MISSING:Hol. Halbgruppen

µ0 ∈Ω und h∈Cmit µ0+h∈Ω

Nach Voraussetzung und dem Satz von Cauchy gilt f¨urε, δ >0 klein genug

Der Satz von Lebesgue liefert nun:

h−→0lim

thm:13.18 Theorem XIII.8. Sei entweder (a) f ∈C R+, X

Dann ist die milde L¨osung eine klassische L¨osung.

Beweis: (nur Idee). (a): F¨ur alleT0 >0 existiert CT0 >0

XIII. Funktionalkalk¨ul

Damit folgt

s7→Ae^(t−s)Af(s)∈L¹([0, t], X) Proposition (XI.15)(b) liefert nun

u(t) = ˆ _t

0

e^(t−s)Af(s)ds∈D(A). Weiter istAu∈C R+, X

und es gilt (ohne Beweis) u⁰(t) =f(t) +A

ˆ _t

0

e^(t−s)Af(s)ds, d.h.u⁰∈C¹(R+, X).

(b) ohne Beweis.

rem:13.19 Bemerkung XIII.9. Beachte:

Ae^tA

X ∼ ¹_t ist typisch f¨ur analytische Halbgruppen.

Daher gilt i.A. nicht

u(t) = ˆt

0

e^(t−s)Af(s) ds∈D(A)

f¨urf ∈L^p(R+, X).

XIII.6. Semilineare Probleme

SeiA:D(A)→X ein sektorieller Operator mit k= 0 und 0∈ρ(A). Wir betrachten:

(u⁰(t)−Au(t) =f(t, u(t)), t >0

u(0) =u₀ (XIII.1) eq:sem1

In diesem Abschnitt wollen wir stets

f :U →X mit

• (X_α,k.k) =

D(−A)^α,k.k_D((−A)^α₎

, dabei ist k(−A)^αxk ∼=k(−A)^αxk+kxk

• U ⊂R+×X_α

• ∀(t, x)∈U :∃ eine Umgebung W ⊂U, L≥0, ν ∈[0,1] :

kf(t1, x1)−f(t2, x2)k ≤L(|t₁−t2|^ν +kx₁−x2k_α), (ti, xi)∈W (XIII.2) eq:sem2

• α ∈(0,1)

80

XIII.6. Semilineare Probleme

voraussetzen.

thm:13.20 Theorem XIII.10. Sei(0, u0)∈U. Dann besitzt (XIII.1) eine eindeutge, lokale, milde L¨osung.

u∈C([0, T], X)∩C¹((0, T), X) f¨ur ein T :=T(u₀)>0.

Beweis:. Schritt1: Banachscher Fixpunktsatz Sei T0 >0. Es gilt

(−A)^αe^tA

≤Cαt^−α t∈(0, T0) W¨ahle t⁰ >0, ρ >0 sodass (XIII.2) mit L, ρin

V :=

(t, u)∈U : 0≤t≤t⁰,ku−u₀k_α ≤δ gilt. Setze

B := max

0≤t≤t⁰kf(t, u₀)k und w¨ahle t₁ mit

e^tA(−A)^αu₀−(−A)^αu₀ ≤ δ

2, 0≤t < t₁, und

0< t₁<min (

t⁰, δ

2(1−α)C_α⁻¹(B+δL)⁻¹ _1−α¹ )

.

Weiter bezeichne Y den Banachraum C([0, t1], X). Wir betrachten

F y(t) =e^tA(−A)^αu₀+ ˆ _t

0

(−A)^αe^(t−s)Af(s) (−A)^−αy(s)ds.

Dann gilt

• F :Y →Y

• F y(0) = (−A)^αu₀

XIII. Funktionalkalk¨ul Dann folgt mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass einy ∈S mit

y(t) =e^tA(−A)^αu₀+

Schritt 2: Regularit¨at

Da y stetig, folgt, dass t7→f t,(−A)^−αy(t)

XIII.6. Semilineare Probleme Wir betrachten die L¨osung u von

(u⁰(t)−Au(t) =f(t,(−A)^αy(t)), u(0) =u0.

