Modifizierte RKKY-Wechselwirkung

Zur Berechnung der reinen Spinkorrelationsfunktionen, die in dem Selbstenergie-ausdruck (4.64) erscheinen, wird durch Bildung des Erwartungswertes über die elektronischen Freiheitsgrade ein effektiver Heisenberg-Hamilton-Operator kon-struiert [4, 5]:

H_f =−X

i j

Jˆ_{i j}S_i·S_j. (4.67) Wir können somit auf bekannte, für das Heisenberg-Modell entwickelte Nähe-rungsverfahren zur Bestimmung der Spinkorrelationsfunktionen zurückgreifen.

Zur Erläuterung der Erwartungswertbildung werden wir in diesem Abschnitt die Fourier-transformierte Form der Wechselwirkung (2.13) benutzen:

H_{s f} =− J Den Erwartungswert bilden wir ausschließlich im elektronischen Teil des Systems gemäß

hc⁺_k+qσc_kσ0i^(s)= 1

Ξ⁰Sp(e^−βH0c⁺_k+qσc_kσ0). (4.69) H⁰ besitzt die gleiche Struktur wie der Hamilton-Operator des Kondo-Gitter-Modells mit der Einschränkung, daß die lokalisierten Spins bei der Bildung des Erwartungswertes als c-Zahlen betrachtet werden. Demzufolge bleiben die lokali-sierten Spins bei der Mittelung unberührt.Ξ⁰ist die entsprechende großkanonische Zustandssumme. Wir können letztlich folgende Abbildungsvorschrift angeben:

hH_{s f}i^(s)=⇒H_f =− J

Es bleibt nun die Aufgabe, die Korrelationsfunktionhc⁺_kσc_k+qσ0i^(s)zu bestimmen.

Dafür definieren wir die effektive Greensche Funktion:

G_kσ,k+qσ0(E) =hhc_kσ;c⁺_k+qσ0ii^(s)_E , (4.71) wobei die Bildung des Erwartungswertes in (4.71) in dem eingeschränkten Sinn, wie es in (4.69) angegeben wurde, zu verstehen ist. Es ist zweckmäßig, jeweils die Bewegungsgleichungen mit dem aktiven Operatorc_kσ

E−ε(k)

4.3. MODELLRECHNUNGEN 33

zu einer Gleichung zu kombinieren, die uns die Bestimmung der effektiven Green-schen FunktionG_kσ,k+qσ⁰(E)gestattet:

G_kσ,k+qσ0(E) =δ_q,0δ_{σ σ}⁰G⁽⁰⁾_k (E)− (4.74)

Hierbei haben wir die wechselwirkungsfreie Greensche Funktion eingeführt:

G⁽⁰⁾_k (E) = h¯

E+µ−ε(k) +i0⁺. (4.75) Gleichung (4.74) stellt ein exaktes Ergebnis im Sinne der Definition (4.69) dar, das für die iterative Bestimmung der effektiven Greenschen Funktion G_kσ,k+qσ0(E) verwendet werden kann. Die einfachste Näherung erhalten wir, wenn wir auf der rechten Seite der Gleichung (4.74) die volle Greensche Funktion durch die wech-selwirkungsfreie Greensche FunktionG⁽⁰⁾_k (E)ersetzen:

G⁽¹⁾_kσ,k+qσ0(E) =δ_{σ σ}⁰δ_q,0G⁽⁰⁾_k (E)− Der Erwartungswerthc⁺_k+qσ0c_kσi^(s) ergibt sich nach einfacher Rechnung schließ-lich zu: Dabei haben wir bei der Anwendung des Spektraltheorems (3.18) die Definition (3.16) benutzt, wobei wir zur übersichtlichen Darstellung folgende Abkürzungen verwendet haben:

und

A⁽¹⁾_k,k+q(E) =G⁽⁰⁾_k (E)G⁽⁰⁾_k+q(E). (4.79) Durch Einsetzen der Gleichung (4.77) in (4.70) und Verwendung der Beziehung

S_i·σ= 1 erhalten wir einen effektiven Heisenberg-Operator vom Typ (4.67). Die effektiven Austauschintegrale nehmen, nach einer einfachen Rechnung, die Gestalt

