Perturbations- oder Störungsmethode - KONZEPTE ZUR BESCHREIBUNG DER MAKRODISPERSION 38

4 KONZEPTE ZUR BESCHREIBUNG DER MAKRODISPERSION 38

4.1.2 Perturbations- oder Störungsmethode

Mit der stochastischen Methodik kann der Einfluss der Heterogenität und - im gekoppelten System - der Dichtevariabilität auf die Transportprozesse gelöster Inhaltsstoffe quantifiziert werden. Gelhar et al. [1979], Gelhar and Axness [1983] lösen die stochastischen Differentialgleichungen der Strömungs- und Transportprozesse mit den Mitteln der Spektral- bzw. Perturbationstheorie nach Euler (Abschnitt 3.3.4.1) für geringe Konzentration und damit dichteunabhängig. Die von Welty et al. [1989], Welty and Gelhar [1991], Gelhar [1993] und Welty et al. [2003] entwickelte allgemeine Lösung für den von der Dichte abhängigen Stofftransport soll im folgenden Abschnitt vorgestellt werden. Im gekoppelten System der Strömung und des Transportes über die Zustandsgleichungen eines Inhaltsstoffes werden die lognormale Permeabilitätverteilung des porösen Mediums und ihre abhängigen Variablen Konzentration, Druck und Geschwindigkeit als Zufallsfelder betrachtet.

Prozess- und Zustandsgleichungen

Die Strömung wird durch die allgemeine Darcy-Gleichung beschrieben:



 



∂∂ −

−

= g

x k p v

i µ ρ ^(4.7)

wobei v_idie Darcy-Geschwindigkeit in die Richtung x_i ist. Unter Annahme nur kleiner Dichteunterschiede wird die Massenerhaltung eines Fluids wie folgt approximiert:

0 x v_i ∂ _i ≈

∂ (4.8)

Dabei tritt die Dichtevariabilität nur im Auftriebsterm der Darcy-Gleichung auf (Boussinesq-Appromimation). Setzt man Gleichung (4.7) in (4.8) ein, erhält man die Gleichung für die Strömung:

0 x g

k p

x_i _i  =



 



 



 



∂∂ −

∂∂ µ ρ ^(4.9)

Die in (4.9) enthaltenen Variablen Dichte und Viskosität sind von der Konzentration abhängig und werden durch logarithmierten Zustandsgleichungen beschrieben [Welty et al., 1991]:

) c c ( a ln

lnρ = ρ₀+ − ₀ (4.10)

) c c 1 (

1 ln

ln ₀

−



 



= µ β

µ ^(4.11)

wobei co die Konzentration, ρo die Dichte und µo die dynamische Viskosität des Tracerfluids sind, sowie ^a =^d

( )

^lnρ ^/^dc und β =^ln

( )

¹ µ ^/^dc. Die lokale Gleichung für den Transport eines hydrodynamisch aktiven, konservativen gelösten Inhaltsstoffes ist folgende:

( )

_^











∂∂

∂∂ =

∂ +

∂

j ij e i i

e x

D c x n

c x v t

n c (4.12)

Die Transportgleichung (4.12) ist über die Zustandsgleichungen (4.10) und (4.11) mit der approximierten Darcy-Gleichung (4.9) gekoppelt.

Stochastische Zufallsfelder

Grundlage der Perturbationsmethode ist die Annahme der lognormalen Permeabilitäten als ein statistisch homogenes dreidimensionales Zufallsfeld mit einem Mittelwert und der Fluktuation:

( )

^f⁽ ⁾ ^f⁽ ⁾ ^f ⁽ ⁾

ln x = x = x + ′ x (4.13)

Dabei ist x = (x1, x2, x3) der Vektor der räumlichen Koordinaten. Ein statistisch homogener Prozess wird durch eine Kovarianzfuntion C(ξ) charakterisiert:

( ) ( ) {

^x ^ζ ^x

}

ζ) E f f

(

C = ′ + ′ (4.14)