XIII. Funktionalkalk¨ul

Mit Satz (XIII.8) folgt u∈C¹((0, t), X), u(t) =e^tAu₀+

ˆ _t

0

e^(t−s)Af s,(−A)^−αy(s) ds und u(t)∈D(A)⊂D((−A)^α). Damit folgt

(−A)^αu(t) =e^tA(−A)^αu0+ ˆ _t

0

(−A)^αe^(t−s)Af s,(−A)^−αy(s) ds und wegen der Eindeutigkeit des Fixpunktes folgt dann

u(t) = (−A)^−αy(t).

84

XIV. Sobolev-R¨ aume

In diesem Abschnitt sei Ω⊂Rⁿ stets ein nicht zwingend beschr¨anktes Gebiet.

XIV.1. Dichtheit von glatten Funktionen

lma:lokapp Lemma XIV.1 (Lokale Approximation). Sei p ∈ [1,∞), f ∈ W^m,p(Ω) und D b Ω.

Setze δ = dist(D, ∂Ω) und betrachte den Mollifier ηε mit ε < ^δ₂. Dann gilt f¨ur fε :=

ηε∗(χΩf)

ε→0lim||f_ε−f||_Wm,p(D) = 0.

Beweis:. Dasuppηε(x− ·)bΩfolgt

∇^αf_ε(x) =∇^α(η_ε∗χ_Ω)f(x) = ˆ

Ω

∇^α_xη_ε(x−y)f(y) dy

= (−1)^|α|

ˆ

Ω

∇^α_yη_ε(x−y)f(y) dy= ˆ

Ω

η_ε(x−y)∇^α_yf(y) dy

= (∇^αf)(x), x∈D.

Wegen lim

ε→0||η_ε∗g−g||_Lp(Ω) = 0 f¨ur alle g∈L^p(Ω) folgt die Behauptung.

thm:dicht Theorem XIV.2. Sei p∈[1,∞). Dann gilt

W^m,p(Ω)∩C^∞(Ω)^{||·||W m,p(Ω)} =W^m,p(Ω).

Beweis:. Sei (Ω_k) eine lokal endliche ¨Uberdeckung von Ω mit Ω_k b Ω und (ϕ_k) eine untergeordnete Zerlegung der Eins, d.h. suppϕ_k ⊂Ω_k. Zu ε >0 existiert nach Lemma XIV.1

f_k,ε∈C^∞(Ω_k)∩W^m,p(Ω) mit

||f −fk,ε||_Wm,p(Ωk)≤ ε2^−k 1 +kϕ_kk_Cm(Ωk)

. Setze fε := P

k∈N

ϕ_kf_k,ε. Die Produktregel ergibt ( ¨UA) ∂i(ϕ_kf) = (∂iϕ_k)f +ϕ_k∂if und daher

∇^α(ϕ_kf) =X

β≤α

α β

∇^α−βϕ_k∇^βf.

XIV. Sobolev-R¨aume

Damit folgt

||∇^αf_ε− ∇^αf||_Lp(Ω)=||∇^α X

k∈N

ϕ_k(f_k,ε−f)

!

||_Lp(Ω)

=||X

β≤α

α β

X

k∈N

∇^α−βϕ_k(∇^βf_k,ε− ∇^βf)||_Lp(Ω)

≤C(α, β)X

k∈N

||ϕ_k||_Cm(Ω)||∇^β(fk,ε−f)||_Lp(Ω)≤C(α, β,Ω)ε.

XIV.2. Fortsetzungsoperatoren

thm:fortsetzung Theorem XIV.3. Sei p ∈ [1,∞), m ∈ N0, Ω ⊂ Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet von der Klasse C^m oder R^m+. Dann existiert ein konsistenter Fortsetzungsoperator F ∈ L(L^p(Ω), L^p(Rⁿ)) mit

• F u|_Ω =u, u∈L^p(Ω).

• ||F u||_Wk,p(Ω)≤C(Ω)||u||_Wk,p(Ω), u∈W^k,p(Ω), k≤m.

