5.2 Externe Eigenschaften
5.2.2 Selbstähnlichkeit der Gs-Profile
SampleA undF= 1.0 % ergeben sich nahe des Kanalbodens Abweichungen zu den jeweiligen Verläufen vonSampleB. Da diese Beobachtung lediglich bei den ersten vier Messpunkten auftritt, kann hier von einem lokalen Effekt ausgegangen wer-den. Zusätzlich zur mutmaßlichen Änderung der Strömungscharakteristik durch den Probenwechsel, sind den Profilen die zuvor aufgeführten Gründe potenzieller Abweichungen überlagert (Messunsicherheit, Regelung u.blow off). Mit diesen Überlegungen kann aus den angestellten Vergleichen auch die Unabhängigkeit vonGs-Verlauf und Probenmaterial herausgelesen werden.
Basierend auf den durchgeführten Versuchen und dem einhergehenden Detailgrad der Messungen wird unabhängig von Reynolds-Zahl, Heißgastemperatur sowie C/C-Probe ein ähnlichesGs-Verhalten beobachtet. Dies bestätigt die Regelung der Experimente nach den charakteristischen bzw. dimensionslosen Kennzahlen als geeignet, um die Interaktion zwischen Kühl- und Heißgasströmung zu studieren.
Wird die AusblaserateF konstant gehalten, lassen sich dieGs-Verläufe der Ge-schwindigkeit und der Temperatur auch bei unterschiedlichen Versuchsparametern ineinander überführen. Dies hebt die Ausblaserate als wesentliche Kennzahl zur Charakterisierung der Transpirationskühlung hervor. Eine Beobachtung, die in Übereinstimmung mit den Ausführungen in Kays et al. [51] und Meinert [70]
steht, welche den Impuls- sowie Wärmeübertrag zwischen Gs-Strömung und transpirationsgekühlter Wand in enger Korrelation zuF beschreiben.
0 0.5 1 0
1 u/u∞
F= 0.00 % y/δ99
0 0.5 1
0
1 θ
F = 0.00 % y/δT01
0 0.5 1
0
1 u/u∞
F= 0.25 % y/δ99
0 0.5 1
0
1 θ
F = 0.25 % y/δT01
0 0.5 1
0
1 u/u∞
F= 0.50 % y/δ99
0 0.5 1
0
1 θ
F = 0.50 % y/δT01
0 0.5 1
0
1 u/u∞
F= 0.75 % y/δ99
0 0.5 1
0
1 θ
F = 0.75 % y/δT01
0 0.5 1
0
1 u/u∞
F= 1.00 % y/δ99
0 0.5 1
0
1 θ
F = 1.00 % y/δT01
0 0.5 1
0
1 u/u∞
F= 1.50 % y/δ99
0 0.5 1
0
1 θ
F = 1.50 % y/δT01
Abbildung 5.11: Normierte Strömungsprofile bei Re250k/T100C/SampleB180:
( )x= 10 mm, ( )x= 30 mm, ( )x= 50 mm, ( )x= 80 mm;
( ) Geschwindigkeit, ( ) Temperatur
die prinzipielleGs-Charakteristik, was sich in den abweichenden Profilen wider-spiegelt. Nach der aktiv gekühlten Probe (x >50 mm) wird kein neues Kühlfluid injiziert. Somit ergeben sich auch hier abweichendeGs-Verläufe. Kleinere Ab-weichungen werden in Abb. 5.11 beim Vergleich derGs-Verläufe fürx= 10 mm mit den übrigenx-Positionen derselben Ausblaserate ersichtlich18. Sowohl bei der Geschwindigkeit als auch der Temperatur sind die Profile dieser Messpostion weniger stark ausgeprägt. Ein weiteres Indiz dafür, dass sich die Interaktionszone sukzessive und nichtad hocüber der gekühlten Wand ausbildet (s. Abb. B.5).
