6. Simulationsergebnisse
6.3. Modelle ohne Berücksichtigung von A-Priori- A-Priori-Informationen
6.3.2. Modell Lognormal–Pareto
6.3 Modelle ohne Berücksichtigung von A-Priori-Informationen 89
Modell A B C D
Pareto α 1.49 E+0 1.90 E+0 2.29 E+0 2.73 E+0 θ 9.82 E+3 2.69 E+4 5.17 E+4 8.64 E+4
Tabelle 6.8.: Darstellung der berechneten Werte für die Parameter der Höhenverteilung.
Der Erwartungswert entspricht jeweils dem in Tabelle 6.7 dargestellten Be-trag von 20.000–50.000. Das 99.9%-Quantil eines einzelnen Verlustes ist 1.000.000. Daraus werden die hier angegebenen Parameter berechnet. Falls aufgrund dieser Vorgaben noch keine eindeutige Ermittlung der Parameter möglich ist, wird die Parameterkombination verwendet, die den Anteil der Verluste oberhalb des Thresholds maximiert.
gen 6.5 und 6.6, dass die Anzahl von 1.000.000 Iterationen für eine genaue Schätzung womöglich nicht ausreicht. Falls in der Praxis genauere Werte notwendig sind, müsste die Anzahl der Iterationen deutlich erhöht werden. Dies würde die Dauer der einzelnen Simulation verlängern, so dass im Rahmen dieser Arbeit darauf verzichtet wurde, da genaue Werte an dieser Stelle nicht entscheidend sind, sondern ein Überblick über zu erwartende Konfidenzintervalle gegeben werden soll.
Im Vergleich zum Modell Log–Log zeigt sich im Modell Log–Par, dass aufgrund der Änderung der Höhenverteilung im DGP die tatsächliche Höhe des OpVaR bzw. des ES deutlich ansteigt. Für die Parameterausprägungen A1 bzw. D6 beträgt der OpVaR 3.2 Mio. bzw. 21.4 Mio. Demgegenüber steht im Modell Log–Log ein OpVaR von 2.3 Mio.
bzw. 19.2Mio.
In der Übersicht der Konfidenzintervalle in den Tabellen 6.11 und 6.12 zeigt sich, dass durch die Annahme einer Lognormalverteilung für die Verlusthöhe der OpVaR sowie der ES tendenziell unterschätzt werden. Bei Modell D6 beträgt z.B. der wahre Wert für den OpVaR21.4Millionen, das95%Quantil der Schätzergebnisse ergibt jedoch lediglich einen Wert von ca. 20.5 Millionen.
Wahrer Wert
0 500,000 1,000,000 1,500,000 2,000,000 2,500,000 3,000,000 3,500,000
0 100,000 200,000 300,000 400,000 500,000 600,000 700,000 800,000 900,000 1,000,000 Iterationen
99.9% Quantil
Abbildung 6.5.: In dieser Abbildung wird die MCS zur Ermittlung des tatsächlichen OpVaR beispielhaft für die Parameterausprägung A1 des Modells Log–
Par dargestellt. Es zeigt sich, dass nach ungefähr300.000Iterationen die MCS bereits ausreichend stabil wird. Möglicherweise würde sich durch eine erhöhte Zahl Iterationen der endgültige Wert noch leicht ändern.
Dadurch würden die Simulationen deutlich länger dauern, wobei sich die Ergebnisse nur unwesentlich ändern würden. Eine Darstellung der MCS für die übrigen Parameterausprägungen findet sich im Anhang.
ModellA B C D
1 3.2 2.6 2.3 2.2 2 4.8 3.8 3.2 3.1 3 9.1 6.4 5.2 4.9 4 14.9 9.6 7.9 7.2 5 24.5 14.7 11.9 11.2 6 45.7 26.5 21.9 21.4
Tabelle 6.9.: Übersicht über die tatsächliche Höhe des OpVaR für das Modell Log–Par für alle Parameterausprägungen jeweils in Millionen. Die Ergebnisse wurden mit einer MCS mit 1.000.000 Iterationen gewonnen.
