA^p₀⁰p₀ Z∞

0

p Z∞

0

µn

x:|f^λ(x)|> τo

τ^p0−1dτ λ^p−p0−1dλ

≤ A^p₀⁰

p−p₀kf^λk^pp≤ A^p₀⁰ p−p₀kfk^pp

2. Calder´on-Zygmund-Theorie

Wir wollen nun Abbildungen T : S → S^′ betrachten, die sich ¨uber einen Integralkern definieren lassen. Eine Funktion K :R^d×R^d→ C heißt Inte-gralkern von T, falls K auf R^d×R^d\ {(x, y) :x =y} lokal integrierbar ist (d.h. integrierbar auf kompakten Teilmengen) und f¨ur f, g ∈ C_c^∞(R^d) mit suppf ∩suppg=∅ die Gleichung

T f(g) = Z

Rd×Rd

K(x, y)f(y)g(x) dxdy gilt.

Definition 2.1. (a) Ein IntegralkernKheißt Calder´on-Zygmund-Kern, falls K stetig differenzierbar in R^d×R^d\ {(x, y) :x=y} ist und

(i) |K(x, y)| ≤ _|x−y|^C n

(ii) |∇xK(x, y)|+|∇yK(x, y)| ≤ _|x−y|^Cn+1

gilt.

(b) Es sei T ein Operator mit Calder´on-Zygmund-Kern. Ist T stetig auf L²(R^d) → L²(R^d) fortsetzbar, so heißt T Calder´ on-Zygmund-Operator.

Das Ziel dieses Abschnitts ist es zu beweisen, dass sich Calder´on-Zygmund-Operatoren beschr¨ankt auf L^p(R^d) f¨ur 1 < p < ∞ fortsetzen lassen. Dies ist eines der zentralen Themen der Harmonischen Analysis. Wir werden

2. CALDER ´ON-ZYGMUND-THEORIE 55

sp¨ater sehen, dass sich mit Hilfe dieser Theorie Existenzresultate f¨ur partielle Differentialgleichungen von L² nach L^p f¨ur p 6= 2 ¨ubertragen lassen. Das Hauptresultat dieses Abschnitts lautet also

Theorem 2.2. Es sei T ein Calder´on-Zygmund-Operator. Dann gibt es f¨ur p ∈ (1,∞) eine Konstante C > 0, so dass kT fkp ≤ Ckfkp f¨ur alle f ∈ L^p(R^d)∩L²(R^d).

Wir werden den Beweis f¨uhtren indem wir mit Hilfe einer Zerlegung f¨ur integrierbare Funktionen zeigen, dass Calder´on-Zygmund-Operatoren vom schwachen (1,1)-Typ sind und anschließend den Interpolationssatz von Mar-cinkiewicz anwenden.

Wir kommen also nun zur angesprochenen Zerlegung und legen zun¨achst ein paar Bezeichnungen fest, die uns das (Notations-)Leben etwas erleichtern.

Notation 2.3. Wir beginnen mit der Menge aller achsenparalleler W¨urfel mit Seitenl¨ange 1 und ganzzahligen Ecken. Diese Menge nennen wir D0. F¨ur eine ganze Zahl k entsteht die Menge Dk von W¨urfeln indem wir die Skalierung x → 2^kx auf jedes Element in D0 anwenden. Das heißt, die W¨urfel in Dk haben Seitenl¨ange 2^k und entstehen, wenn man die Seiten der W¨urfel in Dk−1 halbiert. Eine wichtige Eigenschaft der Menge aller so entstehenden W¨urfel D=∪k∈ZDk, die dyadischenW¨urfel, ist die folgende:

F¨ur zwei W¨urfel W und W^′ gilt entweder, dass einer im anderen enthalten ist oder, dass sie disjunktes Inneres haben.

Lemma 2.4 (Calder´on-Zygmund-Zeregung). Es seien f ∈L¹(R^d) und λ >

0. Dann gibt es eine Familie von dyadischen W¨urfeln W_k mit paarweise disjunktem Inneren, so dass |f(x)| ≤λ f.¨u. inR^d\ ∪k∈ZW_k und

λ < 1

|W_k| Z

W_k

|f(x)|dx≤2^dλ.

Insbesondere l¨asst sich f zerlegen in f = g+b, wobei |g(x)| ≤ 2^dλ f.¨u., kgk1 ≤ kfk1 und b=P

k∈Zb_k. F¨ur die Funktionen b_k gilt weitersuppb_k⊂ W_k, R

Rdb_k = 0 und kb_kk1 ≤2R

Wk|f(x)|dx.

