In seinem ber¨uhmten Artikel betrachtet Stein (1956) das Sch¨atzen und Testen eines endlich dimensionalen euklidischen Parametersθ bei Vorhandensein eines un-endlich dimensionalen Nebenparameters ν. Er leitet eine einfache notwendige Be-dingung f¨ur Adaptivit¨at her, n¨amlich die Diagonalform der Fisher-Information von eingebetteten endlich dimensionalen parametrischen Modellen. In Abh¨angigkeit von geeigneten Konstruktionen bedeutet klassische Adaptivit¨at, dass das Sch¨atzen (Testen) von θ bei unbekanntem ν asymptotisch nicht schwieriger ist als das
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Sch¨atzen (Testen) von θ bei bekanntem ν. Das Notwendigkeitsresultat vonStein (1956) wurde vonBickel(1982) aufgenommen, der hinreichende Bedingungen erh¨alt unter denen adaptive Sch¨atzer existieren (vgl. Theoreme 3.1 und 3.2, ibid.). Eine sehr ausf¨uhrliche Behandlung von Adaptivit¨at in semiparametrischen Modellen wird inBickel et al.(1998) gegeben.
Da semiparametrische Modelle, die auf strikte Annahmen wie Symmetrie ange-wiesen sind, zu Umgebungsmodellen vergr¨oßert werden k¨onnen, ergibt sich die Frage der Adaptivit¨at auch in der robusten Statistik. Da aber die klassische Scores in diesem Kontext nicht mehr optimal ist, muss man ¨uber die Bedeutung von ro-buster Adaptivit¨at neu nachdenken.
Unserer Meinung nach ist es am ¨uberzeugendsten, die Definition robuster Adap-tivit¨at mit Hilfe des identischen Wertes zweier robuster Optimierungsprobleme auszudr¨ucken. Mit dieser Definition ist Adaptivit¨at nicht mehr l¨anger nur ein di-chotomes Kriterium, sondern besitzt, im Gegensatz zur bisherigen Literatur, nun auch eine quantitative Bedeutung. Allgemein gesprochen h¨angt die Tatsache, ob Adaptivit¨at vorliegt oder nicht, nicht von einem gegebenen Startradius r∈(0,∞) ab. Jedoch kann sich die Situation f¨ur r= 0 (klassische Adaptivit¨at) bzw. f¨ur den Grenzfall r→ ∞ von r∈(0,∞) unterscheiden.
In Abschnitt 9.1 definieren wir Adaption mit Hilfe zweier asymptotischer MSE Probleme. Das heißt, durch die Betrachtung der MSE–Ineffizienzen zwischen den entsprechenden L¨osungen erhalten wir einen Ausdruck f¨ur die Gr¨oße der Nicht-Adaptivit¨at.
In dieser Dissertation beschr¨anken wir uns auf endlich dimensionale Parameter, jedoch kann der Begriff der robusten Adaptivit¨at leicht auf Umgebungsmodelle mit unendlich dimensionalen Parametern ausgedehnt werden; siehe Abschnitt 6.1 von Rieder(2003) bzw. Abschnitt 2 vonShen(1995) (implizit verwendet).
Im aktuellen Kapitel treten verschiedene Kombinationen von klassischer und robuster Adaptivit¨at auf. Zum einen gibt es Modelle, welche sowohl klassisch als auch robust adaptiv sind. Zum anderen geben wir Beispiele, in denen wir klassische aber keine robuste Adaptivit¨at haben und schließlich behandeln wir Modelle, die weder klassisch noch robust adaptiv sind. Unser Studium der Adaptivit¨at wird durch numerische Auswertungen der Gr¨oße der Nicht-Adaptivit¨at unterst¨utzt.
In Abschnitt 9.2 betrachten wir das lineare Modell mit zuf¨alligen Regressoren, wobei wir zus¨atzlich Umgebungen um das ideale Modell betrachten. Im Einzelnen sind dies unbedingte (∗=c, t= 0 ), gemittelte bedingte (∗ =c, t=α= 1 ) und quadratisch gemittelte bedingte (∗ =c, t =α= 2 ) Kontaminationsumgebungen sowie gemittelte bedingte Totalvariationsumgebungen (∗=v, t=α= 1 ).
Zuerst untersuchen wir robuste Adaptivit¨at im Fall von linearer Regression mit Skala; vergleiche Unterabschnitt 9.2.1. Unter der Voraussetzung einer sym-metrischen idealen Fehlerverteilung F, ist dieses Modell klassisch adaptiv bezogen auf die Skala. Falls wir unseren Blickwinkel ¨andern und Skala als Hauptparameter und den Regressionsparameter als Nebenparameter betrachten, erhalten wir erneut klassische Adaptivit¨at. Nun wird das ideale Modell um die oben erw¨ahnten Umge-bungen erweitert. Aufgrund der Symmetrie der idealen Fehlerverteilung F bleibt die Adaptivit¨at bezogen auf die Skala tats¨achlich auch unter den Umgebungen
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halten.
