Modelling approach

For the ceMFA mass, nutrient and energy flows as well as cost estimates are transferred  into mathematical models through the formulation of system equations. For the two  case studies Hamburg and Arba Minch two different approaches for setting up the  system  models  are  followed.  For  Hamburg,  every  system  is  represented  in  one  particular equation system. This is done since the systems differ relatively widely. For  Arba Minch, there is only one equation system set up for all systems, which are then  specified by system parameters that are introduced to reflect the system characteristics. 

The latter approach has the advantage that different systems and transition options can  be directly compared, using only one equation system for the modelling.  

In general, the selection of the system boundaries is crucial for a system analysis. 

System boundaries refer to spatial and temporal boundaries as well as to the processes  that  are  taken  into  account  (Sonesson  et  al.,  1997).  The  selection  of  the  system  boundaries impacts on the results and their interpretations, as well as on the data  requirements (Dalemo et al., 1997). Thus, they need to be carefully defined on the one  hand so as to not to limit the system analysis and to allow a wide view on the respective  topics. But on the other hand, the scope of the analysis still needs to be manageable in  terms of data collection and the amount of required work. 

The systems are made up of relevant processes and flows. Processes can be defined as  any activities that transform, transport or store materials. Flows are defined as the links 

between the processes. The processes that are included in the system boundaries must  reflect the whole chain of actions for the provision of a certain service, i.e. in this study  the  urban  water  and  wastewater  system  with  integrated  nutrient  recovery.  The  following general processes are therefore included in the system boundaries⁴⁷: 

ƒ water supply 

ƒ rainwater management 

ƒ domestic sanitation, i.e. wastewater management including the management of  residues such as sludge 

ƒ management of organic solid waste 

ƒ agriculture (water and nutrient management) 

As  spatial  system  boundaries  for  both  cases,  Hamburg  and  Arba  Minch,  the  administrative town borders are taken into account. However, referring to the Process  Agriculture the system boundaries are extended, since the agricultural areas within the  towns’ borders are relatively small and not sufficient to feed the whole population. 

Therefore,  an  area  large  enough  to  feed  the  population  of  the  respective  city  is  considered, i.e. a concept of hinterland is introduced. This is done in order to minimise  exports  and  imports  across  the  system  boundaries,  and  to  highlight  the  urban  population’s  food  and  fertiliser  requirements.  The  hinterland  area  is  calculated  according to the specific food  demand and  corresponding area required  for crop  production; this area differs for the cases of Germany and Ethiopia. This calculation is  explained in detail in Sections 4.1.1 and 5.1.1.  

The processes and flows, i.e. the variables identified in the system definitions, are  linked in a set of equations. Initially, balance equations of the different processes are set  up, defining the input flows, outputs flows and stock rate changes of every process. In  general, this follows  the law of  mass  conservation  by adhering  to  the  following  relationship: 

inflows + production = outflows + accumulation  (3‐2) 

Production and accumulation can be combined as stock rate change, which results in  the following general mathematical expression for the balance equations (Equation 3‐3). 

A more detailed description of the derivation of system equations can be found in the 

47 Industry is not included in order to disregard peculiarities and to increase comparability and 

generalisability. In addition, it is argued that industrial water and wastewater management can be  considered  in  a  relatively  detached  manner  from  domestic  water,  wastewater  and  nutrient  management.  

report by Baccini and Bader (1996). The algorithm, which SIMBOX uses for solving the 

M: stock rate change (i.e. accumulation or degradation)⁴⁸  A: flow 

n: substances, i.e. mass, water, N, P, K, S, C  i: input  

j: balance process  k: output 

Next, model equations are defined to represent the behaviour of the system in a  mathematical  way.  Processes  either  modify  the  material  under  consideration  (i.e. 

include stock rate changes such as accumulation or depletion), or they are transfer  processes. Parameters are used to describe the key characteristics of the systems. For  example, transfer coefficients describe the partitioning of a substance in a process, i.e. 

the transfer of inputs to outputs. This is defined for each output of a process and is not 

tc: transfer coefficient, with 

∑

k n

k

tcj  

In addition, a substance flow (e.g. nutrient flow) induced by the flow of a good (e.g. 

wastewater) can be calculated by multiplying substance concentrations with the mass  flow of the good as per Equation 3‐5.  

If substance flows are directly available (e.g. nitrogen load in excreta per person and  day), these are also used directly or they are appropriately converted⁴⁹ into total flows. 

Modelling of energy and costs is interlinked with the modelled physical flows, i.e. mass  or nutrient flows.  This means that energy and cost  variables are introduced and  equations are defined by which energy and cost flows can either be calculated directly  (i.e. in the case of fixed costs or energy demand) or as dependant on their relationship  with mass and nutrient variables (i.e. variable costs and energy demand).  

The modelling is complemented by an uncertainty analysis based on Gauss’ law of  error propagation using Taylor series. For this, parameters are assumed to show normal  distribution  (Gaussian  distribution)  and  small  uncertainties.  Gaussian  error  propagation  is  then  used  to  determine  the  error  or  uncertainty  of  the  variables  produced by the interacting parameters. The results of the uncertainty analysis are  indicated as error margins of the variables. In addition, SIMBOX allows Monte Carlo  simulations to  determine  uncertainties resulting  from parameters with probability  distributions other  than  a Gauss distribution.  Therefore, the distribution of every  parameter is assigned as being normal, lognormal or uniform; this is done by applying  best knowledge for each parameter⁵⁰. Standard deviations (or minimum/maximum  values for a uniform distribution) are selected. Monte Carlo samples including random  numbers are generated and applied to the parameters, followed by simulation runs. 

This allows a more precise calculation of the probability distribution of the variables,  provided that good knowledge about the distribution of the parameters is available. For  the purpose of this analysis Monte Carlo simulations are carried out for every equation  system and the resulting uncertainties are compared with the uncertainties based on  normal distributions.  

Sensitivity analyses are carried out to determine the most sensitive parameters. That  means parameters are identified that contribute to a high degree of uncertainty in  important variables. The data quality of these parameters can then be refined in order to  decrease the uncertainty of the variables. In addition, the range of the change in a  variable when the parameters affecting it are changed, is evaluated. The sensitivity  analysis calculates the first order changes in variables due to changes in parameters. 

“Relative sensitivities per 10%” (see Equation (3‐6) which is based on work of Baccini  and Bader, 1996) can be considered high if the relative change in the variable is higher  than the assumed relative change in the parameter. Therefore, the sensitivity analysis is 

49 Conversions include for example, multiplication by the number of persons or the number of days in a 

year. 

50 Truncated normal and truncated lognormal distributions can also be assumed. 

used to identify key parameters and to get a better understanding of the system as a 

Xi: variable  p^j: parameter 

Furthermore, parameter variations are included in the analysis to show the effect of  parameters varying over a larger range. This allows the evaluation of measures with  regard to their impact on specific flows or other variables such as specific costs or  energy demand.