Beweis:. (Idee f¨ur k=1, Rest ( ¨UA))

Schritt 1: Ω⊂Rⁿ₊. Sei u∈C¹(Rⁿ₊)∩W^1,p(Rⁿ). Setze

˜

u(x⁰, xn) =

(u(x⁰, x_n) , x_n>0 u(x⁰,−x_n) , x_n<0. Dann gilt ( ¨UA)

• u˜∈W^1,p(Rⁿ),

• ||u||˜ _W1,p(Rⁿ) ≤2||u||_W1,p(Rⁿ+),

• u|˜_Rⁿ

+ =u.

Wir definieren F u = ˜u und setzen F mit Theorem XIV.2 auf L^p(Rⁿ+) bzw. W^1,p(Rⁿ+) fort.

Schritt 2:(Lokalisieren)

Sei (Ωj) eine lokal endliche ¨Uberdeckung und (ϕj) eine dazu untergeordnete Zerlegung der Eins.

(T_ju)(x) =u(Φ⁻¹_j (x)) Ωˆj = Φ(Ωj) Seiu∈L^p(Ω). Wir definieren

(F u)(x) =





 P

j

ϕjT_j⁻¹F_Rⁿ₊Tj(ϕju) , x∈S Ωj

0 ,sonst

. Dann gilt

86

XIV.3. Spuroperatoren

• ||T_jϕ_ju||_{Wk,p( ˆΩ}

j)≤C||u||_Wk,p(Ωˆ

j∩Ω),

• F u∈W^k,p(Rⁿ), u∈W^k,p(Ω), k≤m,

• ||T_j⁻¹F_Rⁿ₊Tjϕju||_Wk,p(Ωj)≤C||u||_Wk,p(Ωjˆ∩Ω),

• F u|_Ω=u.

Bemerkung XIV.4. Sei p∈[1,∞), k∈N0. Setze W₀^k,p(Ω) :=C_c^∞(Ω)^{||·||W k,p(Ω)}.

Dann gilt E₀ ∈ L(W₀^k,p(Ω), W^k,p(Ω)), wobei E₀ die Fortsetzung mit 0 auf Rⁿ ist (vgl.

Theorem XIV.7).

Korollar XIV.5. Sei p ∈ [1,∞), Ω beschr¨anktes Gebiet von der Klasse C^m oder Rⁿ+. Dann gilt

C_c^∞(Rⁿ)|_Ω^{||·||W k,p(Ω)} =W^k,p(Ω), k≤m.

Beweis:. Sei u ∈ W^k,p(Ω). Dann existiert (ϕn) ⊂ C_c^∞(Rⁿ) mit lim

n→∞||ϕ_n − F u||_Wk,p(Rⁿ)= 0.

XIV.3. Spuroperatoren

Proposition XIV.6. Sei p∈[1,∞). Dann existiert eine stetige Abbildung Γ_Rⁿ

+ :W^1,p(Rⁿ+)→L^p(Rⁿ⁻¹) mit

Γ_Rⁿ₊u=u|_∂Rⁿ

+, u∈C_c^∞(Rⁿ).

Beweis:. ( ¨UA)

thm:14.7 Theorem XIV.7. Sei p ∈ [1,∞), dann gilt u ∈ W₀^1,p(Rⁿ+) genau dann, wenn u ∈ W^1,p(Rⁿ+) und Γ_Rⁿ

+(u) = 0.

Beweis:. =⇒: ¨UA

⇐=: Sei u ∈ W^1,p(Rⁿ+) mit Γ_Rⁿ

+(u) = 0 und (u_n) ⊂ C_c^∞(Rⁿ) mit

n→∞lim ku_n−uk_W1,p(Rⁿ+)= 0. O.B.d.A. sei suppu kompakt.

Schritt 1: E₀u∈W^1,p(Rⁿ).

XIV. Sobolev-R¨aume

Beweis:. Nach Vorraussetzung existiert eine ¨Uberdeckung des Randes von Ω. Seien φ_k, φ⁻¹_k , ϕ_k mit φ_k ⊂B_k wie im Beweis vom Theorem XIV.3. Weiter seiΨ_j ∈C_c^∞(Rⁿ),

XIV.4. Riesz-Thorin Konvexit¨atstheorem

thm:14.9 Theorem XIV.9. Sei p ∈ [1,∞), Ω ⊂ Rⁿ beschr¨ankt und von Klasse C¹. Dann gilt u∈W₀^1,p(Ω) genau dann, wenn u∈W^1,p(Ω)und ΓΩu= 0.