Im Fall von unbedingten (∗ =c, t = 0 ) und gemittelten bedingten (∗ =c, t=α= 1 ) Kontaminationsumgebungen werden die L¨osungen f¨ur die simultane Sch¨atzung von Regression und Skala in Unterabschnitt7.2.1hergeleitet. Mit Hilfe dieser L¨osungen k¨onnen wir auch die robuste Adaptivit¨at im Fall, dass die Skala den Hauptparameter und der Regressionsparameter den Nebenparameter darstellt, untersuchen. Es stellt sich heraus, dass das lineare Modell ausgestattet mit diesen Umgebungen robust adaptiv mit Bezug auf den Regressionsparameter ist.
Als zweites behandeln wir Regression mit Achsenabschnitt, wobei wir wieder eine symmetrische ideale Fehlerverteilung F voraussetzen; vergleiche Unterab-schnitt9.2.2. Zus¨atzlich nehmen wir eine asymmetrische ideale Regressorverteilung K an. Unter diesen Voraussetzungen ist das lineare Modell klassisch aber nicht notwendigerweise robust adaptiv bezogen auf den Achsenabschnitt. Im Fall quadra-tisch gemittelter bedingter Kontaminationsumgebungen (∗=c, t=α= 2 ) erhal-ten wir tats¨achlich robuste Adaptivit¨at mit Bezug auf den Achsenabschnitt. Jedoch trifft dies nicht in Verbindung mit den gr¨oßeren unbedingten (∗ =c, t = 0 ) und gemittelten bedingten Kontaminationsumgebungen (∗ =c, t=α= 1 ) sowie den gemittelten Totalvariationsumgebungen (∗=v, t=α= 1 ) zu.
In Unterabschnitt 9.2.2.5 geben wir einige numerische Resultate f¨ur die Gr¨oße der Nicht-Adaptivit¨at im Fall des linearen Modells mit gemittelten bedingten Kon-taminationsumgebungen (∗ =c, t =α= 1 ) an. F¨ur diese Berechnungen setzen wir als ideal Fehlerverteilung F =N(0,1) voraus und betrachten einige einfache eindimensionale Regressorverteilungen K. Es zeigt sich, dass bereits in diesen beispielhaften Situationen das Ausmaß der Nicht-Adaptivit¨at recht groß werden kann. Wir erhalten Subeffizienzen von bis zu 300% . Außerdem zeigen die nu-merischen Resultate, dass die Gr¨oße der Nicht-Adaptivit¨at nicht notwendigerweise monoton wachsend im Startradius r ist. In einem Beispiel erhalten wir sogar ro-buste Adaptivit¨at im Grenzfall r→ ∞; vergleiche Beispiel9.2.26.
Diese Berechnungen sowie die numerische Bestimmung der optimalen ICs im Fall von linearer Regression k¨onnen mit Hilfe unseresRPaketsROptRegTSdurchgef¨uhrt werden, welches Bestandteil unseres R bundle’s RobASt ist; siehe Anhang D. In Unterabschnitt 9.2.3 geben wir eine kurze Beschreibung dieses Pakets. Die Im-plementation basiert auf S4 Klassen und Methoden wie sie in Chambers (1998) eingef¨uhrt wurden. Weitere Details zur Implementation von linearen Regressions-modellen k¨onnen im Unterabschnitt 7.6.1 bzw. in Anhang D.4 gefunden werden.
In Abschnitt9.3untersuchen wir die Adaptivit¨at von Zeitreihenmodellen. Wie in AnhangAzu sehen ist, k¨onnen einige dieser Modelle, welche eine bestimmte Regres-sionsstruktur aufweisen, analog zu linearen Modellen behandelt werden. Wichtige Beispiele sind das ARMA(p, q) und das ARCH(p) Modell, welche wir in Verbin-dung mit gemittelten (∗ = c, t = α= 1 ) und quadratisch gemittelten (∗ = c, t=α= 2 ) Kontaminationsumgebungen der ¨Ubergangswahrscheinlichkeiten sowie gemittelten Totalvariationsumgebungen (∗ =v, t =α= 1 ) der ¨ Ubergangswahr-scheinlichkeiten untersuchen.