Die Kovarianzfunktion kann durch verschiedene Zusammenhänge beschrieben werden, beispielsweise durch eine expotentielle, die modifiziert expotentielle oder die sphärische Funktion. Ein in natürlichen Systemen oft vorgefundener und damit gebräuchlicher Zusammenhang ist der exponentielle. In vielen Feldversuchen wurde eine gute Übereinstimmung mit den beobachteten Daten gefunden [Sudicky, 1986; Hess et al. 1992;

Rehfeldt et al. 1992]:

( )

⁼ ^f² ¹ ² ³^exp_^⁻

(

^ζ¹²^/ ¹²⁺^ζ²²^/ ²²⁺^ζ³²^/ ³²

)

¹^/²_^

C^ζ σ λλ λ λ λ λ ^(4.15)

Dabei ist σ_f² die Varianz der lognormalverteilten Permeabilität und λ die Korrelation. Das Spektrum für diese Kovarianzfunktion (4.15) wird wie folgt definiert:

( ) (

3 3²

)

2 2 2 2 1 1 2

3 2 1 2 f ij

k k k 1

S π λ λ λ

λ λ λ σ

+ +

= +

k (4.16)

wobei k = (k₁, k₂; k₃) der Vektor der Wellenzahl ist. Da die Permeabilität den Strömungs- und Transportprozess bestimmt, werden auch die abhängigen Variablen Druck, Geschwindigkeit und Konzentration als dreidimensionale stochastische Zufallsfelder betrachtet, die aus jeweils einem Mittelwert und den Fluktuationen bestehen. Neben den Störungsfunktionen für die Geschwindigkeit sowie die Konzentration bei Dichteunabhängigkeit werden im gekoppelten System außerdem die bei höherer Dichte konzentrationsabhängigen Parameter Druck p und die logarithmierten Werte der Dichte ρ und der inversen dynamischen Viskosität µ gestört:

( ) ( ) ( )

^x ^v ^x ^v ^x

v = + ′ (4.17a)

( ) ( ) ( )

^x ^c ^x ^c ^x

c = + ′ (4.17b)

) ( p ) ( p ) (

p x = x + ′ x (4.17c)

) ( r ) ( r ) ( r ) (

lnρ x = x = x + ′ x ^(4.17d)

) ( m ) ( m ) ( m ) 1(

ln µ x = x = x + ′ x ^(4.17e)

Ist ein Zufallsprozess stationär, können die gestörten Variablen durch Fourier-Stieltjes-Integrale der Winkelfrequenz k ersetzt werden kann [Naff, 1984]:

( )

∫ ∫ ∫

^∞

∞

−

= ⋅

′ eⁱ^k^xdZ_f k

f (4.18a)

( )

∫ ∫ ∫

^∞

∞

−

= ⋅

′ k

x k i

i e dZ

v (4.18b)

( )

∫ ∫ ∫

^∞

∞

−

= ⋅

′ eⁱ^k^x dZ_p k

p (4.18c)

( )

∫ ∫ ∫

^∞

∞

−

= ⋅

′ eⁱ^k^x dZ_c k

c (4.18d)

Ein stochastischer Prozess unterliegt in den oben genannten Integralen (4.18) zwei Bedingungen. Die erste besagt, dass der Erwartungswert des stochastischen Prozesses Z(k) = 0 ist, und die zweite, dass zwei Differenziale von Z zu zwei verschiedenen Frequenzen unkorreliert sind. Unter der Vorraussetzung einer homogenen Winkelfrequenz k1 = k2 = k gilt wie folgt:

( ) ( )

{

^dZ ^dZ

}

^{( ) ( )}

^S ^dk

E k ^∗ k = Φk = k (4.19)

wobei Φ(k) das integriertes Spektrum, S(k) die spektrale Dichtefunktion bzw. das Spektrum ist sowie dZ^*(k) der konjugiert-komplexe Teil des stochastischen Prozesses.

