Relationen

Einen-stellige Relation (n∈N,n>1) ¨uber einer MengeAist eine Menge vonn-Tupeln uber¨ A, d.h. eine Teilmenge R ⊆Aⁿ. (a₁, . . . , a_n) ∈R bedeutet, dass a₁, . . . , a_n in der Relation R stehen. Speziell f¨ur zweistellige Relationen wird oft eine Schreibweise aRa⁰ anstelle von (a, a⁰)∈R benutzt.

Z.B. ist die Gleichheitsrelation ¨uber einer Menge A die Relation {(a, a) : a ∈ A}.

Ebenso werden etwa die ¨ublichen Ordnungsrelation6^N,6^Z¨uberN,Zusw. als zweistelli-ge Relationen ¨uber der betreffenden Menge aufgefasst, z.B.6^N={(n, m)∈N²:n6m}.

Die Kantenbeziehung in einem Graphen l¨asst sich als zweistellige Relation E uber der¨ Knotenmenge V beschreiben: (u, v)∈E gdw. eine Kante vonu nach v besteht.

Relationen k¨onnen auch Elemente aus verschiedenen Grundmengen verbinden; man spricht auch vonmehrsortigen Relationen.

Beispiel 1.1.1 Die Transitionen eines Transitionssystems ¨uber der Zustandsmenge Q mit Kantenbeschriftungena∈Σ kann alsTransitionsrelation∆⊆Q×Σ×Qformalisiert werden: (q, a, q⁰)∈∆ bedeutet, dass es einea-Transition vonq nachq⁰ gibt (q−→^a q⁰).

Beispiel 1.1.2 In relationalen Datenbanken werden Tabellen von Dateneintr¨age zu (mehrsortigen) Relationen zusammengefasst. In einer Personaldatenbank k¨onnte z.B. ei-ne 3-stellige RelationR f¨ur jeden Besch¨aftigten das Tripel (Pers-Nr,Alter,Eintrittsjahr) enthalten; oder eine 2-stellige Relation s¨amtliche Paare (Pers-Nr1,Pers-Nr2) derart, dass Besch¨aftigter 1 ein Vorgesetzter des Besch¨aftigten 2 ist.

Beispiel 1.1.3 DiePr¨afixrelation 4auf Σ^∗ ist die 2-stellige Relation (u, uw)∈Σ^∗×Σ^∗:u, w∈Σ^∗ .

D.h., f¨ur Σ-W¨orteru und v giltu4v gdw.v=uw f¨ur ein w∈Σ^∗ ist, also wennu ein Anfangsabschnitt (Pr¨afix) vonv ist.

Entsprechend schreiben wir ≺f¨ur die strikte Pr¨afixrelation, u≺v gdw.v =uw f¨ur ein w∈Σ⁺.

Einige wichtige Eigenschaften, die eine zweistellige RelationR⊆A² habenkann: Reflexivit¨at R heißt reflexiv gdw. f¨ur alle a∈Agilt aRa.

Symmetrie R heißt symmetrisch gdw. f¨ur alle a, b∈A gilt:aRb⇔bRa.

Transitivit¨at R heißt transitiv gdw. f¨ur alle a, b, c∈A gilt: (aRbund bRc) ⇒ aRc.

Ordnungsrelationen

Partielle Ordnungsrelationen wie z.B. die Teilmengenrelation ⊆ auf der Potenzmenge P(M) einer Menge M oder die Pr¨afixrelation 4 auf Σ^∗ sind reflexiv, transitiv und antisymmetrisch i.d.S. dass (aRbund bRa) nur f¨ura=b gilt.

Die strikten Varianten, wie oder ≺, sind ebenfalls transitiv, aber irreflexiv i.d.S., dass f¨ur kein ElementaRagilt. Diese sind demnach dann antisymmetrisch in dem stren-geren Sinne, dass niemals aRbund bRa gleichzeitig gelten.

Lineare(oder totale)Ordnungsrelationenwie6aufN,Z,QoderRerf¨ullen zus¨atzlich eine Vergleichbarkeitsbedingung f¨ur je zwei Elemente: a6=b ⇒(aRb oder bRa).

Aquivalenzrelationen¨

Definition 1.1.4 Eine zweistellige RelationR ¨uber einer MengeAheißt Aquivalenzre-¨ lation falls R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Die Gleichheit ist eine ¨Aquivalenzrelation. ¨Aquivalenzrelationen allgemein sind wich-tig als “verallgemeinerte Gleichheitsrelationen” i.d.S. dass man sie als “Gleichheit bis auf bestimmte ausgeblendete Unterschiede” deuten kann (Abstraktion). Interessiert uns z.B. bei W¨orternw∈Σ^∗ gerade ausschließlich f¨ur ihre L¨ange (oder die Anzahl der “a”), so wollen wir W¨orter derselben L¨ange (oder derselben “a”-Zahl) als ¨aquivalent ansehen, selbst wenn sie nicht gleich sind.

Meist w¨ahlt man f¨ur ¨Aquivalenzrelationen Symbole, die wie abgewandelte Gleichheits-zeichen aussehen, z.B.≡,≈,∼usw.