Beweis. Es sei E die Menge aller dyadischen W¨urfel W ∈ D, die die Bedingung

(28) 1

|W| Z

W

|f(x)|dx > λ

erf¨ullen. Daf ∈L¹(R^d), folgt, dass ein W¨urfelW mitkfk1≤λ|W|nicht in E enthalten ist. Die Seitenl¨angen der W¨urfel inEist also beschr¨ankt. Damit gibt es zu jedem W¨urfel W^′ ∈ E einen gr¨oßten W¨urfel W ∈ E, der W^′ enth¨alt. Die Menge aller dieser maximalen W¨urfel nennen wir W :={W_k}. Ist W_k^′ ein gr¨oßerer dyadischer W¨urfel, der W_k enth¨alt, dann ist W_k^′ nicht

2. CALDER ´ON-ZYGMUND-THEORIE 56

in E und daher kann f¨ur diesen W¨urfel die Ungleichung (28) nicht gelten.

Damit folgt Z

Wk

|f(x)|dx≤ Z

W_k^′

|f(x)|dx≤ |W_k^′|λ= 2^d|W_k|λ.

(29)

Die geforderten Bedingungen f¨ur die Familie von W¨urfel gilt also.

Die Funktionenb_k werden definiert durchb_k:=f− |W_k|R

Wkf(x) dxaufW_k und 0 sonst. Mit b =P

kb_k stzen wir g= f−b. Die Eigenschaft ∈b_k = 0 folgt unmittelbar aus der Definition. Die Dreiecksungleichung liefert weiter

Z

Rd

|b_k(x)|dx≤2 Z

Wk

|f(x)|dx Weiter gilt kgk1 ≤ kfk1, da in W_k g=|W_k|⁻¹R

Wkf(x) dx.

Es bleibt noch |g(x)| ≤ 2^d zu zeigen. Auf jedem W¨urfel W_k folgt diese Ungleichung mit (29). F¨ur x ∈ (∪kW_k)^c gibt es eine Folge von dyadischen W¨urfeln, so dass die Seitenl¨angen gegen Null konvergieren,x enthalten und die Ungleichung (28) nicht gilt. Dag ∈L¹(R^d) und damit fast alle Punkte Lebesgue-Punkte von g sind, folgt daher|g(x)| ≤λfast ¨uberall.

Lemma 2.5. Es sei K ein Calder´on-Zygmund-Kern und r > 0. Dann gibt es eine Konstante C > 0, so dass f¨ur alle x, y ∈ R^d mit |x −y| ≤ r die Ungleichung

Z

Rd\B2r(x)

|K(z, x)−K(z, y)|dz≤C.

Beweis. Mit dem Mittelwertsatz und den Eigenschaften von Calder´on-Zygmund-Kernen folgt f¨ury∈B_r(x) und z∈R^d\B_2r(x), dass

|K(z, x)−K(z, y)| ≤ |x−y| sup

w∈Br(x)|∇wK(z, w)|

≤2ⁿ⁺¹C_K|x−y||x−z|⁻ⁿ⁻¹. (30)

Hier benutzten wir außerdem die Dreiecksungleichung f¨ur |w−z| ≥ |x− z| − |w−x| ≥ |x−z|/2, wobei die letzte Ungleichung f¨ur |x−y| ≤ r und

|x−z| ≥ 2r g¨ultig ist. Schließlich folgt die Behauptung durch Integration von (30), denn mit Kugelkoordinaten folgt

Z

Rd\B2r(x)

|K(z, x)−K(z, y)|dz≤C_K2ⁿ⁺¹ω_n−1 Z∞ 2r

r⁻ⁿ⁻¹rⁿ⁻¹dr

=C_K2ⁿω_n−1.

Nun k¨onnen wir Theorem 2.2 beweisen.

2. CALDER ´ON-ZYGMUND-THEORIE 57

Beweis. Wir zeigen zun¨achst die schwache (1,1) Absch¨atzung f¨ur Cal-der´on-Zygmund-Kerne. Hierzu werden wir gelegentlich die Ungleichung (31) kfk^pp ≥

Z

{f(x)>ε}

|f(x)|^pdx≥ε^p|{f > ε}|

benutzen. Es sei nun f ∈ L¹(R^d) ∩ L²(R^d) und λ > 0. Die Calder´on-Zygmund-Zerlegung auf f angewendet liefert Funktionenb und g mit f = g+bund den in Lemma 2.4 genannten Eigenschaften. Es gilt offensichtlich

{x:|T f(x)|> λ} ⊂ {x:|T g(x)|> λ/2} ∪ {x:|T b(x)|> λ/2}. Mit der L² Beschr¨anktheit folgt damit

|{x:|T g(x)|> λ/2} ≤ C

Wir k¨onnen uns also nun der Absch¨atzung von T bzuwenden.