Spektrale Lösung für die Darcy-Gleichung

Ersetzt man Variablen der Darcy-Gleichung (4.7) durch ihre Zufallsfelder (4.13) und (4.17) erhält man die stochastische Gleichung für die Darcy-Geschwindigkeit:

( )

( ) ( ) [ ( ) ]







∂∂ + ′ − ′

+ ′

− ′

′ =

+ L i

i L

L i

i p p exp r g

m x f 1 exp k v

v µ ρ ^(4.20)

wobei k_L =exp(f), µ_L =exp(−m)^undρ_L =^exp(^r⁾die Erwartungswerte der Zustandgrößen sind. Entwickelt man die exponentialen Terme der mittleren Zustandsgrößen, berücksichtigt

nur Terme bis zur 2. Ordnung erhält man aus dem Erwartungswert der Gleichung (4.20) die mittlere Gleichung für die Darcy-Geschwindigkeit:







∂

 ∂











 + ′ + ′ + ′ ′

−

i 2

2 L

i x

m p 2 f

m 2 1 f k 1

v µ

( )







∂

∂ ′ + ′ + ′











 + ′ + ′ + ′ + ′′+ ′ ′

−

i 2

2 2 i

L x

m p f m f r 2 f r 2 m 2 1 f

ρ g (4.21)

Subtrahiert man diese mittlere Gleichung (4.21) von (4.20), vernachlässigt Terme höherer Ordnung und ersetzt die gestörten Zustandvariablen m′=−βc′^und ^r′=−^a^c^′ ergibt das die Störungsgleichung erster Ordnung für die Darcy-Geschwindigkeit:

( ) ( ( ) )

_



 



∂ + ′− ′ ∂∂ − ′+ + ′

∂ ′

−

′ = g f a c

x c p x f

1 p k

v _L _i

i i

L L

i µ β ρ β ^(4.22)

Die Darcy-Gleichung wird demzufolge im gekoppelten Prozess neben den Perturbationen des lognormalen Permeabilitätsfeldes und des Druckes – die im Tracerfall auftreten - auch von den Störungen der Konzentration beeinflusst. In analoger Weise wie die Darcy-Gleichung wird die Strömungsgleichung (4.9) gestört. Substituiert man die gestörten Variablen aus (4.22) und der Störungsgleichung der Strömung durch ihre Fourier-Stieltjes-Repräsentationen, setzt beide resultierende Gleichungen ineinander ein, erhält man folgende Lösung für das Fourier-Stieltjes-Integral der Strömungsgeschwindigkeit:

c i f i

v L dZ M dZ

dZ i = + (4.23)

wobei Lj und Mj wie folgt ergibt:



 



∂∂ +













− −

−

= _L _m

n n n 2

m j jm

L L

j g

x p G

ik k

k 1 k

L ρ

δ β

µ ^und ^(4.24)

( )





 



 



− ∂∂ + −













− −

−

= _L _m

n n n 2

m j jm

L L

j a g

x p G

ik k

k 1 k

M β β ρ

δ β

µ ^(4.25)

[ ( ) ]





− + −

n n 2

m m L i

G ik k

G g a

a ik

β ρ β

wobei δ_im die Kronecker-Konstante (δ_im =1^für ⁱ=ⁿ; δ_im =0^für ⁱ≠ⁿ) ist. Es ist erkennbar, dass dZqi im dichteabhängigen Fall sowohl von den Störungen des lognormalen Permeabilitätsfeldes dZf als auch der Konzentrationen dZc abhängig ist. Im dichteabhängigen

Fall, wenn eine Dichtevergrößerung durch hohe Konzentrationen nicht mehr zu vernachlässigen ist, muss hierbei die spektrale Lösung der Strömungsgleichung mit der spektralen Lösung der Transportgleichung gekoppelt werden.

