Schematischer Aufbau des Programms

Das Fortran-Programm mit s¨amtlichen verwendeten Modulen sowie Skripten f¨ur die Par-allelisierung und Rechnung auf Clustern des bwGRiD [26] soll hier nicht bis ins Detail beschrieben werden. Es wird jedoch außer den theoretischen Grundlagen und verwen-deten Formeln auch ein schematischer ¨Uberblick ¨uber den Programmablauf gegeben, schließlich stellt die Numerik einen betr¨achtlichen Anteil dieser Arbeit dar.

Zun¨achst wenden wir uns den gebundenen Zust¨anden zu, deren Bestimmung f¨ur ver-schiedene Landau-Niveaus und Magnetfelder zwar schon in [14] und [12] skizziert ist, hier aber nochmal speziell f¨ur das zur Berechnung der Ausgangs- und Endzust¨ande verwen-dete adiabatische Hartree-Fock-Roothaan-Verfahren aufgezeigt werden soll. Abbildung 5.1 zeigt das Programmschema.

Alle ben¨otigten Daten zur Berechnung eines Zustandes werden in eine Parameterda-tei geschrieben. Diese beinhaltet Quantenzahlen, Magnetfeldst¨arke, Kernladung sowie Quellpfad f¨ur die vorberechneten Potentiale und Koeffizienten (siehe Anhang C). Da f¨ur die durchgef¨uhrten Rechnungen teilweise hunderttausende von Zust¨anden ben¨otigt werden, erfolgt die Erstellung dieser Dateien automatisch mithilfe eines Skripts, welches basierend auf Angaben der minimalenm- und maximalenν-Quantenzahl alle denkbaren Zust¨ande erstellt.

Aufgrund der Quantenzahlen wird dann f¨ur jedes Elektron eine effektive Kernladungs-zahl bestimmt. Hierbei schirmen andere Elektronen mit gr¨oßerer Knotenzahl den Kern n¨aherungsweise gar nicht ab, solche mit niedrigerer Knotenzahl verringern die effektive Kernladungszahl um eins und bei Elektronen mit gleicher Knotenzahl wird die Aufent-haltswahrscheinlichkeit des Elektrons im jeweiligen Landau-Niveau ausgewertet. Diese verringern die effektive Kernladungszahl also um einen Wert zwischen null und eins.

Mit diesen effektiven Kernladungszahlen k¨onnen nun die Startwellenfunktionen f¨ur das iterative Hartree-Fock-Roothaan Verfahren berechnet werden. Dabei wird die Wech-selwirkung der Elektronen untereinander zun¨achst vernachl¨assigt und nur die Wellen-funktion f¨ur ein wasserstoff¨ahnliches System mit der Kernladung q_eff bestimmt. Dieses Verfahren zum Erlangen der Startwellenfunktionen mag etwas kompliziert erscheinen, ist jedoch unbedingt notwendig, da die Wahl der Startwellenfunktion von entscheiden-der Bedeutung f¨ur die Konvergenz der Rechnung ist.

F¨ur jedes Elektron wird eine individuelle B-Spline-Basis mit entsprechenderz-Ausdehnung sowie Aufteilung der finiten Elemente verwendet, um zu gew¨ahrleisten, dass man mit m¨oglichst wenigen B-Spline-Koeffizienten eine m¨oglichst pr¨azise Wellenfunktion erh¨alt.

Nach jedem Iterationsschritt wird gepr¨uft, ob der Zustand konvergiert ist. Das

Krite-5.6. Schematischer Aufbau des Programms

Parameterdatei mit Kernladungszahl, Magnetfeldst¨arke und Anzahl der Elektronen sowie deren Quantenzahlen

Bestimmung der Abschirmung−→effektive Kernladungszahlq_i^eff der Elektronen

q_i^eff

Berechnung der Startwellenfunktionen

−→B-Spline-Koeffizientenαiµ

αiµ

adiabatisches Hartree-Fock-Roothaan-Verfahren vorberechnete

Potentiale und Koeffizienten

Konvergenz?

ja

nein αiµ

Anpassung der B-Spline-Basis

n¨otig?

nein

ja αiµ

Ergebnisdatei schreiben

Abb. 5.1.: Programmschema f¨ur die Berechnung der gebundenen Zust¨ande in adiabati-scher N¨aherung.

rium hierf¨ur ist ein Energieunterschied von weniger als 10⁻³ eV gegen¨uber der vorigen Iteration. Danach wird gegebenenfalls die B-Spline-Basis noch einmal angepasst, da sich die Ausdehnung der Einelektronen-Wellenfunktionen gegen¨uber den Startwellenfunktio-nen teilweise erheblich ¨andert, woraufhin in der neuen Basis wieder der Zustand mit dem Hartree-Fock-Roothaan-Verfahren berechnet wird, bis der Zustand bei passender B-Spline-Basis konvergiert. Dann werden die Bindungsenergie des Zustandes, die gew¨ ahl-te B-Spline-Basis, die zugeh¨origen Koeffizienten der Wellenfunktion, Magnetfeldst¨arke, Kernladungszahl und Quantenzahlen in die Ergebnisdatei geschrieben, welche zum Be-rechnen des Wirkungsquerschnitts ben¨otigt wird.