J⁽¹⁾(q) =− J² an. Ein äquivalentes Ergebnis kann auf der Grundlage der zweiten Ordnung der Störungstheorie hergeleitet werden, wobei die Leitungselektronen als unpo-larisiert angesehen werden. Die als Rudermann-Kittel-Kasuya-Yosida (RKKY) [19, 20, 21] bekannte Wechselwirkung vermittelt eine Kopplung zwischen den lokalisierten Spins durch Polarisation der Leitungselektronen. Eine Verbesserung der oben vorgestellten Näherung erhält man, wenn für die effektive Greensche FunktionG_kσ0,k+qσ(E)die wechselwirkende Greensche FunktionG_kσ(E) einge-setzt wird:

G_k0σ⁰⁰,k+qσ⁰(E)−→ δ_σ⁰⁰_σ⁰δ_k⁰_k+qG_k+qσ0(E), (4.82) G_kσ,k0σ⁰⁰(E)−→ δ_{σ σ}⁰⁰δ_kk⁰G_kσ(E). (4.83) Dadurch werden Polarisationseffekte höherer Ordnung berücksichtigt und wir er-halten diemodifizierteRKKY-Wechselwirkung [4, 5]. Mit den Ersetzungen (4.82) und (4.83) bekommen wir anstelle der Gleichung (4.78) den allgemeineren Aus-druck

wobei jetzt in A⁽¹⁾_k,k+q(E) anstatt des einfachen Produktes der wechselwirkungs-freien Greenschen Funktionen das symmetrisierte Produkt aus G⁽⁰⁾_k (E) und G_k+qσ(E)auftritt. Somit gehtA⁽¹⁾_k,k+q(E)in die neue Definition

A^{σ σ}_k,k+q⁰ (E) = 1 2

G⁽⁰⁾_k (E)G_k+qσ(E) +G⁽⁰⁾_k+q(E)G_kσ⁰(E)

(4.85)

4.3. MODELLRECHNUNGEN 35 über. Mit Gleichung (4.84) können wir den uns interessierenden Erwartungswert wie folgt ausdrücken: Durch Einsetzen der Gleichung (4.86) in (4.70) erhalten wir schließlich einen ef-fektiven Hamilton-Operator der Form

H_f =X Um bei der weiteren Auswertung ein isotropes Heisenberg-Modell zu erhalten, benötigen wir eine Symmetrierelation der Funktion D^{σ σ}_q ⁰, die sich aus der Inver-sionssymmetrie der Bloch-Dispersionε(k)(Anhang C) ergibt:

D^↑↓_q =D^↓↑_q =1 2

X

σ

D^{σ σ}_q . (4.88)

Mit den Beziehungen (4.88) und (4.80) formen wir den effektiven Hamilton-Operator (4.87) in einen isotropen effektiven Heisenberg-Hamilton-Operator um. Die daraus resultierenden effektiven Austauschintegrale sind über die elektronische Selbst-energie von der TemperaturT, der Bandbesetzungnund der Kopplungskonstanten J abhängig. Sie lassen sich in der Ortsdarstellung wie folgt angeben:

Jˆ_{i j} = 1

Zur Lösung des effektiven Heisenberg-Modells (4.67) stellen wir hier die Be-wegungsgleichung der im Abschnitt 4.1 (Gleichung 4.27) eingeführten magno-nischen Greenschen Funktion auf:

D^(a)_{i j} (E) =hhS⁺_i ; e^aSzjS⁻_jii_E. (4.90) Sie gestattet die Bestimmung aller Spinkorrelationsfunktionen für beliebige Spin-quantenzahlSdurch Ableiten nach der reellen Konstantena, falls wir für die Be-wegungsgleichung der Greenschen Funktion (4.90)

ED^(a)_{i j} (E) =hhA¯ ^(a)iδi j+hh[S_i⁺,H_f]₋; e^aSzjS⁻_j ii_E (4.91) eine vernünftige Entkopplungsmethode finden.

