Simulationsläufe für 2-dimensionale Objekte

Im vorangegangenen Abschnitt wurden Simulationen zu 1-dimensionalen Linien durch-geführt, die im extrafokalen Ansatz durch die Hinzunahme der Z-Richtung zu 2-dimensionale Korrelationen führten. Entsprechend führen 2-2-dimensionale Objekte zu Korrelationen im 3-dimensionalen Raum. Als Model sollen hier opake Kreise unter-sucht werden und als zu bestimmender Parameter wurde der Durchmesser gewählt.

Durch die extrafokale Korrelation soll hier kein einzelner Kantenort bestimmt werden, sondern es soll auf eine Korrelation mit parametrisierten Sätzen von Erwartungswerten korreliert werden. Jeder Satz von Erwartungswerten entspricht genau einem Durchmes-ser. Jede einzelne Korrelation besitzt wenigsten eine indizierte Position (x, y, z) mit ei-nem globalen Maximum für den Betrag der Koeffizienten. Die indizierten Positionen werden hier nicht weiter benutzt, sondern nur der dem Erwartungswertesatz zugeordne-te Durchmesser und der jeweilige maximale Betrag der Koeffizienzugeordne-ten. Unzugeordne-ter allen Kor-relationen wird der maximale Betrag der Koeffizienten gesucht und dessen zugeordnete Durchmesser als durch extrafokale Korrelation definierter Durchmesser verstanden.

Da die Rechenzeit durch die mehrfache, 3-dimensionale Korrelation erheblich an-steigt, wurde nur das schnellere Verfahren der Fourier-Kreuzkorrelation benutzt. Die Abb. 5.20 zeigt, dass leicht Rechenzeiten für eine einzelne Korrelation von 1–2 Sekun-den erreicht werSekun-den, was dazu führt, dass bei einem Lauf mit z.B. 65 verschieSekun-denen Sätzen von Erwartungswerten sich Rechenzeiten für eine einzelne Durchmesserbestim-mung im Minutenbereich ergeben werden. Da Serien mit mehr als 100 Durchmessern mit jeweils unterschiedlichen Anzahlen von Fokusebenen untersucht werden sollen, entstehen hier schnell Rechenzeiten von mehreren Tagen. Um möglichst realistische Simulationen zu starten, wurde keine theoretische PSF benutzt, sondern es wurde eine Mittelung für einen mit dem JENATECH-inspection gemessenen X/Y/Z-Bereich von 32 × 32 × 32 Pixeln vorgenommen. Der Vorteil liegt hier darin, dass so reale Abbil-dungsfehler und Asymmetrien besserer berücksichtigt werden können. Die Abb. 5.21

zeigt drei Fokusebenen aus einem Zyklus von 32 Fokusebenen. Über eine 19fach bis 21fach 2-dimensionale Spline-Interpolation wurden dann 65 Sätze von Erwartungswer-ten mit unterschiedlichen Durchmessern erzeugt. Die Simulation der Messserien ent-stand – wie im vorangegangenen Abschnitt – durch Hinzufügen eines konstanten und eines intensitätsabhängigen Rauschanteils.

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Anzahl der Fokusebenen Rechenzeit[s/Korrelation] FFTW Estimate

FFTW Patient

Abb. 5.20 Rechenzeit pro einzelne Korrelation mit einem Bereich von512 × 512 × Anzahl der Fokusebe-nen. Die Korrelation umfasst hier die Hauptrechenschritte: 64x 2D-Spine-Interpolation 32 × 32 auf 512 × 512; 2x FFTW vorwärts; 1x komplexe Multiplikation; 1x FFTW rückwärts; 1x komplexer Betrag berechnen; FFTWEstimatebenutzt eine Einstellung der FFTW-Software-Bibliothek, die nur eine Schät-zung für einen optimalenFourier-Transformations-Algorithmus vornimmt; FFTWPatientveranlasst die Bibliothek „beharrlich“ nach einem optimalen Algorithmus für das vorliegende Rechnersystem zu su-chen. Diese Suche erfolgt vor dem ersten Aufruf und kann mehrere Stunden dauern.

a Fokusposition z = -16 b Best-Fokus-Position z = 0 c Fokusposition z = +16

Abb. 5.21a-c XY-Falschfarbendarstellung (dunkel: blau, hell: rot) von gemittelten, 20fach 2D-Spline-interpolierten Intensitätsmessungen eines kreisförmigen, opaken Artefakts, bestimmt mit einem Planach-romat 50x/0,80 und 1,6facher Nachvergrößerung bei einer Beleuchtungsapertur von 0,6. Der Durchmes-ser beträgt in der Sensorebene ca. 6–7 Pixel, d. h. ca. 520 nm in der Objektebene. Deutlich erkennbar sind Z-Asymmetrien, Abbildungsfehler und der Ansatz zur Kontrastumkehr im negativen Z-Bereich.

