4.3 Deskriptive Statistik und nicht adjustierte Analysen
4.3.2 Nicht adjustierte Modellierung nach Klinikum im GLM
Um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass die Patienten nichtp= 10 verschiede-nenPopulationen, sondern gemeinsam einer Population entstammen, werden alle Patienten und Kliniken in einem Modell betrachtet. Zu diesem Zweck wird wegen der dichotomen Eigenschaft der Zielgr¨oße ein klassisches logistisches Regressionsmo-dell (siehe auch Kapitel 2.2.4) mit folgender MoRegressionsmo-dellbeziehung angepasst:
P(Y = 1) = 1
1 +e−Xβ mit Xβ =β0+ Xk
i=1
βiXi ,
wobei Y ∈ {0,1} die m¨oglichen Auspr¨agungen
• Y = 0: Das Ereignis tritt nicht ein:
”der Patient verstirbt im Krankenhaus nicht“ und
• Y = 1: Das Ereignis tritt ein:
”Der Patient verstirbt im Krankenhaus“
annhemen kann.
In einer ersten Betrachtung wird als Einflussgr¨oße nur das Klinikum als Faktor mit festen Effekten ber¨ucksichtigt; es wird also zun¨achst ein logistisches Modell mit nur einer Einflussgr¨oßeX1 angepasst:
Xβ =β0+β1X1, mit X1: Klinikum in p= 10 Stufen .
Da die Einflussgr¨oße ”Klinik“ mit nominalem Skalenniveau vorliegt, kann hier von einer
”logistischen ANOVA“ anstatt einer logistischen Regression gesprochen wer-den.
Zur Pr¨ufung, ob tats¨achlich Unterschiede zwischen den 10 Kliniken bestehen, wird ein Score-Test im logistischen Modell f¨ur den Hypothesensatz
H0 :β1 = 0 vs. H1 :β1 6= 0
zum Niveau α = 0,05 durchgef¨uhrt. Dieser entspricht dem Chi-Quadrat-Test mit p−1 = 9 Freiheitsgraden auf Unterschiede in den Letalit¨atsraten zwischen den Kliniken, also
H0 : pi =pj f¨ur alle i6=j ∈(1, ..., p) vs.
H1 : pi 6=pj f¨ur wenigstens ein i6=j ∈(1, ..., p),
mit pi =P(Y = 1|X1 =i): wahre unbekannte Ereigniswahrscheinlichkeit im Klini-kumi.
Der Score-Test (entspricht demχ2-Test in der 2x10-Tafel) mit p−1 = 9 Freiheits-graden zeigt mit einer empirischen Signifikanz vonp= 0,0358 Unterschiede zwischen den Kliniken, die o.g. Nullhypothese wird also zum 5%-Niveau verworfen.
Die Parametersch¨atzung f¨ur β0 (Absolutglied/Intercept:
”Grundsterblichkeit“ im linearen Prediktor) und β1 (X1i: Effekt der Klinik) – zerlegt in 10 Designvariablen – f¨ur dieses Modell sind in Tabelle 4.5 dargestellt.
Tabelle 4.5: Krankenhaus-Letalit¨at nach Klinikum – nicht adjustierte Model-lierung im GLM
Koeffizient OR Letalit¨at
Parameter Sch¨atzer UG* OG* Sch¨atzer Sch¨atzer UG* OG*
βˆ0 (Intercept) -2,0271 -2,1391 -1,9151 — 0,1164 0,1054 0,1284 βˆ1i (Klinik) 1 -0,3901 -0,7535 -0,0266 0,6770 0,0819 0,0738 0,0907 2 -0,2963 -0,5642 -0,0285 0,7436 0,0892 0,0805 0,0987 3 0,1830 -0,0815 0,4475 1,2008 0,1366 0,1239 0,1503 4 0,0448 -0,3321 0,4217 1,0458 0,1211 0,1097 0,1335 5 -0,0564 -0,3177 0,2050 0,9452 0,1107 0,1002 0,1222 6 0,0310 -0,3591 0,4211 1,0315 0,1196 0,1083 0,1319 7 -0,0136 -0,4180 0,3908 0,9865 0,1150 0,1041 0,1269 8 -0,0098 -0,3286 0,3090 0,9903 0,1154 0,1044 0,1273 9 0,4311 0,1234 0,7388 1,5389 0,1685 0,1534 0,1848 10 0,0763 -0,2892 0,4418 1,0793 0,1245 0,1128 0,1372
* untere und obere Grenzen des 95% Konfidenzintervalls nach Wald
Die Odds Ratios der p verschiedenen Stufen von X1
ORdi =eβˆ1i (i= 1, ..., p)
Abbildung 4.3: Krankenhaus-Letalit¨at nach Klinikum – GLM-basierte 95%-Vertrauensintervalle
stellen hier den Vergleich zum Durchschnitt dar. Eine Klinik mit einer exakt durch-schnittlichen beobachteten Letalit¨atsrate w¨urde einen Effekt von ˆβ1i = 0 und dem-nach ein gesch¨atztes Odds Ratio von 1 zeigen.