Für die Inhomogenität in der Bewegungsgleichung haben wir folgende Abkürzung eingeführt:

hA^(a)i=h[S⁺_i ,e^aSziS⁻_i ]₋i. (4.92)

Auf der rechten Seite von (4.91) entstehen höhere Greensche Funktionen, die wir in der Tyablikow-Näherung [62] wie folgt behandeln:

hhS_i^zS_m⁺; e^aSzjS⁻_j ii_E −→ hS^{i6=m z}_iiD^(a)_{m j}(E), (4.93) hhS^z_mS_i⁺; e^aSzjS⁻_j ii_E −→ hS^{m6=i z}_miD^(a)_{i j} (E). (4.94) Trotzt ihrer Einfachheit hat sich die Tyablikow-Entkopplung als eine sehr gute Näherung für die Behandlung des Heisenberg-Modells im gesamten Temperatur-bereich erwiesen, von tiefen bis hin zu hohen Temperaturen. Die genäherte Bewe-gungsgleichung (4.91) lautet in der Ortsdarstellung:

Aufgrund der Translationssymmetrie können wir Gleichung (4.95) durch Fourier-Transformation lösen und nach der gesuchten magnonischen Greenschen Funkti-on umstellen:

D^(a)_q (E) = hhA¯ ^(a)i

E−E(q) +i0⁺. (4.96) Das Ergebnis der Tyablikow-Näherung ist eine reelle Selbstenergie, die mit der AnregungsenergieE(q)des Systems identisch ist. Die Anregungsenergie

E(q) =2¯hhS^zi Jˆ₀−J(q)ˆ

,Jˆ₀=J(qˆ =0) (4.97) ist dem Quasiteilchen Magnon zugeordnet, das eine kollektive Anregung des Spinsystems darstellt.

Die magnonische Greensche Funktion ist vollständig bestimmt, wenn es gelingt, die Inhomogenität (4.92) in Abhängigkeit von der reellen Konstanten a auszu-werten. Eine solche Auswertung führt, wie in [54] gezeigt wurde, zu einer Dif-ferentialgleichung zweiter Ordnung in dem Parameter a, die für den folgenden Erwartungswert hergeleitet werden kann [54, 43]:

Ω(a) =he^aSzi. (4.98) Die Lösung der Differentialgleichung dient anschließend als erzeugende Funktion zur Bestimmung des Erwartungswertes der Magnetisierung hS^zi durch Ableiten nach dem reellen Parameteraan der Stellea=0:

hS^zi= dΩ(a)

Der ErwartungswerthS^ziergibt sich nach der obigen Vorschrift (4.99) zu:

hS^zi=h¯(1+S+ϕ)ϕ^2S+1+ (S−ϕ)(1+ϕ)^2S+1

(1+ϕ)^2S+1−ϕ^2S+1 . (4.100)

4.3. MODELLRECHNUNGEN 37 Hierbei bezeichnetϕ die mittlere Magnonenbesetzungszahl:

ϕ(S) = 1

die neben der MagnetisierunghS^ziauch alle anderen Spinkorrelationsfunktionen bestimmt, wie zum Beispiel

hS⁻S⁺i = 2¯hhS^ziϕ(S), (4.102) h(S^z)²i = h¯²S(S+1)−hhS¯ ^zi(1+2ϕ(S)) (4.103) und

h(S^z)³i = h¯³S(S+1)ϕ(S) +h¯²hS^zi(S(S+1) +ϕ(S))

−¯hh(S^z)²i(1+3ϕ(S)). (4.104) Offensichtlich können wir mit dem oben vorgestellten Verfahren alle reinen loka-len Spinkorrelationsfunktionen bestimmen, die in der elektronischen Selbstener-gie (4.3.1) auftreten. Es läßt sich damit ein geschlossenes Gleichungssystem zur Berechnung sowohl der elektronischen Selbstenergie als auch der temperaturab-hängigen Magnetisierung gewinnen.

Eine wichtige physikalische Größe, die zur Charakterisierung ferromagnetischer Materialien herangezogen wird, ist die Curie-TemperaturT_C, deren Bestimmung wir uns jetzt widmen werden. Dazu entwickeln wir Gleichung (4.100) nach Po-tenzen von 1/ϕ. Für unseren Zweck ist es ausreichend, nur den Term in erster Ordnung zu berücksichtigen:

hS^zi=h¯S(S+1)

3ϕ(S) +O(1/ϕ²). (4.105) Nun ist (4.101) fürhS^zi →0 durch folgenden Ausdruck in (4.105) zu ersetzen:

ϕ(S)≈ 1 Damit können wir in (4.105) die Magnetisierung hS^zi eliminieren und nach β umstellen. Die Curie-TemperaturT_Cergibt sich schließlich zu:

k_BT_C=2

In einem iterativen Verfahren können wir die Curie-Temperatur selbstkonsistent mit Hilfe der Gleichung (4.107) berechnen.