Beweis:. Verwende Theorem XIV.7 und lokalisiere ( ¨UA).

rem:14.10 Bemerkung XIV.10. ΓΩ : W^1,p(Ω) → L^p(∂Ω) ist nicht surjektiv. Man kann zeigen, dass

Γ_Ω:W^1,p(Ω)→W^1−1/p,p(∂Ω) surjektiv ist. Hierbei ist

W^s,p(∂Ω) =

u∈L^p(∂Ω) : ˆ

∂Ω

ˆ

∂Ω

|u(x)−u(y)|^p

|x−y|^n+sp dxdy <∞

, s∈(0,1).

XIV.4. Riesz-Thorin Konvexit¨ atstheorem

Sei Ω⊂Rⁿ ein Gebiet. Dann sind ( ¨UA):

• L¹∩L^∞(Ω) =L¹(Ω)∩L^∞(Ω) mitkfk_1∩∞=kfk_L1 +kfk_L∞

• L¹+L^∞(Ω) =

f : Ω→C:∃g∈L¹(Ω), h∈L^∞(Ω), f =g+h mit kfk_1+∞=inf

n

khk_L∞+kgk_L1(Ω), f =g+h o

Banachr¨aume.

thm:14.11 Theorem XIV.11. Seip∈[1,∞]. Dann gilt L^p(Ω)⊂L¹+L^∞(Ω).

Beweis:. Die F¨alle p= 1,∞ sind klar.

Sei f ∈L^p(Ω), p∈(1,∞) und setze A:={x∈Ω :|f(x)| ≤1} und h=χ_Af, g=χ_Ω\Af.

Dann gilt h∈L^∞(Ω) und g∈L¹(Ω), da ˆ

Ω

χ_Ω\Af ≤

ˆ

Ω

χ_Ω\Af

p≤ kfk_Lp(Ω).

thm:14.12 Theorem XIV.12. SeiT :L¹+L^∞(Ω)→L¹+L^∞(Ω) linear. F¨urα ∈(0,1), p₀ ≥1, und 1/p0+ 1/p1 = 1 setze 1/pα = (1−α)/p0+α/p1, 1/rα= (1−α)/r0+α/r1. Weiter sei T|_L^p0(Ω)∈ L(L^p0(Ω), L^r0(Ω)) und T|_L^p1(Ω) ∈ L(L^p1(Ω), L^r1(Ω)). Dann gilt

T|_Lpα(Ω)

L^pα(Ω) ≤

T|_Lp0(Ω)

1−α L^p0(Ω)

T|_Lp1(Ω)

α L^p1(Ω). Zum Beweis ben¨otigen wir:

XIV. Sobolev-R¨aume

thm:14.13 Theorem XIV.13(3-Linien-Satz). Sei f : S = {z∈C: 0≤Re(z)≤1} → C analy-tisch und beschr¨ankt,

M₀ = sup

Mit dem Maximumsprinzip f¨ur ein hinreichend großes Rechteck erhalten wir |f(z)| ≤ max{1, e}. Aus →0 folgt die Behauptung.

Beweis:. Es gilt ´

Ω|f_z(x)|^pRe(z) =PN

i=1a^p_j|E_j|=kfk^p_Lp(Ω)= 1.

Nun zum Beweis von Riesz-Thorin:

Beweis:. Seien f, f ’ Stufenfunktionen aufΩ, welchekfk_Lp(Ω) =kf⁰k_Lr0 analytisch in S. Weiter folgt mit Lemma XIV.14

sup

XIV.5. Sobolevsche Einbettungss¨atze

Mit dem 3-Linien-Satz folgt nun Da die Stufenfunktionen dicht in L^p(Ω)und L^r0(Ω) sind, folgt

T|_Lpα(Ω)

L(L^pα(Ω),L^rα(Ω)) ≤M₀^1−αM₁^α.