Im Vergleich zur separaten Betrachtung bleiben die Punktsch¨atzer der Letalit¨at nat¨urlich unver¨andert; jedoch sind die Vertrauensintervalle aufgrund der modellba-sierten Varianzsch¨atzung deutlich kleiner. Dies f¨uhrt dazu, dass nun die gesch¨atzte Letalit¨atswahrscheinlichkeit auch von Klinik Nr. 3 signifikant ¨uber dem Durchschnitt liegt. Nach einem ersten naiven Ranking w¨urden also die Kliniken Nr. 1 und 2 als – verglichen mit dem Durchschnitt – im Sinne des ¨Uberlebens der Patienten besonders erfolgreich, und die Kliniken 3 und 9 als weniger erfolgreich klassifiziert werden. F¨ur die ¨ubrigen sechs Kliniken w¨urden keine Unterschiede zur Gesamtwahrscheinlichkeit nachgewiesen werden k¨onnen.
Paarweise Vergleiche (Odds Ratios) zwischen zwei beliebigen Kliniken i und j
k¨onnen nach den Ergebnissen aus Tabelle 4.5 nun gem¨aß der Beziehung dOR(ij) = pˆi/(1−pˆi)
ˆ
pj/(1−pˆj) = ORdi
dORj = eβˆ1i eβˆ1j
=eβˆ1i−βˆ1j gesch¨atzt werden.
Diese Darstellung kann jedoch aus vielen Gr¨unden nicht befriedigen, unter ande-rem deshalb, weil nicht ber¨ucksichtigt wurde, inwieweit dieser Vergleich ”fair“ ist;
es fehlt also die Risikoadjustierung der beobachteten Letalit¨atsraten nach dem indi-viduellen Risiko, welches die Patienten tragen. Zudem ist die hierarchische Struktur und die zuf¨allige Eigenschaft der Zentrumseffekte hier noch nicht ber¨ucksichtigt.
Da diese einfache Darstellung – d.h. ohne Ber¨ucksichtigung von Kovariaten – wie beschrieben die Gegebenheiten der Praxis nicht hinreichend abbildet, sollten die beobachteten Ergebnisse nur als Einf¨uhrung verstanden werden.
4.3.3 ¨ Ubergang zum Generalisierten Gemischten Linearen Modell
Die vorigen unadjustierten Darstellungen sind lediglich als Voranalyse und Deskrip-tion der Daten zu verstehen, da bisher noch keine Anpassung auf die hierarchische Situation und keine Ber¨ucksichtigung der Zufallsauswahl der Kliniken erfolgte.
Als Modellklasse der Wahl wird – wie in Kapitel 2 bzw. 3.1 besprochen wurde – ein Gemischtes Generalisiertes Lineares Modell (GLMM) benutzt. Mittels dieser Anpas-sung wurden EBLUP-Sch¨atzer mit 95%-Konfidenzintervallen f¨ur die Klinikeffekteγi
bestimmt. Eine erste unadjustierte Modellierung mit gew¨ahlter Logit-Linkfunktion hat somit die folgende Gestalt (siehe auch Kapitel 2.4.2.2):
logit(p) =Xβ+Zγ+e=β0 +γi+e .
Die Anpassung, durchgef¨uhrt mit der Software PROC GLIMMIX (eine Anpas-sung der Konvergenzkriterien war hier nicht notwendig), zeigt das im Folgenden dargestellte Ergebnis.
Zun¨achst wurde gem¨aß des Analysekonzepts die NullhypotheseH0 :σa2 = 0 mittels des selbst konstruierten Signifikanztests (vgl. Kapitel 2.4.2.3) zum Niveauα= 0,05 gepr¨uft. F¨ur die Z-Statistik wurde der folgende Wert ermittelt:
Z = σˆa2
SE(ˆσa2) = 0,0285
0,0261 = 1,0897 . (4.1)
Da Z > cα = 0,9596 ist, wird H0 hier zum Niveau α = 0,05 verworfen. Mittels der empirischen Verteilungsfunktion f¨ur Z unter H0, gilt f¨ur den p-Wert p≈0,023.