Spektrale Lösung für die Transportgleichung

Zuerst werden wiederum die Variablen der Stofftransportgleichung durch statistisch homogene statistische Zufallsprozesse aus Mittelwert und Fluktuationen (4.17) substituiert und daraus der Erwartungswert der resultierenden Transportgleichung ermittelt:

( )

j i 2 ij e i

e x x

D c n c

x c t n c

∂∂

′ = + ′

∂∂

∂ +

∂ v v (4.26)

Durch Subtraktion der mittleren Lösung (4.25) von der gesamten Transportgleichung erhält man die Transportgleichung der Fluktuationen:

( )

j i 2 ij e i i i

e x x

D c n c x c

t n c

∂∂ ′

′ =

′ +

∂∂

∂′+

∂ v v (4.27)

Gelhar and Axness [1983], Welty et al. [1991] ersetzten das bestehende durch ein bewegliches Koordinatennetz mit ξ₁ =x₁−vt/n^, ξ₂ =^x₂^und ξ₁ =^x₁−^vt^/ⁿξ₃ =^x₃^{. Durch} Substitution der gestörten Variablen aus dieser Gleichung (4.16) durch ihre entsprechenden Fourier-Stieltjes-Repräsentationen (4.18) sowie Einsetzen des Dispersionskoeffizienten Dij =

ij e 1

ijv /n δ

α + mit entsteht damit folgende resultierende Fourier-Stieltjes-Amplitude der Konzentration dZc als eine Funktion der Fourier-Stieltjes-Amplitude der Strömungsgeschwindigkeit dZv.

( )

^dZ^c ^ik¹ ^L^k¹² ^T

(

^k²² ^k²³

)

_n^q ^dZ^c ^G_nⁱ ^dZ^vi ^G_n^j ^dZ^vj

dt d

 =

 

 + + +

+ α α

ξ (4.28)

Wobei G_j =−∂c/∂x_j der Vektor des mittleren Konzentrationsgradienten [L^-1] ist. Welty et al. [1991] setzten (4.22) in (4.27) ein und entwickelten folgende asymptotische Lösung:

( )

f e

Bt j

c dZ

B n

e 1 L dZ G

− −

≈ (4.29)

mit Lj nach (4.23) und B:

( )

[ ]

e j j e 2 3 2 2 T 2 1 L

1 n

M G n k q k k

B= +α +α + − ^(4.30)

Setzt man (4.29) in (4.22) ein, erhält man folgende resultierende Gleichung für Amplitude der Strömungsgeschwindigkeit als Funktion der Fourier-Stieltjes-Amplitude der lognormalverteilten Permeabilitäten:

( )

f i e

Bt m

m i

v M dZ

B n

e 1 L L G

dZ i 



 



 + −

= ⁻ (4.31)

wobei die Faktoren L_i, M_i und B den Einfluss beschreibt. Gleichung (4.31) zeigt damit, dass die spektralen Lösungen für die Strömungs- und Transportgleichung nicht unabhängig voneinander entwickelt werden können.

Entwicklung der Makrodispersivität

Der Term c′v′_i aus der mittleren Transportgleichung (4.26) repräsentiert den makroskopischen dispersen Massenfluss und ist definiert als das Integral des Kreuzspektrums zwischen Strömung und Konzentration über den Bereich der Wellenzahl [Welty et al., 1991]:

( )

ij j

cv d vA G

S v

c′ ′=

∫ ∫ ∫

^∞ i =

∞

−

k mit i, j = 1, 2, 3 (4.32)

wobei Aij der Tensor der Makrodispersion [L]. Das Kreuzspektrum Scvi(k) wird nach der spektralen Repräsentationstheorie als Erwartungswert des Produktes aus der Fourier- Amplitude der Konzentration und dem konjugiert-komplexen Teil der Fourier- Stieltjes-Amplitude der Strömungsgeschwindigkeit ermittelt:

( ) ( )

{

^dZ ^dZ

}

^{( )}

^dk

E c k v^∗i k = cvi k (4.33)

Wird nun dZc (4.29) mit dem konjugierten komplexen Teil dZqi*

von (4.31) multipliziert, ergibt sich damit folgendes Integral für den dichteabhängigen Makrodispersionstensor:

( ) ( ) ( )

_{( )}

_{k d}_k

B n

e 1 L G L M

B qn

e 1

A L _ff

Bt m

m i i e

Bt j

ij 









 + −

= − _∗

− ∗

∗ ∗

∞ ∗ +

∞

−

∫ ∫ ∫

^(4.34)