Zuerst betrachten wir das ARMA(p, q) Modell inklusive Verschiebung; siehe
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Unterabschnitt 9.3.1. In der Tat besitzt dieses Modell ein ¨ahnliche Struktur wie das lineare Modell mit Achsenabschnitt, welches in Unterabschnitt9.2.2behandelt wird.
Unter der Voraussetzung, dass die ideale Verteilung der Innovationen F den Erwartungswert µF = 0 besitzt, ist das ARMA(p, q) Modell klassisch adap-tiv mit Bezug auf die Verschiebung. Die Adapadap-tivit¨at ¨ubertr¨agt sich auf Umge-bungen im Fall von quadratisch gemittelten KontaminationsumgeUmge-bungen (∗ =c, t = α = 2 ); vergleiche Unterabschnitt 9.3.1.1. Im Fall der gr¨oßeren gemittelten Kontaminations- (∗ = c, t = α= 1 ) und Totalvariations- (∗ =v, t = α= 1 ) Umgebungen ben¨otigen wir zus¨atzliche Voraussetzungen, um robuste Adaptivit¨at mit Bezug auf die Verschiebung zu erhalten. Falls wir zus¨atzlich eine symmetrische ideale Innovationsverteilung F voraussetzen, ¨ubertr¨agt sich die robuste Adaptivit¨at tats¨achlich; siehe Unterabschnitt 9.3.1.2bzw.9.3.1.3.
Anschließend ¨andern wir unseren Blickwinkel und betrachten die Verschiebung als Hauptparameter w¨ahrend die ARMA Parameter die Nebenparameter sind. Die-ses Modell kann als eine Verallgemeinerung des klassischen u.i.v. Lokationsmodells angesehen werden, wobei die Fehler nun zus¨atzlich eine ARMA Struktur besitzen.
Wiederum erhalten wir klassische Adaptivit¨at als eine Konsequenz von µF = 0 . Außerdem ergibt sich robuste Adaptivit¨at im Fall von quadratisch gemittelten be-dingten Kontaminationsumgebungen (∗ =c, t =α = 2 ). Aber dieses Mal liegt robuste Adaptivit¨at (ohne weitere Voraussetzungen) auch im Fall der gr¨oßeren gemittelten bedingten Kontaminations- (∗ =c, t =α= 1 ) und Totalvariations-umgebungen (∗=v, t=α= 1 ) vor.
Der Umfang der robusten Nicht-Adaptivit¨at wird im Fall von AR(1) bzw. MA(1) mit Verschiebung und Gumbel verteilten Innovationen ausgewertet. Wie wir se-hen, ist der Umfang in Termen des MSE Effizienzverlustes nur sehr klein. F¨ur alle betrachteten Parameterwerte bleibt die Subeffizienz jeweils unterhalb von 3% ; vergleiche Unterabschnitt9.3.3.1.
Als zweites untersuchen wir die robuste Adaptivit¨at des ARCH(p) Modells, welches von Engle (1982) eingef¨uhrt wurde; siehe Unterabschnitt 9.3.2. Wieder betrachten wir gemittelte (∗=c, t=α= 1 ) und quadratisch gemittelte (∗=c, t=α= 2 ) Kontaminationsumgebungen von ¨Ubergangswahrscheinlichkeiten sowie gemittelte Totalvariationsumgebungen (∗ =v, t =α = 1 ) von ¨ Ubergangswahr-scheinlichkeiten. Dieses Modell ist nicht klassisch adaptiv mit Bezug auf die Skala der Innovationen. Außerdem ist es in Verbindung mit den genannten Umgebungen auch nicht robust adaptiv bezogen auf die Skala der Innovationen.
Numerische Resultate im Fall des ARCH(1) Modells mit lognormal verteilten Innovationen sind in Unterabschnitt9.3.3.2angegeben. Wie sich herausstellt, kann der Umfang der Nicht-Adaptivit¨at in diesem Setup sehr groß sein. Insbesondere falls wir Parameter ausw¨ahlen, die in der N¨ahe der Grenze des Stationarit¨ atsbe-reichs des betrachteten ARCH(1) Prozesses liegen, erhalten wir wirklich enorme Subeffizienzen (>1000% ); siehe Tabelle9.8.
Im Fall der Zeitreihenmodelle sind bis jetzt nur die Spezialf¨alle, die in Unter-abschnitt 9.3.3 betrachtet wurden, implementiert, wobei wir keine Objektorien-tierung verwenden. Die Implementation von AR(1) und ARCH(1) ist im Unterab-schnitt9.3.4 beschrieben. Jedoch passen diese speziellen Regressions-Typ
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henmodelle gut in den objektorientierten Aufbau unseresRPaketesROptRegTS(vgl.
AnhangD.4) und werden in naher Zukunft darin integriert werden.