In diesemnicht adjustierten Modell kann nun durch Pr¨ufung der 10 Einzelhypo-thesen
H0i :γi = 0 vs. H1i :γi 6= 0
gepr¨uft werden, ob und welche Klinik-Effekte signifikant von 0 verschieden sind. Die Ergebnisse sind in Tabelle 4.6 dargestellt.
Tabelle 4.6: Krankenhaus-Letalit¨at nach Klinikum – nicht adjustierte Model-lierung im GLMM
Koeffizient im LP Letalit¨at (Originalskala)
Parameter n Sch¨atzer ku* ko* Sch¨atzer ku# ko# p-Wert βˆ0 (Intercept) ˆ −2,0297 −2,1804 −1,8791 0,1161 0,1015 0,1325 —
ˆ
γi (Klinik) 1 342 −0,1723 −0,4241 0,0794 0,0996 0,0792 0,1245 0,1796 2 639 −0,1785 −0,4031 0,0460 0,0990 0,0807 0,1209 0,1191 3 454 0,1109 −0,1188 0,3405 0,1280 0,1045 0,1559 0,3439 4 223 0,0190 −0,2446 0,2826 0,1181 0,0933 0,1484 0,8876 5 560 −0,0329 −0,2582 0,1923 0,1128 0,0921 0,1374 0,7744 6 209 0,0129 −0,2536 0,2794 0,1174 0,0925 0,1480 0,9243 7 200 −0,0040 −0,2728 0,2648 0,1157 0,0909 0,1462 0,9766 8 338 −0,0036 −0,2500 0,2429 0,1158 0,0928 0,1435 0,9775 9 267 0,2158 −0,0339 0,4654 0,1402 0,1127 0,1730 0,0902 10 233 0,0328 −0,2286 0,2941 0,1195 0,0946 0,1499 0,8058
* untere und obere Grenzen desi-ten 95% Konfidenzintervalls
#mittels inverser Link-Transformation berechnet ˆ im marginalen Modell
Es zeigt sich, dass trotz der Ablehnung der globalen Nullhypothese – d.h. es wird auf Unterschiede zwischen Kliniken geschlossen – keine in die Stichprobe gelangte
Klinik als signifikant
”besser“ oder
”schlechter“ als die gesch¨atzte Grundwahrschein-lichkeit eingestuft werden konnte. Klinik Nr. 9 zeigte hier den h¨ochsten (schlechte-sten) und Klinik Nr. 2 den kleinsten (be(schlechte-sten) nicht adjustierten Sch¨atzwert f¨ur γi bzw. f¨ur pi. Jedoch zeigen beide zum zweiseitigen Testniveau von 5% keine Signifi-kanz. Somit ist das Ergebnis des ersten GLMM fundamental verschieden von denen des klassischen logistischen Regressionsmodells (vgl. Kapitel 4.3.2).
Abbildung 4.4: Krankenhaus-Letalit¨at nach Klinikum – GLMM-basierte 95%-Vertrauensintervalle
Im Vergleich zum klassischen logistischen Regressionsmodell bleiben beim GLMM zwar die Vorzeichen der Sch¨atzer (im linearen Prediktor), da ˆσa2 > 0 ist, f¨ur je-des Klinikum erhalten. Jedoch verringerte sich durch den Schrumpfungs-Effekt der EBLUP-Sch¨atzung die Variabilit¨at der Punktsch¨atzer. Weiterhin”tauschen“ Klinik Nr. 1 und 2 den Rangplatz: Das im GLM ”beste Klinikum“ (Klinik Nr. 1) weist nach der Schrumpfung einen h¨oheren Sch¨atzwert als Klinikum Nr. 2 auf, da Letz-teres aufgrund der deutlich h¨oheren Fallzahl geringer zur Gesamtwahrscheinlichkeit bewegt wurde.
Bemerkung
Beim ¨Ubergang auf die Originalskala (dargestellt in den letzten drei Spalten von Tabelle 4.6) wurden die Sch¨atzer und Konfidenzgrenzen aus dem linearen Predik-tor entsprechend der Logitfunktion transformiert. Die Konfidenzgrenzen der trans-formierten Ereigniswahrscheinlichkeiten zeigen nicht die Konfidenzgrenzen f¨ur die prognostizierte Ereigniswahrscheinlichkeit der Kliniken, da hier die Variabilit¨at von Xβˆnicht ber¨ucksichtigt wurde. Die entsprechenden Intervalle lassen sich nur f¨ur das Modell ohne Kovariaten darstellen, da andernfalls f¨ur jedes Individuum unterschied-liche Auspr¨agungen inXβˆvorliegen. Im vorliegenden Fall der einfachen logistischen Regression sind die Unterschiede zwischen diesen beiden Typen von Konfidenzinter-vallen allerdings sehr gering.