XIV.5. Sobolevsche Einbettungss¨ atze

thm:SobEinbettung1n Theorem XIV.15. Seip∈[1, n). Dann gilt:

W^1,p(Rⁿ),→L^p∗(Rⁿ), mit 1

XIV. Sobolev-R¨aume

W¨ahle nun t so, dass _n−1^tn =p⁰(t−1), d.h. t= ⁿ⁻¹_n p^∗ >1. Damit folgt kuk^t_Lp∗

(Rⁿ) ≤ tkuk^t−1

L^p∗(Rⁿ) n

Y

i=1

k∂_iuk

1 n

L^p(Rⁿ)

≤ tkuk^t−1

L^p∗(Rⁿ)k∇uk_Lp(Rⁿ)

Insgesamt folgtkuk_Lp∗

(Rⁿ)≤ ⁿ⁻¹_n p^∗k∇uk_Lp(Rⁿ). Schritt 2:

Seiu∈W^1,p(Rⁿ) und (u_k)∈C_c^∞(Rⁿ) mit limk→∞u_k=u. Damit folgt mit Schritt 1 ku_kk_Lp∗

(Rⁿ)≤Ck∇u_kk_Lp(Rⁿ),

(u_k)_k∈Nist eine Cauchy-Folge in L^p∗(Rⁿ)und damit konvergiert eine Teilfolge fast ¨ uber-all, d.h.

k→∞lim ku_k−uk_Lp∗

(Rⁿ)= 0, kuk_Lp∗

(Rⁿ) ≤Ck∇uk_Lp(Rⁿ). cor:SobEinbettungr Korollar XIV.16. Seip∈[1, n). Dann gilt

W^1,p(Rⁿ),→L^r(Rⁿ) mit r∈[p, p^∗].

Beweis:. Setze θ∈(0,1)mit ¹_r = ^θ_p+^1−θ_p∗ . Mit Riesz-Thorin (angewendete aufT =Id) folgt:

kfk_Lr(Rⁿ)≤ kuk^θ_Lp(Rⁿ)kuk^1−θ

L^p∗(Rⁿ)≤C(kuk_Lp(Rⁿ)+kuk_Lp∗

(Rⁿ))

≤C(kuk_Lp(Rⁿ)+k∇uk_Lp(Rⁿ)≤Ckuk_W1,p(Rⁿ). thm:Morrey Theorem XIV.17(Morrey). Seip > n. Dann gilt:

W^1,p(Rⁿ),→L^∞(Rⁿ).

Ferner gilt f¨urθ= 1−ⁿ_p

|f(x)−f(y)| ≤Cn,p|x−y|^θk∇fk_Lp(Rⁿ) f¨ur f.a. x, y∈Rⁿ. ohne Beweis.

thm: SobEinbettungninf Theorem XIV.18. Es gilt:

W^1,n(Rⁿ),→L^r(Rⁿ), f¨urr ∈[n,∞).

ohne Beweis.

thm:SobEinbettungGebiet Theorem XIV.19. SeiΩ⊂Rⁿ beschr¨ankt und von der Klasse C¹.

92

XIV.5. Sobolevsche Einbettungss¨atze

(a) Sei p∈[1, n). Dann gilt:

W^1,p(Ω),→L^r(Ω) f¨urr ∈[1, p^∗] mit 1 p^∗ = 1

p − 1 n. (b) Es gilt

W^1,n(Ω),→L^r(Ω) f¨urr∈[1,∞).

(c) Sei p > n. Dann gilt

W^1,p(Ω),→L^r(Ω)f¨ur r∈[1,∞]

und f¨urθ= 1−n p

|f(x)−f(y)| ≤Cn,p|x−y|^θk∇fk_Lp(Rⁿ) f¨ur f.a.x, y∈Ω.

Beweis:. (a) Mit Theorem XIV.15 folgt kfk_Lp∗

(Ω) ≤ kFfk_Lp∗

(Rⁿ)

≤ CkFfk_W1,p(Rⁿ)≤Ckfk_W1,p(Ω) f¨urf ∈W^1,p(Ω).