In Abb. 5.12 sind die normierten Profile für verschiedene Ausblaseraten und Messpositionen zusammengefasst. Basierend auf den gewonnenen Erkenntnissen, werden nun lediglich die Daten beix= 30 mm und 50 mm sowie fürF = 0.25 %, 0.50 % und 0.75 % diskutiert. In der gemeinsamen Darstellung von Ausblaserate und Messposition fallen dieGs-Profile nicht mehr aufeinander. Diese Beobachtung kann durch die Einbringung des Kühlgases in dieGsbegründet werden. Bei der Geschwindigkeits- bzw. Impulsbetrachtung wird das Kühlgas normal zur Haupt-stromrichtung (y-Richtung) eingeblasen. Die dadurch zusätzlich eingebrachte Masse mit Impuls iny-Richtung und ohne signifikantenx-Impuls, verlangsamt die Gs-Strömung. Der Kühlgasmassenstrom wird zudem, im Vergleich zur ungestör-tenGs, bei geringerer Temperatur eingemischt. Die zugehörigen Profile ergeben sich dadurch mit zunehmendemF als ›langsamer‹ bzw. ›kälter‹. Die eingeführ-te Normierung berücksichtigt diese Effekeingeführ-te, kann sie jedoch nicht vollständig kompensieren (vgl. Abb. 5.6 u. 5.8).
0.5 1
0 1
u/u∞ y/δ99
6 Einzelprofile x= 30 mm x= 50 mm
(a) Geschwindigkeit
0.5 1
0 1
θ y/δT01
6 Einzelprofile x= 30 mm x= 50 mm
(b) Temperatur Abbildung 5.12: Normierte Strömungsprofile bei Re250k/T100C/SampleB180:
( )F= 0.25 %, ( )F= 0.50 %, ( )F= 0.75 %
Ausgehend von der angewendeten Normierung der Verläufe nachu/u∞ und θ, kann ein selbstähnliches Verhalten bei Transpirationskühlung unabhängig von der axialen Messposition (fürx >10 mm) aber nicht von der Ausblaserate festgestellt
18AusnahmeF= 0.0 %; hier treten keine derartigen Abweichungen auf, jedoch liegt auch keine Kühlung vor. Die Streuung innerhalb derθ-Verläufe werden in Kap. B.2.1 diskutiert.
werden. Um eine vollständige Selbstähnlichkeit der Strömungsprofile zu erzeugen, wird im folgenden Abschnitt versucht, die Kühlgaseinblasung bzw. das damit verbundenen Impuls- und Energiedefizit derGszu charakterisieren.
In Anlehnung an Modelle zur Beschreibung der Kühleffektivität bei Filmkühlung nach Goldstein [31], wird die transpirationsgekühlteGsüber der porösen Probe als Kontrollvolumen (Kv) abstrahiert (s. Abb. 5.13 (a)). An dessen jeweiligen Grenzen treten über dieGs- bzw. Mischungszonendicke (δMz ˆ=δT01s. Abb. 5.9) Massenanteile der Heißgasströmung
˙
m∗∞= 78ρ∞u∞δMzb (5.13)
und über die gekühlte Lauflänge (l∗) Anteile des Kühlgasmassenstroms
˙
m∗c=ρwvwl∗b (5.14)
in das Kv ein. Die Breite b des berachteten Kv wird durch die laterale Aus-dehnung der gekühlten Probe begrenzt (Breite der Probe in z-Richtung). Die Formulierung nach Gl. (5.13) ist aus dem1/7-Potenzgesetz abgeleitet und wird bspw. in [31] herangezogen, um den in den Kühlfilm eingemischten Heißgasanteil zu quantifizieren. In Gl. (5.14) beschreibtvwdie Injektionsgeschwindigkeit, mit der das Kühlgas in dasKveintritt19. Innerhalb desKvvermischen sich die beiden Massenstromanteile zu ˙m∗= ˙m∗∞+ ˙m∗c, welcher stromab den betrachteten Bereich wieder verlässt. Durch die Erweiterung der Massenstrombeiträge mit der jeweiligen Geschwindigkeit bzw. der spezifischen Enthalpie, lassen sich die Bilanzgleichung des Impulsstromes
( ˙m∗∞+ ˙m∗c)u∗= ˙m∗∞u∞ (5.15)
Kv
δMz l∗ b
I: ˙m∗u∗ E: ˙m∗c∗pT∗ I: ˙m∗∞u∞
E: ˙m∗∞cp,∞T∞
E: ˙m∗ccp,wTw
(a) Kontrollvolumen
0 0.5 1
0 1
F1
y/δMz
(b) Blendfunktion Abbildung 5.13: Modellannahmen zur Korrektur der Strömungsprofile
19vwberechnet mitTwals Bezugstemperatur fürρw ⇒ vw=m˙c/ρwAc
sowie die Bilanzgleichung des Enthalpiestroms
˙
m∗c∗pT∗= ˙m∗∞cp,∞T∞+ ˙m∗ccp,wTw (5.16) aufstellen. Da sich die Wandtemperatur entlang der Lauflänge der gekühlten Probe ändert, wird eine aus den wandinternen Messungen gemittelte Temperatur Tw(l∗) zur Bilanzierung verwendet20. Durch das Einsetzen der Gln. (5.13) und (5.14), kann aus Gl. (5.15) eine charakteristische Mischungsgeschwindigkeit
u∗= u∞ 1 +87F∗δl∗
Mz
(5.17) bestimmt werden. Analog lässt sich aus Gl. (5.16) eine Mischungstemperatur
T∗=T∞+87F∗δl∗
Mz cp,w cp,∞Tw 1 +87F∗δl∗
Mz
(5.18) ableiten. Die imKvresultierende spezifische Wärmekapazitätc∗pwird hierbei in guter Näherung durchcp,∞approximiert21.