Dies f¨uhrt uns dann direkt zum Schema des eigentlich in dieser Arbeit behandelten Programms, welches den Wirkungsquerschnitt f¨ur die Photoionisation berechnet, siehe Abbildung 5.2.

Außer den Quellpfaden f¨ur die Ergebnisdatei des gebundenen Anfangs- und Endzu-standes (Endzustand ohne das photoionisierte Elektron) und der vorberechneten Poten-tiale m¨ussen wir noch die m-Quantenzahl des ungebundenen Elektrons vorgeben.

Der Wirkungsquerschnitt wird f¨ur verschiedene Energien des ungebundenen Elektrons berechnet. Die Photonenenergie setzt sich aus der Energiedifferenz des Ausgangs- und Endzustandes sowie der Energie des ungebundenen Elektrons zusammen.

Mithilfe der Wellenfunktionen der gebundenen Elektronen sowie der Kernladung k¨ on-nen wir das Potential berechon-nen, in welchem sich das ungebundene Elektron befindet.

Die Austauschwechselwirkung wird dabei zun¨achst vernachl¨assigt, da hierf¨ur bereits eine Wellenfunktion f¨ur das ungebundene Elektron vorliegen m¨usste.

Im n¨achsten Schritt kann dann die Austauschwechselwirkung mit ber¨ucksichtigt wer-den und die Wellenfunktion des ungebunwer-denen Elektrons wird in einem iterativen Verfah-ren berechnet, wobei f¨ur die Austauschwechselwirkung jeweils noch die Wellenfunktion des ungebundenen Elektrons aus dem vorigen Schritt ben¨otigt wird.

Das Konvergenzkriterium kann sich hier nicht wie bei den gebundenen Zust¨anden auf die Energie beziehen. Die Energie des ungebundenen Elektrons muss vor der Berechnung von dessen Wellenfunktion fest gew¨ahlt werden. Stattdessen wird die relative ¨Anderung der Wellenfunktion

R g_mE^neu0(z)−g_mE^alt0(z) dz R g_mE^neu0(z) dz

(5.4) als Konvergenzkriterium herangezogen. Dieser Wert muss kleiner als 10⁻³ sein, damit die Rechnung als konvergiert angesehen wird. Danach wird mit dieser Wellenfunktion der Wirkungsquerschnitt berechnet und in eine Ergebnisdatei geschrieben.

Die Anzahl der m¨oglichen Kombinationen aus Anfangs- und Endzust¨anden, welche der Zahl der zu berechnenden Wirkungsquerschnitte entspricht, ist noch gr¨oßer als die Anzahl der vorher gerechneten gebundenen Zust¨ande. Auch hier wird ein Skript ver-wendet, welches alle denkbaren Kombinationen aus Anfangs- und Endzust¨anden ¨ uber-pr¨uft, wobei sich die Summe der magnetischen Quantenzahlen nur um 0,± 1 ¨andern

5.6. Schematischer Aufbau des Programms

m-Quantenzahl des ungebundenen Elektrons, vorberechnete Potentiale und Koeffizienten sowie Ergebnisdateien von Ausgangs-und Endzustand mit Magnetfeldst¨arke, Kernladungszahl, Elektronen-anzahl, Quantenzahlen, Bindungsenergie und Wellenfunktionen

Bestimmung des Potentials ohne Austauschwechselwirkung

−→Wellenfunktion des ungebundenen Elektrons

Bestimmung des Potentials mit Austauschwechselwirkung

−→Wellenfunktion des ungebundenen Elektrons

Konvergenz?

ja

nein

Berechnung des Wirkungsquerschnitts, Schreiben der Ergebnisdatei

Abb. 5.2.: Programmschema zur Berechnung der Wirkungsquerschnitte f¨ur die Photoio-nisation aus den adiabatischen Zust¨anden.

darf. Außerdem ergeben viele Wirkungsquerschnitte null aufgrund der Orthogonalit¨at der Landau-Niveaus verschiedener m-Quantenzahlen beziehungsweise der Orthogonali-t¨at der Wellenfunktionen mit unterschiedlicherz-Parit¨at und werden direkt aussortiert.

Die Zahl der damit noch zu berechnenden Einzelwirkungsquerschnitte liegt f¨ur Helium bei ¨uber einer Million. Um diese große Zahl an ¨Uberg¨angen zu verwalten wurde statt der im Programmschema erw¨ahnten Ergebnisdateien eine SQL Datenbank verwendet.

Am Programmablauf ¨andert dies nichts, die Datenbank bietet lediglich eine komfortable Verwaltung der immensen Datenmengen. F¨ur die Berechnung einzelner ¨Uberg¨ange lohnt sich die Erstellung einer Datenbank jedoch nicht.