Mehr–Niveau–Atome und Ramanübergänge

(5.2) ⁴₃CG = 3

7 . (5.3)

Die Faktoren 1/3 und 1/7 vor der Summe in Gleichung 5.2 berücksichtigen die drei Polarisationskomponenten (Gesamtintensität I) und die sieben Unterzustände (m =

−3, . . . ,3). ⁴₃CG = 3/7 entspricht einem gemittelten Clebsch–Gordan–Koeffizienten von

3/7≈0.655.

Damit erhält man übereinstimmend mit [147, 122] für die gemittelte Sättigungsintensi-tät:

I_s = 7

3I_s. (5.4)

Im Vergleich zu einem Zwei–Niveau–Atom benötigt man demnach bei Chrom etwa die 2.33–fache Laserintensität um den Übergang zu sättigen.

5.3 Mehr–Niveau–Atome und Ramanübergänge

Die spezielle Niveaustruktur von Chrom hat zur Folge, dass neben dem Grundzustand

7S₃ und dem angeregten Zustand⁷P₄ auch die metastabilen Niveaus⁵D₃ und⁵D₄ die Funktionsweise der magneto–optischen Falle beeinflussen. So führen Übergänge⁷P4 →

5D₄ und⁷P₄ → ⁵D₃ zum Verlust von Atomen aus der MOT (vgl. Abschnitt 2.3.4.1). In diesem Unterkapitel werden die Effekte genauer beschrieben, die in einem 3–Niveau–Λ–

System (Abbildung 5.3) im Zusammenspiel mit mehreren Laserstrahlen auftreten. Die Niveaus sind dabei mit |g , |e und |d bezeichnet und entsprechen bei⁵²Cr|g =⁷S₃ ,

|e =⁷P₄und|d =⁵D₄(oder⁵D₃). Die zugehörigen Übergangsraten seienΓ_egundΓ_ed. Für den Betrieb der magneto–optischen Falle sind in diesem Zusammenhang vor allem zwei Teilaspekte relevant. Zum einen bestimmt die Zeitkonstante, mit der Atome aus

5.3. MEHR–NIVEAU–ATOME UND RAMANÜBERGÄNGE 59

MOT 425.6

nm

658.3RP nm

Abbildung 5.3:Schematische Darstellung des extrahierten „Λ–Niveauschemas“ von⁵²Cr .

dem metastabilen Zustand|d wieder in dem MOT–Zyklus|g → |e gepumpt werden, in wie weit Verluste der magneto–optischen Falle unterdrückt werden können. Zum ande-ren ist die Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Niveaus, die über die spontane Emission die in der MOT wirkenden Kräfte bestimmt, von dem Zusammenwirken beider Laserstrahlen (MOT– und Rückpumplaser) abhängig.

5.3.1 Rückpumpzeit im Drei–Niveau–Atom

Die Rückpumpzeitτ_r ist ein wichtiges Kriterium für den Betrieb der magneto–optischen Falle für Chrom bei geringen Dichten. Ist τ_r kleiner als die typ. Verweildauer τ_e meta-stabiler Atome in der MOT–Region (τr < τe ∼ 10 ms) so kann die Lebensdauer und damit die Anzahl der Atome in der MOT durch das Rückpumpen erhöht werden (vgl.

Abschnitt 2.3.4.1).

Zur Bestimmung der Rückpumpzeit wird die kohärente Zeitentwicklung eines Λ–

Niveau–Atoms betrachtet, das sich zu Beginn im metastabilen|d –Zustand befindet. In dem dabei angewandten Modell wird zusätzlich ein Zerfallskanal (RateΓeg) vom|e – in den|g –Zustand erlaubt. Atome gelten als zurückgepumpt, wenn sie durch den einge-führten Verlust aus der kohärenten Entwicklung ausscheiden. Dies ist gerechtfertigt, da die Zeit für einen erneuten Übergang eines zurückgepumpten Atoms nach|d größer ist als der betrachtete Umpumpzeitraum.

Zunächst wird wie in [152] beschrieben der effektive HamiltonoperatorHfür ein Atom mit Λ–Niveauschema hergeleitet. Er lautet in der Basis (|g , |e , |d ) nach geeigne-ter Wahl des Energienullpunktes und Drehwellennäherung („rotating wave approxima-tion“):

H= 1 2



 0 ω_R,eg 0 ω_R,eg −2δ_eg−ıΓ˙ _eg ω_R,ed

0 ωR,ed 2(δed−δeg)



 . (5.5)

Dabei bezeichnen ωR,eg, ωR,ed die durch die Laserstrahlen erzeugten Rabifrequenzen auf den entsprechenden Übergängen undδ_eg,δ_eddie Verstimmungen der Laserstrahlen.