Es sei O_λ = ∪kB_k, wobei B_k Kugeln um die Mittelpunkte x_k der W¨urfel W_k mit Radius √

n· Seitenl¨ange von W_k. Das heißt aber, dass f¨ur y ∈ W_k der Abstand|x_k−y|zu x_k h¨ochstens die H¨alfte des Radius vonB_k betr¨agt.

Dies ben¨otigen wir f¨ur die Anwendung von Lemma 2.5. F¨ur das Volumen von O_λ gilt.

Anwendung des Satzes von Fubini und Lemma 2.5 liefert Z

3. FOURIERMULTIPLIKATIONSOPERATOREN 58

Summation ¨uberk ergibt schließlich (32)

Z

Rd\Oλ

|T b(y)|dy≤X

k

Z

Rd\Bk

|T b_k(y)|dy≤Ckfk1. Damit folgt also unter Verwendung von (31) und (32)

|{x:T b(x)> λ

2}| ≤ |O_λ|+|{x∈R^d\O_λ:|T b(x)|> λ 2}|

≤ |O_λ|+ 2 λ

Z

Rd\O_λ

|T b(x)|dx

≤ C λkfk1

Insgesamt ist damit die schwach (1,1) Bedingung f¨urT f erf¨ullt.

DieL^p-Beschr¨anktheit vonTf¨ur 1< p <2 folgt nun mit derL²-Beschr¨anktheit und dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz.

F¨ur 2 < p < ∞ folgt die Aussage durch Dualisieren, indem man erkennt, dass die Adjungierte von T also T^∗ ein Calder´on-Zygmund-Operator ist, falls T ein solcher ist. T^∗ ist daher nach dem ersten Teil L^p′-Beschr¨ankt, wobei p^′ der zu p konjugierte H¨older-Exponent ist. Damit ist dann T L^p

-Beschr¨ankt.

3. Fouriermultiplikationsoperatoren

In der Theorie partieller Differentialgleichungen ist es oftmals n¨utzlich f¨ur die L¨osbarkeit die zu untersuchenden Operatoren als Calder´on-Zygmund-Operatoren zu erkennen und so geeignete Absch¨atzungen zu erhalten. Ins-besondere L^p-Absch¨atzungen f¨ur die L¨osung zu linearen Problemen kann dazu dienen nichtlineare Gleichungen zu behandeln.

H¨aufig erh¨alt man aber durch Anwenden der Fouriertransformation nur ex-plizite L¨osungsformeln in Form von sogenannten Symbolen. Wendet man etwa die Fouriertransformation auf die Gleichung (λ−∆)u=f an so erh¨alt man (λ+|ξ|²)ˆu = ˆf. Eine L¨osung dieser Gleichung w¨are also formal durch u=F⁻¹(λ+|ξ|²)⁻¹Ff gegeben. In dieser Formel ist nicht so schnell ersicht-lich, ob dies ein Calder´on-Zygmund-Operator ist oder nicht. Deshalb wollen wir im Folgenden Operatoren obiger Form untersuchen und als Hauptziel eine hinreichende Bedingung angeben, die die L^p-Beschr¨anktheit des Ope-rators sichert.

Definition3.1. Eine Funktionm:R^d\{0} →KheißtSymbol der Ordnung k, fallsmbeliebig oft differenzierbar ist und f¨ur jedesα ∈N^deine Konstante C_α existiert, so dass

(33)

∂^αm

∂ξ^α (ξ)

≤C_α|ξ|^−|α|−k.

Wir geben zun¨achst ein paar n¨utzliche Rechenregeln f¨ur Symbole an.

3. FOURIERMULTIPLIKATIONSOPERATOREN 59

Lemma 3.2. (a) Ist m_j f¨ur j = 1,2 ein Symbol der Ordnung k_j, dann istm₁m₂ ein Symbol der Ordnung k₁+k₂ und m₁+m₂ ein Symbol der Ordnung k. Jede der Konstanten in der Absch¨atzung (33) f¨ur m₁m₂ (bzw.m₁+m₂) h¨angt nur von endlich vielen der Konstanten f¨urm₁ und m₂ ab.