6.3 Modelle ohne Berücksichtigung von A-Priori-Informationen 91
Wahrer Wert
0 1,000,000 2,000,000 3,000,000 4,000,000 5,000,000 6,000,000 7,000,000 8,000,000 9,000,000 10,000,000
0 100,000 200,000 300,000 400,000 500,000 600,000 700,000 800,000 900,000 1,000,000 Iterationen
99.9% Quantil
Abbildung 6.6.: In dieser Abbildung wird die MCS zur Ermittlung des tatsächlichen ES beispielhaft für die Parameterausprägung A1 des Modells Log–Par dargestellt. Es zeigt sich, dass nach ungefähr 700.000 Iterationen die MCS bereits ausreichend stabil wird. Möglicherweise würde sich durch eine erhöhte Zahl Iterationen der endgültige Wert noch leicht ändern.
Dadurch würden die Simulationen deutlich länger dauern, wobei sich die Ergebnisse nur unwesentlich ändern würden. Eine Darstellung der MCS für die übrigen Parameterausprägungen findet sich im Anhang.
Modell A B C D
1 9.1 5.2 3.9 3.3 2 13.3 7.8 5.6 4.6 3 25.2 13.3 8.6 7.1 4 41.7 18.0 12.3 10.0 5 65.1 26.8 17.9 14.6 6 121.2 46.7 30.6 26.0
Tabelle 6.10.: Übersicht über die tatsächliche Höhe des ES für das Modell Log–Par für alle Parameterausprägungen jeweils in Millionen. Die Ergebnisse wurden mit einer MCS mit1.000.000 Iterationen gewonnen.
Histogramm
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
89,322
198,789
442,413
984,609 2,191
,288 4,876
,801 10,853,52
0
24,154,95 3
53,757,83 6
119,640,2 64
266,264,3 05
größe r
Klassenobergrenze
Anteil
Abbildung 6.7.: Diese Grafik zeigt die Schwankungen des geschätzten OpVaR für das Modell Log–Par mit Parameterausprägung A1. Die Höhenverteilung des DGP folgt einer Paretoverteilung mit den Parametern α = 1.49 und θ = 9.82 103. Die Häufigkeitsverteilung folgt einer Poissonverteilung mit dem Parameter λ = 5. Der tatsächliche OpVaR für diese Parameter-ausprägung beträgt ca. 3Mio. Für die Schätzung wird als Höhenvertei-lung die LognormalverteiHöhenvertei-lung angenommen und als Häufigkeitsvertei-lung die PoissonverteiHäufigkeitsvertei-lung. Es ist ersichtlich, dass der geschätzte OpVaR in vielen Fällen unterhalb des tatsächlichen Wertes liegt; es gibt zusätz-lich große Abweichungen sowohl nach unten als auch nach oben. In95%
der Fälle liegt der Wert über 0.15 Mio; in 95% der Fälle liegt er unter 9.3Mio. Dies entspricht Schwankungen von 95% nach unten und 193%
nach oben.
6.3 Modelle ohne Berücksichtigung von A-Priori-Informationen 93
Histogramm
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
98,716
242,802
597,196 1,468
,864 3,612
,823 8,886
,111 21,856,30
5
53,757,83 6
132,222,9 41
325,215,9 56
799,902,1 77
größe r
Klassenobergrenze
Anteil
Abbildung 6.8.: Diese Grafik zeigt die Schwankungen des geschätzten ES für das Mo-dell Log–Par mit Parameterausprägung A1. Die Höhenverteilung des DGP folgt einer Paretoverteilung mit den Parametern α = 1.49 und θ= 9.82 103. Die Häufigkeitsverteilung folgt einer Poissonverteilung mit dem Parameter λ = 5. Der tatsächliche ES für diese Parameterausprä-gung beträgt ca. 9 Mio. Für die Schätzung wird als Höhenverteilung die Lognormalverteilung angenommen und als Häufigkeitsverteilung die Poissonverteilung. Es ist ersichtlich, dass der geschätzte ES in vielen Fällen unterhalb des tatsächlichen Wertes liegt; es gibt zusätzlich große Abweichungen sowohl nach unten als auch nach oben. In 95% der Fäl-le liegt der Wert über 0.17 Mio; in 95% der Fälle liegt er unter 26.0 Mio. Dies entspricht Schwankungen von98%nach unten und185%nach oben.