Der Hamiltonoperator ist aufgrund des komplexen Terms −ıΓ˙ eg nicht hermitesch, was zu einer Abnahme der Summe aus den Besetzungswahrscheinlichkeiten der kohärenten Zustände führt. Diese Abnahme wird als Rückpumpwahrscheinlichkeit interpretiert. Die Zeitentwicklungsgleichung für die Besetzungswahrscheinlichkeitsamplituden G, E und Dder Zustände|g ,|e und|d lautet damit

Diese Differentialgleichung wurde über die Bestimmung des Eigensystems vonHin die Basis transformiert, in derHdiagonal ist und dann für anfänglich im metastabilen|d – Zustand präparierte Atome gelöst. Eine abschließende Rücktransformation auf die ur-sprüngliche Basis liefertG(t),E(t)undD(t).

Die RückpumpwahrscheinlichkeitP_r(t)ergibt sich in dem eingeführten Modell aus der Abnahme der Besetzung der kohärenten Zustände gemäß

Pr(t) = 1− G^∗(t)G(t)− E^∗(t)E(t)− D^∗(t)D(t). (5.7) Abbildung 5.4 zeigt die so berechneten Rückpumpwahrscheinlichkeiten für ⁵²Cr unter Beteiligung der Niveaus |g =⁷S₃ ,|e =⁷P₄ ,|d =⁵D₄ über der Rückpumpzeit für ver-schiedene Einstellungen des Rückpumplasers. Dabei wurden für den MOT–Laser eine Verstimmungδeg=−2 Γeg und eine IntensitätIeg = 850W/m² (=10ˆ Is) eingesetzt.

Abbildung 5.4: Berechnete Rückpumpwahrscheinlichkeit der Atome im |d –Zustand über der Rückpumpzeit für die MOT-Laserparameter IntensitätI_eg = 850W/m²und Verstimmungδ_eg =

−2 Γeg. Links: Rückpumpwahrscheinlichkeit für Intensitäten von I_ed = 100,500,1000 W/m² des resonanten Rückpumplasers. Rechts:Rückpumpwahrscheinlichkeit für Verstimmungen von δ_ed = −4,−3,−2,−1,1 Γeg des Rückpumplasers mit I_ed = 500 W/m². Bei δ_ed = −2 Γeg tritt Dunkelresonanz auf.

5.3. MEHR–NIVEAU–ATOME UND RAMANÜBERGÄNGE 61

Es zeigt sich zum einen, dass selbst bei Resonanz (δed = 0 Γeg) eine Rückpumplaserin-tensität vonI_ed∼500W/m²nötig ist um Atome in weniger als 10 ms zurückzupumpen.

Zum anderen ist die Rückpumpzeitkonstante sehr sensitiv auf die Frequenz des Rück-pumplasers. Sind die Verstimmungen beider Laserstrahlen gleich, so führen die im näch-sten Abschnitt behandelten Zwei–Photonen–Ramanübergänge zu einer Besetzung der Zustände|g bzw.|d und die Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten|e –Niveaus wird durch destruktive Interferenz der Anregungsamplituden unterdrückt.

5.3.2 Ramanübergänge und Dunkelresonanz

Sind die Verstimmungen zweier auf Λ–Niveau–Atome wirkender Laserstrahlen gleich, so führen Zwei–Photonen–Ramanübergänge zu einer Besetzung der Zustände |g und

|d . Die Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Niveaus |e im Drei–Niveau–Λ–

System wird durch destruktive Interferenz der einzelnen Anregungsamplituden für die Zustände |g und |d unterdrückt. Diesen Effekt nennt man „Coherent Population Trapping“. Ramanübergänge wurden in Atomstrahl–Experimenten [153] und Ionenfal-len [154] beobachtet und finden u. A. Anwendung in der hochauflösenden Laserspek-troskopie [155, 137], in besonderen Laserkühlverfahren [156] und in der Atominterfe-rometrie [157].

Über die Besetzung des angeregten Niveaus beeinflussen die Zwei–Photonen–

Ramanübergänge die Rate, mit der spontane Emissionen auftreten, und damit sowohl die Laserkühlung als auch die rücktreibenden Kräfte in der magneto–optischen Falle.