(b) Ist η∈ S, dann ist η ein Symbol der Ordnung k f¨ur jedesk≤0.

(c) Istm ein Symbol der Ordnungk, dann istε^−km(εξ) ein Symbol der Ordnung k und die Konstanten in (33) k¨onnen unabh¨angig von ε gew¨ahlt werden.

Den Beweis ¨uberlassen wir dem Leser.

Lemma3.3. Es seim∈ S und k >−d. Dann gibt es eine Konstante C, die nur von endlich vielen der Konstanten f¨urm in (33) abh¨angt mit

|F⁻¹m(x)| ≤C|x|^−d−k.

Beweis. Wir w¨ahlen eine Abschneidefunktion η0 ∈ C^∞(R^d) mit kom-paktem Tr¨ager, so dass η₀(ξ) = 1 f¨ur|ξ|<1 und η₀(ξ) = 0 f¨ur|ξ|>2 gilt.

Wir setzenη_∞ = 1−η₀. Damit definieren wir K_j(x) = (2π)^−d

Z

e^ixξη_j(ξ|x|)m(ξ) dξ,

wobeij = 0,∞. Wir sch¨atzenK_j jeweils getrennt ab. F¨urK₀ gilt

|K0(x)| ≤C(2π)^−d Z

|ξ|<2/|x|

|ξ|^kdξ =C|x|^−k−d

F¨ur den j = ∞ Teil schreiben wir zun¨achst (ix)^αe^ixξ = _∂ξ^∂ααe^ixξ und inte-grieren partiell. Dies ergibt

(ix)^αK_∞(x) =

Z ∂^α

∂ξ^αe^ixξ

η_∞(ξ|x|)m(ξ) dξ

= (−1)^|α|

Z

e^ixξ ∂^α

∂ξ^α (η_∞(ξ|x|)m(ξ)) dξ.

Mit (33), Lemma 3.2 und daη_∞Null in der N¨ahe von 0 ist, folgt f¨urk−|α|>

−d

|(ix)^αK∞(x)| ≤C Z

|ξ|>1/|x|

|ξ|^k−|α|dξ=C|x|^{−d−k+|α|}.

Damit folgt die Ungleichung |K(x)| ≤C|x|^−d−k Damit k¨onnen wir nun das zentrale Resultat dieses Abschnitts beweisen.

Theorem 3.4. Ist m ein Symbol der Ordnung 0, dann ist T_m = F⁻¹mF ein Calder´on-Zygmund-Operator.

3. FOURIERMULTIPLIKATIONSOPERATOREN 60

Beweis. DieL²-Beschr¨anktheit des OperatorsT_mfolgt ausm∈L^∞(R^d) nach Definition und Satz 2.14. Wir zeigen nun noch, dass der Kern vonT_m von der Form K(x−y) ist undK Absch¨atzungen der Form

| ∂^α

∂x^αK(x)| ≤C|x|^−n−|α|

(34)

erf¨ullt. Da die inverse Fouriertransformation vonm nicht notwendigerweise durch eine Funktion gegeben ist, approximieren wirmzun¨achst durch schnell fallende Funktionen. Hierzu nehmen wirϕ∈C_c^∞(R^d) mitϕ(x) = 1 f¨ur|x|<

1 undϕ(x) = 0 f¨ur|x|>2. Wir setzen dannm_ε(ξ) =ϕ(εξ)(1−ϕ(ξ/ε))m(ξ).

Wegen Lemma 3.2 istm_εein Symbol der Ordnung 0 mit vonεunabh¨angigen Konstanten. Außerdem gilt m_ε∈ S und damit gelten wegen Lemma 3.3 die Absch¨atzungen (34) f¨ur Kε := F⁻¹mε. Dies folgt aus den Eigenschaften der Fouriertransformation, da die α-te Ableitung von K_ε die inverse Fou-riertransformation von (−iξ)^αmε(ξ) ist und (−iξ)^αmε(ξ) ein Symbol der Ordnung|α|ist.

Da die Konstanten nicht von εabh¨angen, k¨onnen wir den Satz von Arzela-Ascoli zusammen mit einem Diagonalfolgenargument anwenden. Arzela-Arzela-Ascoli liefert f¨ur eine Kugel um 0 und einα∈N^deine Folge α-ter Ableitungen von K_ε, die auf der abgeschlossenen Kugelschale B(0, r)\B(0,1/r), f¨ur r > 1 gleichm¨aßig konvergiert. Nun l¨asst sich mit Hilfe des Diagonalfolgenargu-ments eine Teilfolge von K_ε konstruieren, so dass f¨ur eine Funktion K die Teilfolge Kεj → K und alle ihre Ableitungen gleichm¨aßig gegen K, bzw.

die entsprechende Ableitung von K konvergiert. Der Kern K erf¨ullt dann nat¨urlich auch die Absch¨atzungen (34).