Für a = ß = 0 reduziert sich Aij auf die Lösung im Tracerfall [Gelhar and Axness, 1983:

Gleichung 29]. Integriert man die Gleichung (4.33) erhält man die Eigenwerte der Makrodispersivitäten. Die resultierenden Aij sind Funktionen aus Fluid- und Aquifereigenschaften und einem so genannten Flussfaktor γ, der aus der Darcy- Gleichung hergeleitet werden kann. Welty et al. [2003] stellten folgende Lösung für die transversale dichteabhängige Makrodispersivität A33 im anisotropen Medium vor:

( ) ( ) ( )



















Γ + Γ Γ



 



Γ −Γ Γ

Γ −

−







= + ₁

3 3 1 1 2 3 3

1 3 3 1 3 1 2 1 3 2

3 2 f 2

2 3 2 f

33 S

G G

G G G 1

2 1 A 2

ϑ γ γ ξε

γλ σ ξ

ξ γ

λε

σ (4.35)

( )



















−Γ













−Γ Γ



 



Γ −Γ Γ +

+ Γ

−

+ ₄

3 3 3 3 2 3

2 3 3

1 3 3 1 1 2 3 3 1 1 2

3 3 1

1 S 1 S

G G G S

G G

ϑ γ ϑ

ϑ γ γ γ ϑ

ϑ γ γ

Die dabei auftretenden Parameter errechnen sich wie folgt:

q x g 1 p

k _L _i

L i L i



 



∂∂ + −



 



− 

= Γ

ββ ρ µ α

β ^(4.36)



 



∂∂ +



 



− 

i L L i

L i

x g 1 p

q µ ρ

γ ^(4.37)

( ) ( )

( )

∑

^∞

∑

= = 











− −

 −



 



 ΓΓ Γ −

Γ −

−

1 n

n 1

k 3 3 K

1 1 n

3 3 1

1 2n 2k!!

! 1 k 2 n 2 G

! n G x ) 2

G x 2 exp(

S (4.38)



 



 



 



 Γ + Γ

−

= G )

G x 2 exp(

S₂ ₁ ₁ ³ ³

ξ ϑ (4.39)

( ) ( )

( )

∑

^∞

∑

= = 











−

− Γ −

Γ −

− +

1 n

k k

n 3 3 1

1 2n 2k!!

! 1 k 2 n 2

! n G x ) 2

G x 2

exp( ϑ ^(4.40)

( ) ( )

( )











 − Γ − Γ −

−

∑

^∞

=0 n

n 3 3 1

3 2n!!

! 1 n 2

! n G x ) 2

G x 2 exp(

S (4.41)

( ) ( )

( )













+ + Γ

Γ −

−

∑

^∞

=0 n

n 3 3 1

4 2n 2!!

! 1 n 2

! n G x ) 2

G x 2 2 exp(

S 1 (4.42)

λ3

ε =λ (4.43)

φ ε

ξ² =^sin² + ²^cos² (4.44)

1 1

ϑ = −ε (4.45)

7 . 0 c d / ) ln ( d

a= ρ = (4.46)

0 . 2 c d / ) ) / 1 ln(

(

d =

= µ

β (4.47)

Für das in dieser Arbeit zu untersuchende Transportmodell einer Schichtenströmung gibt es nur den Konzentrationsgradienten in der x3-Richtung, d.h. G₁ =G₂ =0. Da die Hauptströmungsrichtung mit der Richtung einer Korrelation bzw. der Bettung zusammenfällt, ist der Neigungswinkel φ =0. und es ergibt sich aus (4.44) ε = ξ.