Die Gleichgewichtsbesetzung des angeregten Zustandes Pe unter Berücksichtigung der spontanen ZerfälleΓ_egundΓ_ed ist gegeben durch [153]:

P_e= 4ω²_R,egω²_R,edΓ∆²/W (5.8)

mit

W = ∆²{8ω_R,eg² ω²_R,edΓ + 16ω²_R,egΓed[Γ²+δ²_ed] + 16ω_R,ed² Γeg[Γ²+δ²_eg]} + 8∆(ω⁴_R,egδ_edΓ_ed−ω_R,ed⁴ δ_egΓ_eg)

+ (ω²_R,egΓed+ω²_R,edΓeg)(ω_R,eg² +ω_R,ed² )² .

(5.9)

Dabei sind∆ =δeg−δeddie Ramanverstimmung der monochromatischen Laserstrahlen undΓ = Γeg+ Γeddie gesamte Linienbreite des angeregten Zustandes.

Abbildung 5.5 (S. 62) zeigt die berechnete Besetzung des |e –Zustandes für δ_eg =

−4,−3,−2,−1,0 Γeg,Ieg = 850 W/m²,Ied = 500 W/m² über der Verstimmung δed des Rückpumplasers. Unabhängig von der Verstimmungδ_egdes MOT–Lasers tritt immer eine Dunkelresonanz auf, wenn die Ramanbedingung∆ = 0erfüllt ist. Beiδ_eg = 0 Γeg ist die Besetzungswahrscheinlichkeit symmetrisch um die Resonanzfrequenz des Rückpumpla-sers. Mit zunehmender Verstimmung des MOT–Lasers nimmt die Asymmetrie zu und die absolute maximale Besetzungswahrscheinlichkeit sinkt. Gleichzeitig verändert sich auch die Rückpumpfrequenz, bei der die maximale Besetzung des angeregten Zustandes und damit eine maximale Streukraft erreicht wird.

-10 -5 0 5 10 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Pe

RP-Verstimmung [G_eg]

0 G_eg

-3 G_eg -4 G_eg -2 G_eg -1 G_eg

Abbildung 5.5:Berechnete Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Zustandes|e für ver-schiedene Verstimmungen (δ_eg= 0,−1,−2,−3,−4 Γeg) des MOT–Lasers in Abhängigkeit der Ver-stimmung des Rückpumplasers. Dabei wurde von einer Intensität I_eg = 850 W/m² der MOT–

Laserstrahlen ausgegangen. Die Rückpumplaserintensität betrug I_ed = 500 W/m². Details zur Berechnung finden sich im Text.

Dieses Verhalten wird qualitativ verständlich, wenn man den Spezialfall eines starken MOT–Lasers und eines schwachen Rückpumplasers betrachtet. Dann kann jenseits der Dunkelresonanz näherungsweise davon ausgegangen werden, dass der Rückpumplaser die durch den MOT–Laser aufgespalteten Eigenzustände des Atom–Licht–Systems („dres-sed states“, Abschnitt 2.1) probt. Je nach Verstimmung des MOT–Lasers enthalten die dressed states nach Gleichung 2.1 (S. 6) unterschiedliche Anteile des Grund– und des angeregten Zustands. Bei Resonanz (δeg= 0) sind diese Beiträge für beide dressed states gleich groß. Gleichzeitig ist die Ramanbedingung beiδed = 0erfüllt. Man erwartet des-halb einen um δ_ed = 0 symmetrischen Verlauf der Anregungswahrscheinlichkeit. Bei nichtverschwindender Verstimmung der MOT–Laserstrahlen treten zwei symmetriebre-chende Effekte auf. Zum einen ist die Ramanbedingung für das Auftreten einer Dunkel-resonanz bei δ_ed = δ_eg = 0 erfüllt. Zum anderen enthält der energetisch höherliegen-de dressed state |+ eine größere Beimischung des angeregten Zustandes als der |− – Zustand. Der relative Unterschied in der Beimischung des angeregten Zustandes zu den beiden dressed states steigt mit größer werdendemδ_egan, was zu einem asymmetrischen Verlauf vonP_eführt.

In derselben Näherung lässt sich auch der Abstandωa zwischen dem Populationsmaxi-mum des angeregten Zustandes und der Dunkelresonanz leicht berechnen. Maximale Besetzung des angeregten Zustandes wird erreicht, wenn die Verstimmung des Rück-pumplasers gerade der lichtinduzierten Energieverschiebung entspricht. Die