Es bleibt also noch zu zeigen, dassT_m durch den KernKdargestellt werden kann. Es seif ∈ S. Mit dem Satz von Lebesgue und dem Satz von Plancherel folgt T_mεf → T_mf in L²(R^d) f¨ur ε → 0. Nach Definition von K_ε und den Eigenschaften der Fouriertransformation, Satz 2.3 giltT_mεf =K_ε∗f. Haben f und g disjunkten und jeweils kompakten Tr¨ager, so gilt

Z

Rd

T_mf(x)g(x) dx= lim

j→∞

Z

Rd

T_mεjf(x)g(x) dx (L²−Konv.)

= lim

j→∞

Z

Rd

Z

Rd

Kεj(x−y)f(y)g(x) dydx

= Z

Rd

Z

Rd

K(x−y)f(y)g(x) dydx (glm. Konv.) und damit folgt, dass T_m durch den Kern K dargestellt werden kann.

Ein Dichteschluss zusammen mit Theorem 2.2 und Theorem 3.4 liefert nun abschließend

Korollar 3.5. Ist m ein Symbol der Ordnung 0, dann ist Tm :L^p(R^d) → L^p(R^d) f¨ur 1< p <∞ ein stetiger Operator.

3. FOURIERMULTIPLIKATIONSOPERATOREN 61

Als erste Anwendung des Multiplikatorensatzes wollen wir uns nun mit Besselpotentialr¨aumen und ihrem Zusammenhang zu den Sobolevr¨aumen besch¨aftigen. Die Besselpotentialr¨aume liefern eine M¨oglichkeit gebrochene Ableitungen zu definieren und so eine kontinuierliche Skala verschiedener Glattheit zu erhalten.

Definition 3.6. F¨ur s≥0 und 1< p <∞ heißt

H^s,p(R^d) :={f ∈L^p(R^d) :F⁻¹(1 +|ξ|²)^s/2Ff ∈L^p(R^d)}

derBesselpotenzialraumder Ordnungs. Eine Norm aufH^s,p(R^d)wird durch kfkH^s,p =kF⁻¹(1 +|ξ|²)^s/2Ffkp definiert.

Lemma 3.7. H^s,p(R^d) ist ein Banachraum.

Beweis. Ubung¨

Dass die Besselpotenzialr¨aume wirklich eine Skala bzgl. der Glattheit liefert zeigt der folgende Satz.

Satz 3.8. Ist s∈N, dann gilt W^s,p(R^d) =H^s,p(R^d).

Beweis. Wir zeigen die Aussage nur f¨ur gerade s. F¨ur ungerade ist der Beweis schwieriger und technisch aufw¨andiger. Ist s gerade, so ist (1 +

|ξ|²)^s/2 = P_s(ξ) ein Polynom vom Grad s. Da f¨ur f ∈ W^s,p(R^d) auch

∂^αf ∈L^p(R^d) f¨ur alle|α| ≤sgilt, folgt mit der Eigenschaft der Fouriertrans-formation, dass P(−i∂)f =F⁻¹Ps(ξ)Ff ∈ L^p(R^d) und somit W^s,p(R^d) ⊂ H^s,p(R^d).

Umgekehrt ist_(1+|ξ|^ξα_2)s/2 ein Mikhlin Symbol f¨ur jedes|α| ≤sund daher folgt kF⁻¹ξ^αFfkp=kF⁻¹_(1+|ξ|^ξα2)^s/2(1 +|ξ|²)^s/2Ffkp ≤ kF⁻¹(1 +|ξ|²)^s/2Ffkp=

kfkH^s,p.

Auf Gebieten lassen sich analog zu den Sobolevr¨aumen auch Besselpotenzi-alr¨aume definieren.

Definition 3.9. F¨ur s≥0 und Ω⊂R^d definieren wir H^s,p(Ω) ={f|Ω :f ∈H^s,p(R^d)}.

KAPITEL 6

Im Dokument Partielle Differentialgleichungen I Matthias Geißert, Robert Haller-Dintelmann, Horst Heck (Seite 54-66)