Wie die Abb. 5.22 zeigt, ist auch hier die Empfindlichkeit des LSM-Intensität-Verfahrens größer als die der Fourier-Kreuzkorrelationen. Das 2-dimensionale LSM-Verfahren arbeitet hier mit den Intensitätswerten, während die Fourier-Transformationen die Summe der 1. Ableitungen f´x+ f´y im Realteil und die Differenz f´x - f´y bzw. null benutzt. Dadurch kann – in einem gewissen Umfang – auf eine Nor-mierung der Kreuzkorrelation verzichtet werden. Für das LSM-Verfahren ergibt sich aber schon für die Auswertung einer Serie mit 100 Messzyklen bei 65 Sätzen von Er-wartungswerten, einer Matrix von 480 × 480 × 16, einem X/Y-Suchbereich von ±16 eine Rechenzeit von etwa sechs Tagen. Da hier schon vollständig auf eine Variation in der Z-Richtung verzichtet wurde, was bei realen Daten nicht möglich sein wird, kann das LSM-Verfahren derzeit noch nicht sinnvoll bei 3-dimensionalen Korrelationen mit pa-rametrisierten Erwartungswerten in der Praxis eingesetzt werden.

Die Abb. 5.23 zeigt, anhand von simulierten Durchmesseränderungen in einer ge-samten Messserie mit 100 Einzelzyklen, dass das Fourier-Kreuzkorrelationsverfahren die Änderungen gut erfassen kann. Aus Geschwindigkeitsgründen erfolgte keine Nor-mierung der Kreuzkorrelation, was hier wahrscheinlich im Mittel zu dem geringen Off-set von -0,01 Pixeln führte. Werden die extrafokale Korrelation mit den klassischen Verfahren an einer simulierten Messserie verglichen, zeigen die Korrelation mit mehre-ren Z-Ebenen deutliche Vorteile. Das extrem aufwendige LSM-Verfahmehre-ren hat zwar gute Werte, ist aber für die Auswertung der experimentellen Daten viel zu langsam. Die star-ke Verringerung der Standardabweichung bei den FFT-Verfahren sollte ausreichend sein, um auch bei realen Daten – mit in der Simulation nicht erfassten Fehlerquellen – noch Verbesserungen gegenüber den klassischen Verfahren, die nur die Best-Fokus-Ebene benutzen, experimentell nachweisbar sein (Abb. 5.24).

0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1

6,51 6,55 6,59 6,64 6,68 6,72 6,76 6,81 6,85 6,89 6,94 6,98 7,02 7,06 7,11 7,15 7,19

Durchmesser [Pixel]

Rel.max.Korrelationskoeffizient.

LSM Intensitäten LSM 1. Ableitungen FFT nur Realteil FFT Real-/Imaginärteil

Abb. 5.22 Korrelationsergebnis in Abhängigkeit vom Durchmesser der Erwartungswerte (65 Sätze) für einen und denselben Messzyklus mit verschiedenen Korrelationsverfahren (FFT-Matrix:512 × 512 × 16;

LSM-Matrix:480 × 480 × 16)

6,75 6,77 6,79 6,81 6,83 6,85 6,87 6,89 6,91 6,93

6,76 6,78 6,79 6,80 6,81 6,82 6,83 6,84 6,85 6,86 6,87 6,88 6,89 6,90 6,91 6,92 6,94

Simulierter Durchmesser [Pixel]

Bestimmtermittlerer Durchmesser[Pixel]

Abb. 5.23 Vergleich von simulierten und tatsächlich durch das FFT-Verfahren bestimmten Durchmes-sern. Simulierte Durchmesseränderung durch 2-dimensionale Spline-Interpolation in jeweils 100 Mess-zyklen.

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Anzahl der Fokusebenen

3-Sigma-Standardabweichung[Pixel].

Analog50% 2 Suchstrahlen Analog50% 4 Suchstrahlen Analog50% Kontur LSM Intensität LSM 1. Ableitungen FFT nur Realteil FFT Real-/Imaginärteil

Abb. 5.24 Standardabweichung in Abhängigkeit von der Anzahl der benutzten Fokusebenen bei ver-schieden Verfahren zur Bestimmung des Durchmessers (Analog50% 2…: 2 Suchstrahlen definieren einen mittleren Durchmesser; Analog50% 4…: 4 Suchstrahlen definieren einen mittleren Durchmesser; Ana-log50% Kontur: alle Konturpunkte definieren einen mittleren Durchmesser;LSM Intensität: Korrelation nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate mit den Intensitäten;LSM 1. Ableitung: Korrelation nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate mit der Summe der Gradienten f´x+f´y; FFT nur Realteil: 1.

Ableitungen mit jeweilsf´x+f´yim Realteil und 0.0 im Imaginärteil;FFT Real-/Imaginärteil: 1. Ableitun-gen mit jeweils f´x+f´y im Realteil undf´x-f´y im Imaginärteil; Dunkelrauschen 10 %; Photonenrauschen

±5 %; Messserie mit 100 Messzyklen).