Modell A B C D
Quantil Wert Rel. Fehler Wert Rel. Fehler Wert Rel. Fehler Wert Rel. Fehler
1 5% 152,956 95% 257,505 90% 426,370 82% 558,841 74%
95% 9,260,657 193% 9,827,171 276% 10,286,770 346% 6,151,237 181%
2 5% 296,939 94% 567,048 85% 856,872 74% 1,127,337 63%
95% 17,421,353 262% 14,239,741 275% 9,111,728 181% 8,246,766 169%
3 5% 805,350 91% 1,373,831 79% 1,971,190 62% 2,418,150 51%
95% 23,858,284 161% 10,751,817 67% 7,078,449 35% 7,378,112 50%
4 5% 1,739,993 88% 2,573,944 73% 3,448,600 56% 4,274,337 41%
95% 27,326,611 83% 9,477,634 -1% 8,330,712 6% 8,191,203 14%
5 5% 3,508,693 86% 4,741,687 68% 6,197,612 48% 7,437,723 34%
95% 31,541,003 28% 12,049,824 -18% 10,481,086 -12% 11,401,568 1%
6 5% 8,093,122 82% 10,352,903 61% 13,275,541 39% 16,537,179 23%
95% 35,204,125 -23% 16,893,543 -36% 17,877,827 -18% 20,534,580 -4%
Tabelle 6.11.: Übersicht über die Konfidenzintervalle und die relativen Fehler für den OpVaR für alle Parameterausprägungen für das Modell Log–Par. Die tat-sächlichen OpVaR sind in Tabelle 6.9 dargestellt. Es zeigt sich, dass bei einer geringen Anzahl Verluste der tatsächliche VaR sowohl stark über-schätzt als auch stark unterüber-schätzt werden kann. Wenn die Anzahl der Verluste steigt, führt die Verteilungsannahme dazu, dass der OpVaR fast ausschließlich unterschätzt wird.
Modell A B C D
Quantil Wert Rel. Fehler Wert Rel. Fehler Wert Rel. Fehler Wert Rel. Fehler
1 5% 167,445 98% 286,422 95% 483,581 88% 641,707 81%
95% 25,964,483 185% 26,864,481 413% 21,572,715 454% 9,687,906 190%
2 5% 324,616 98% 640,290 92% 966,937 83% 1,302,208 72%
95% 48,131,028 262% 30,315,772 291% 15,308,713 174% 12,719,370 178%
3 5% 907,769 96% 1,560,159 88% 2,147,045 75% 2,715,332 62%
95% 61,280,290 144% 18,245,702 37% 9,926,784 16% 9,827,955 38%
4 5% 2,079,049 95% 2,824,973 84% 3,839,565 69% 4,726,217 53%
95% 63,313,896 52% 13,556,312 -25% 10,933,057 -11% 9,934,160 0%
5 5% 4,160,576 94% 5,251,229 80% 6,744,373 62% 8,015,491 45%
95% 64,920,633 0% 16,464,498 -39% 12,490,091 -30% 12,995,362 -11%
6 5% 9,481,504 92% 11,247,965 76% 13,977,687 54% 17,380,551 33%
95% 60,628,860 -50% 20,224,070 -57% 19,766,037 -35% 22,069,098 -15%
Tabelle 6.12.: Übersicht über die Konfidenzintervalle und die relativen Fehler für den ES für alle Parameterausprägungen für das Modell Log–Par. Die tatsächlichen ES sind in Tabelle 6.10 dargestellt. Es zeigt sich, dass bei einer geringen Anzahl Verluste der tatsächliche ES sowohl stark überschätzt als auch stark unterschätzt werden kann. Wenn die Anzahl der Verluste steigt, führt die Verteilungsannahme dazu, dass der ES fast ausschließlich unterschätzt wird.
6.3 Modelle ohne Berücksichtigung von A-Priori-Informationen 95