Zur Bestimmung dieser Modellgrößen wird die Ausblaserate nach deren eigentlicher DefinitionF∗=ρwvw/(ρ∞u∞)verwendet. Im Vergleich zur eingesetzten Variante zur Regelung der Experimente (F = ( ˙mc/Ac)/(m˙g/Ag)), werden Verdrängungs-und Temperatureffekte der Gs dadurch bereits implizit berücksichtigt. Diese zusätzlichen Informationen machenF∗repräsentativer bei der Beschreibung der Gs-Charakteristik. Die experimentelle Regelung nachF gestaltet sich jedoch als wesentlich einfacher und wurde bei der Versuchsdurchführung bevorzugt. Zur Unterscheidung dieser Formulierungen dient der hochgestellte Index anF∗. Werden die Mischungsgrößenu∗undT∗ auf die jeweilige Größe der ungestörten Heißgasströmung bezogen, kann der durch die Kühlung eingetragene Impuls- bzw.
Energiedefekt quantifiziert werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurde hierfür eine Formulierung gewählt, die eine direkte Berechnung korrigierter Geschwindigkeiten
ukor=u+u∞u∞ u∗ −1
F1 (5.19)
und korrigierter Temperaturen Tkor=T+T∞T∞
T∗ −1
F1 (5.20)
20Aus den oberflächenbündigenTe(s. Kap. 4.1.3)⇔Lte:Tw=Tf,Hs(s. Kap. 5.1.2)
21Nach [31]:c∗p= (m˙∗∞cp,∞+ ˙m∗ccp,w)/(m˙∗∞+ ˙m∗c) ⇒ cp,∞−c∗p
/cp,∞≤0.04 %
erlaubt. Die GrößenuundT entsprechen dabei den gemessenen Werten der Gs-Traversierung. Der zusätzliche TermF1in Gln. (5.19) und (5.20) repräsentiert eine Blendfunktion, die die integralen Mischungsgrößen über den jeweiligen Abstandy zur Wand gewichtet. Diese Funktion ist in ihrem Charakter
F1= 1 + 2y
δMz y δMz −12
(5.21) an die Wichtungsfunktion desSst-Turbulenzmodells nach Menter [71] orientiert.
Der Verlauf dieser Blend- oder Wichtungsfunktion ist in Abb. 5.13 (b) dargestellt.
In Abb. 5.14 sind die nach Gln. (5.19) und (5.20) korrigierten Verläufe für den Fall Re250k/T100C abgebildet. Die resultierende Überlappung der sechs Einzelprofile lässt schlussfolgern, dass die Normierung mittels der korrigierten Größen den Impuls- und Energiedefekt der transpirationsgekühltenGsangemessen beschreibt.
Überträgt man das beschriebene Vorgehen auf die übrigen untersuchten Fälle unterschiedlicher Versuchsbedingungen, können ebenfalls annähernd deckungsglei-cheGs-Verläufe hergestellt werden. Die zugehörige Darstellung ist in Abb. 5.15 gegeben. Die resultierenden, nach dem beschriebenen Vorgehen korrigierten, Pro-file erlauben die Feststellung eines selbstähnlichenGs-Verhaltens unabhängig von Reynolds-Zahl, Heißgastemperatur, Ausblaserate und Messposition.