Werden Terme höherer Ordnung vernachlässigt, erhält man mit den zuvor genannten Vereinfachungen aus (4.35) folgende Funktion 1. Ordnung für die dichteabhängige transversale Makrodispersivität A33 im anisotropen heterogenen porösen Medium:

{

3 3 3

}

2 3

2 1 2 f

33 a 1 a xG

A = − Γ

γ λ

σ mit (4.48)

( )

2 2 1

1 a 2

= + ξ

( )

(

) ⁽

² ¹

⁾

2 a 1

2 2

3 − +

= +

ξ ξ

ξ (4.49)

wobei a2,a3 = f(λ3/λ1) zwei Faktoren sind, die den Einfluss der Anisotropie beschreiben. Die Gleichung (4.48) ist die in dieser Arbeit experimentell und numerisch zu prüfende analytische Lösung für die transversale anisotrope Makrodispersivität.

Dabei ist ersichtlich, dass der dichteabhängige Makrodispersionstensor als eine Summe aus zwei Integralen beschrieben werden kann [Welty et al., 2003]:

{ } { }

1 2

ij I I

A = + (4.50)

Während das erste Integral {I1}den Anteil darstellt, der die Dichte unberücksichtigt lässt und nur die Heterogenität bzw. die Eigenschaften des porösen Mediums betrachtet, hängt das zweite Integral {I2} sowohl von der Anisotropie des porösen Mediums als auch von den Fluideigenschaften ab. Die Matrix des dichteabhängigen Makrodispersionstensors ist somit unsymmetrisch.

Der so genannte Flussfaktor γi definiert den inversen Anteil der Darcy-Geschwindigkeit in die Richtung xi an der resultierenden Darcy-Geschwindigkeit:

i ij i =v/K J

γ (4.51)

wobei Kij die effektive hydraulische Leitfähigkeit ist. Die Entwicklung des Flussfaktors γ1

geschieht analog der oben beschriebenen spektralen Entwicklung von c′q_i′ durch Störung der Darcy-Gleichung. Die Lösung ist nach Welty et al. [1989] für γ1 wie folgt:















 



 −

+ +

= ^f² _f² ^T ¹² ₁

1 b

4 b 1 6

αλ σ σ

γ mit

T 2 1 1

b G

γαλ

= β (4.52)

Somit ist γ1 eine von sich selbst abhängige Größe und muss iterativ gelöst werden. Für den zweidimensionalen Fall wie in der hier vorliegenden Fall ist die effektive hydraulische Leitfähigkeit K_ijidentisch mit ihrem geometrischen Mittel K_G [Gelhar, 1993]:

ij G

ij K

K = δ mit i, j = 1,2 (4.53)

Daraus ergibt sich mit v=K_gJ₁ für den Flussfaktor γ₁ =1 [Gelhar, 1993]. Den Koeffizienten Г_i erhält man durch Einsetzen von Gleichung (4.36) in (4.37):

( )

i i

L i

i L i

i p/ x g

g 65 . 0 x / p

2 ₋

− ⋅

∂

∂ ∂ −

= ∂

Γ ρ ρ γ

(4.54) Für den Fall vernachlässigbarer Konzentrationsunterschiede des transportierten Inhaltsstoffes erhält man aus (4.48) mit G3 = 0, a =d(lnρ)/dc=0 sowie β =d(ln(1/µ))/dc=0die Gleichung für die dichteunhängige transversale Makrodispersion [Gelhar, 1993]:

( )

2 3 1 2 f

33 2 1

1 A 2

= +

ξ ξ ξ γ

σ (4.55)

Dichteabhängige isotrope Makrodispersion. Welty and Gelhar [1992] stellten mittels oben beschriebener Perturbationsmethode folgende Lösung für die dichteabhängige longitudinale Dispersivität im isotropen Medium vor:

) a 2 exp(

A ₂ ₁

1 2 f

11 = −

γ λε

σ mit 

 





∂ +∂

= v

g 1 k

x G

a ^L

L L 1 1

1 µρ

β γ ^(4.56)

Dichteunabhängige isotrope Makrodispersion. Für den vereinfachten Fall des isotropen heterogenen dreidimensionalen Mediums lässt sich die dichteunabhängige Makrodispersion Aij nach Gelhar and Axness [1983] aus den stochastischen Eigenschaften des Mediums, seiner korngerüstbedingten Dispersivitäten und dem Flussfaktor berechnen:

2 2

A11

γ λ σ ⋅

= (4.57)

(

L T

)

2 2 33

22 4

15 A

A α α

σγ ₊

= (4.58)

Da die horizontale Längenskala eines Aquifers mindestens eine Größenordnung höher als die vertikale ist, werden Grundwasserströmungsprozesse oft als zweidimensional angenommen, was außerdem zu einer enormen Verringerung des experimentellen und numerischen Aufwandes führt [Gelhar, 1993]. Kovarianzfunktion ^C

( )

ξ und Spektrum ^S^ij

( )

^k^r sind für die zweidimensionale Betrachtung wie folgt:

( )

⁼ ^f² ¹ ²^exp_^⁻

(

¹²^/ ¹² ⁺ ²²^/ ²²

)

¹^/²_^

Cξ σ λλ ξ λ ξ λ ^(4.59)

( ) (

2 2²

)

2 1 1

2 1 2 f

ij 1 k k

S = + ′ + ′

λ λ

k σ (4.60)

Aus der Annahme γ = 1 im zweidimensionalen Fall werden die Makrodispersivitäten daraus wie folgt

λ σ ⋅

= ²

A11 (4.61)

(

L T

)

22 3

A ₌σ8 α ₊ α _(4.62)

Im isotropen porösen Medium sind die transversalen Makrodispersivitäten somit nicht wie im anisotropen Medium von der Korrelation der Permeabilitätsverteilung abhängig, sondern von der korngerüstbedingten Dispersivität.

Nach Neuman et al. [1987] besteht der Makrodispersionstensor aus einer lokalen (D_I) Komponente und einer Komponente auf der Feldskala (DII):

I D

D= + (4.63)

Es wird eine dimensionslose Größe eingeführt, die heterogene Pecletzahl, die das Größenverhältnis von Heterogenität zur körngerüstbedingten Dispersivität berücksichtigt:

I L

II I

h u

u D Pe u

α λ λ ₌

= (4.64)

Neuman et al. [1987] weist darauf hin, dass u_I die Porengeschwindigkeit ist und deshalb nicht identisch mit der mittleren Geschwindigkeit im Strömungsmodell u_II. Bei ergodischen Verhältnissen (große Zeiten oder Lauflängen) kann dies jedoch angenommen werden. Der von Neuman et al. [1987] analytisch ermittelte Makrodispersionstensor ist für ein exponentiale Spektrum identisch mit dem von Gelhar and Axness [1983], Gelhar [1993]

ermittelten. Der Flussfaktor γ wird als überflüssig erachtet und vernachlässigt: γ = 1. Ist das Spektrum nicht exponential, differieren ihre Lösungen allerdings. Während hier nach Gelhar

and Axness [1983] in jedem Falle - d.h. auch wenn die Strömungsrichtung mit der Richtung der Bettung zusammenfällt - alle Eigenwerte des Makrodispersionstensors von Null verschieden sind, ist nach Neuman el al. [1987] nur die Längsdispersion konvektiv kontrolliert, alle anderen Eigenwerte tendieren mit steigender inverser heterogener Pecletzahl (4.52) zu Null. Eine Dichteabhängigkeit wurde jedoch nicht berücksichtigt.

Dagan [1982, 1984, 1988] und Dagan and Fiori [1997] nutzten die Perturbations-Methode nach Langrange (Abschnitt 3.3.4.2), um den dichteunabhängigen Dispersionstensor für ein isotropes [Dagan, 1982, 1984] und ein anisotropes poröses Medium [Dagan, 1988] zu entwickeln. Analog Neuman [1987] werden in Dagan [1988] der Flussfaktor γ = 1, die transversalen Dispersiviäten A₂₂ und A₃₃ für große Zeiten t und Fließlängen zu Null und die longitudinalen Dispersivität erreicht einen konstanten asymptotischen Wert.

Im Dokument Experimentelle und numerische Untersuchungen zur Dispersion von Dichteströmungen in einem stochastischen Modellaquifer (Seite 51-62)