Beispiel 1.1.5 Sein∈N, n>2. Zwei ganze Zahlen k, l heißenkongruent modulo n, in Symbolen:k≡l(modn) oderk≡_nl, falls ihre Differenzk−lein ganzzahliges Vielfaches von nist; d.h., falls k=l+mn f¨ur ein geeignetes m∈Z.

Die Relation ≡_n ist eine ¨Aquivalenzrelation aufZ.

Bedeutung von k≡_nl: k undl lassen denselben Rest bei Division durch n.

Ubung 1.1.6¨ Sei Σ ein Alphabet, a∈ Σ, n> 2. F¨urw ∈ Σ^∗ sei |w|_a die Anzahl der a in w. Betrachte die Relation (u, v) ∈R gdw. |u|_a ≡ |v|_a(modn). Zeige, dass R eine Aquivalenzrelation auf Σ¨ ^∗ ist, und dass R mit Konkatenation (dem Aneinanderf¨ugen von W¨ortern) vertr¨aglich ist, in dem Sinne dass f¨uruRv und u⁰Rv⁰ stets auch uu⁰Rvv⁰. IstR eine ¨Aquivalenzrelation aufA, so zerf¨allt die GrundmengeA in disjunkte Teil-mengen von jeweils untereinander ¨aquivalenten Elementen. Diese Teilmengen bezeichnet man als die Aquivalenzklassen¨ von R.

Definition 1.1.7 Sei R eine ¨Aquivalenzrelation auf A. Wir bezeichnen mit [a]_R die Aquivalenzklasse von¨ abez¨uglich R:

[a]_R:={b∈A:aRb}.

Die Elemente einer ¨Aquivalenzklasse heißen auchRepr¨asentanten der ¨Aquivalenzklasse.

Lemma 1.1.8 Je zwei verschiedene ¨Aquivalenzklassen sind disjunkt, und die Grund-menge ist die Vereinigung aller ¨Aquivalenzklassen. D.h. die ¨Aquivalenzklassen bilden eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge.

Beweis Sei≈eine ¨Aquivalenzrelation aufA; wir schreiben [a] f¨ur die ¨Aquivalenzklasse von a.

Wenn [a]∩[b]6=∅ so existiert ein c∈ [a]∩[b]. Es folgt, dass a≈c und b≈ c. Mit Symmetrie folgt a≈c und c ≈b; also mit Transitivit¨at a≈b. Dann ist aber [a] = [b].

Das zeigt, dass je zwei verschiedene ¨Aquivalenzklassen disjunkt sind.

Dass jedes Element von A in (genau) einer Klasse enthalten ist, ergibt sich daraus,

dass stetsa∈[a] (Reflexivit¨at). 2

Definition 1.1.9 Die Menge aller ¨Aquivalenzklassen vonRaufA, der sogenannte Quo-tient bez¨uglich R, wird mitA/R bezeichnet:

A/R=

[a]_R:a∈A .

Die Funktion π_R: A → A/R, die jedem Element a seine ¨Aquivalenzklasse [a]_R zu-ordnet heißt nat¨urliche Projektion.

Beachte, dassaRb gdw. [a]R= [b]R gdw.πR(a) =πR(b).

Das Diagramm illustriert den Fall einer ¨Aquivalenzrelation R, die auf A gerade drei ¨Aquivalenzklassen besitzt, die durch die untereinander nicht ¨aquivalenten Elemente a, b, c∈A repr¨asentiert werden (wir schreiben [a] f¨ur [a]R):

Beispiel 1.1.10 Im Falle von ≡_n zerf¨allt Z in genau n Aquivalenzklassen, die soge-¨ nannten Restklassen modulon: f¨urk= 0, . . . , n−1 ist diek-te Restklasse modulondie Teilmenge [k]n={nm+k:m∈Z} derjenigen ganzen Zahlen, die bei Division durchn Rest khaben.

Definition 1.1.11 Sei R eine ¨Aquivalenzrelation auf A. Man sagt, dass R endlichen Index hat, wenn R endlich viele ¨Aquivalenzklassen hat. Der Index von R ist dann die Anzahl der Klassen, index(R) :=|A/R|.

Ubung 1.1.12¨ Bestimme die ¨Aquivalenzklassen von R sowie den Index von R aus Ubung 1.1.6.¨

Ubung 1.1.13¨ Sei f:A→ B irgendeine Funktion (s.u.). Dann wird durcha≈a⁰ :⇔

f(a) = f(a⁰) eine ¨Aquivalenzrelation auf A definiert. Jede ¨Aquivalenzklasse entspricht genau einem Element des Bildes vonf.

Jede beliebige ¨Aquivalenzrelation R uber¨ A l¨asst sich auf diese Weise interpretieren, wenn man f¨urB den Quotienten B :=A/Rund f¨urf die nat¨urliche Projektion w¨ahlt.

Diskussion.Der ¨Ubergang von einer Menge zu ihrem Quotienten bez¨uglich einer ¨ Aquiva-lenzrelation entspricht i.d.R. einer Vereinfachung und Abstraktion, da Information, die im urspr¨unglichen Objektbereich verschiedene aber untereinander ¨aquivalente Elemente unterscheiden ließ, dabei ausser acht gelassen wird. Man ¨uberlege sich dies an Beispielen wie der Verringerung der Farb- oder Pixelaufl¨osung in einer Grafikdatei.