0.5 1
0 1
ukor/u∞ y/δ99
x= 30 mm x= 50 mm
(a) Geschwindigkeit
0.5 1
0 1
θkor y/δT01
x= 30 mm x= 50 mm
(b) Temperatur Abbildung 5.14: Korrigierte Strömungsprofile bei Re250k/T100C/SampleB180:
( )F= 0.25 %, ( )F= 0.5 %, ( )F = 0.75 %
In Abb. 5.15 (a) und (b) sind neben den korrigierten Werten die Funktionenϕund ϑeingezeichnet. Beide Ausgleichskurven stammen aus einer Regressionsanalyse nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Levenberg-Marquard-Algorithmus nachMatlabStandard Implementierung). Die Datengrundlage bilden die korri-gierten 30 Einzelprofile. Die beiden gebrochenrationalen Funktionen
ϕ=ukor
u∞ = 19.2 (y/δ99)2+ 2.3 (y/δ99)
(y/δ99)3+ 15.9 (y/δ99)2+ 4.6 (y/δ99) (5.22)
zur Beschreibung der normierten Geschwindigkeit und ϑ=Tkor−Tw
T∞−Tw = −295.9 (y/δT01)2+ 14101.9 (y/δT01)
(y/δT01)2+ 12894.8 (y/δT01) + 910.4 (5.23) zur Beschreibung der Temperatur, haben sich für diese Aufgabe als zielführend herausgestellt.
0.5 1
0 1
ukor/u∞ y/δ99
x= 30 mm x= 50 mm
ϕ
(a) Geschwindigkeit
0.5 1
0 1
θkor
y/δT01
x= 30 mm x= 50 mm
ϑ
(b) Temperatur
Abbildung 5.15: Korrigierte Profile inkl. abgeleiteter Funktionen überSampleB180 für Re150k/60C/100C, Re200k/60C/100C u. Re250k/60C/100C:
( )F= 0.25 %, ( )F= 0.5 %, ( )F = 0.75 %
Werdenϕundϑdazu verwendet, korrigierte Verläufe zu bestimmen sowie zusätz-lich die eingeführten Korrekturansätze nach Gln. (5.19) und (5.20) angewendet, lässt sich daraus auf ›reale‹Gs-Größen zurückrechnen. Abb. 5.16 zeigt das Er-gebnis dieses Vorgehens fürSampleB180 bei Re250k/T100C undx= 50 mm. Die gute Übereinstimmung zwischen Messwerten und Modellfunktion in Abb. 5.16 (a) und (b) ist wenig überraschend, da die eingezeichneten Datenpunkte Teil der Regressionsanalyse zur Bestimmung vonϕundϑsind. Dennoch ist bemerkens-wert, dass zur Berechnung der eingezeichneten Verläufe lediglich Informationen
0 50 100
0 2 4 6 8
u/ m/s
y/mm
uausϕ F = 0.25 % F = 0.50 % F = 0.75 %
(a) Geschwindigkeit
330 350 370
0 2 4 6 8
T / K
y/mm
T ausϑ F = 0.25 % F = 0.50 % F = 0.75 %
(b) Temperatur
Abbildung 5.16: Gemessene Strömungsprofile und Rückrechnung aus abgeleiteten Funktionen bei Re250k/T100C/SampleB180 fürx= 50 mm
zur thermischen Grenzschichtdicke, den Geschwindigkeiten und Temperaturen der ungestörten Heißgasströmung sowie des eingeblasenen Kühlgases benötigt werden.
Unter Ausnutzung der Selbstähnlichkeit einer transpirationsgekühltenGs, kann mit diesen sechs, verhältnismäßig einfach bestimmbaren, Messwerten (δ99,δT01, u∞,T∞,vw u.Tw) auf die zugrundeliegendenGs-Profile geschlossen werden.
Der Gültigkeitsbereich für die Herstellung bzw. Ausnutzung der Selbstähnlichkeit einer transpirationsgekühltenGskann nach dem demonstrierten Vorgehen mit 150 000≤Redh ≤250 000, 60◦C≤Tg ≤100◦C und 0.25 %≤F ≤0.75 % für das Einstoffsystem Luft/Luft angegeben werden. Die Erweiterung des betrach-teten Parameterfensters ist nötig, um die Gültigkeit des Ansatzes auf weitere Versuchsbedingungen zu übertragen.