Nun folgt (a) mit der H¨older-Ungleichung.

(b), (c) analog.

SobEinbettungOmegaMp Korollar XIV.20. Seim ∈N, p∈[1,∞) und Ω⊂Rⁿ beschr¨ankt und von der Klasse C^m oder Ω =Rⁿ,Rⁿ+. Dann gilt:

(a) ¹_p −^m_n >0⇒W^m,p(Ω),→L^r(Ω), r∈[p, p^∗], _p¹∗ = ¹_p−^m_n (b) ¹_p −^m_n = 0⇒W^m,p(Ω),→L^r(Ω), r∈[p,∞]

(c) ¹_p −^m_n <0⇒W^m,p(Ω),→L^∞(Ω) mit

|(D^αf)(x)−(D^αf)(y)| ≤Ckfk_Wm,p(Ω)|x−y|^θ, wobei θ=m− ⁿ_p −k, θ∈(0,1),k= [m−ⁿ_p] und |α|=k.

Beweis:. (a), (b) ( ¨UA), (c) ohne Beweis.

Als n¨achstes beweisen wir eineL^p-Variante von Arzela-Ascoli.

thm:ArzelaAscoliLp Theorem XIV.21. SeiΩ⊂Rⁿ offen, p∈[1,∞) und M ⊂L^p(Ω)beschr¨ankt. Es gelte:

(a) ∀ε,Ω⁰ bΩ∃δ ∈(0, dist(Ω⁰,Ω^c)) :kτ_hf−fk_Lp(Ω⁰)< ε f¨ur h∈Rⁿ, |h|< δ, f ∈M.

Hier: (τhf)(x) =f(x+h).

(b) ∀ε >0∃Ω⁰bΩ :kfk_Lp(Ω\Ω⁰)≤ε f¨ur f ∈M Dann ist M kompakt im L^p(Ω).

XIV. Sobolev-R¨aume

Beweis:. (Skizze, vgl. [Ada75, Theorem 2.32]). Sei zun¨achst Ω = Rⁿ und ε >0. Nach (b) existiert einΩ⁰ bΩmit

kfk_Lp(Ω\Ω⁰) ≤ε, f ∈M.

Sei nun(ηn) ein Mollifier. Dann gilt kη_n∗φ−φk_Lp(Rⁿ)=k

ˆ

Rⁿ

ηn(y)[(τyφ)(x)−φ(x)] dyk_Lp(Rⁿ)

≤ sup

h∈B(0,_n¹)

kτ_hφ−φk_Lp(Rⁿ), φ∈Cc(Rⁿ).

DaCc(Rⁿ) dicht in L^p(Rⁿ) ist, existiert f¨urf ∈M eine Folge (φj)j∈N⊂Cc(Rⁿ) mit

j→∞lim φ_j =f in L^p(Rⁿ).

Insbesondere gilt f¨urn∈N und h >0

j→∞lim η_n∗φ_j =η_n∗f in L^p(Rⁿ), lim

j→∞τ_h∗φ_j =τ_h∗f in L^p(Rⁿ). (XIV.3) eqn:KonvArzAsc Daher gilt f¨ur f ∈M, n <1/δ und j∈N groß genug

kη_n∗f −fk_Lp(Ω⁰) ≤ kη_n∗f −η_n∗φ_jk_Lp(Ω⁰)+kη_n∗φ_j −φ_jk_Lp(Ω⁰)+kφ_j −fk_Lp(Ω⁰)

≤ε+ sup

h∈B(0,_n¹)

kτ_h∗φj−φjk_Lp(Ω⁰)+ε

≤3ε+ sup

h∈B(0,_n¹)

kτ_h∗f−fk_Lp(Ω⁰)≤4ε.

Hierbei haben wir im letzten Schritt Voraussetzung (a) benutzt. Im Folgenden sein fest gew¨ahlt. Da M⁰ := {η_n∗f, f ∈ M} relativ kompakt in C(Ω⁰) ist ( ¨UA), existiert eine endliche Menge von Funktionen {ψ₁, . . . , ψ_m} ⊂C(Ω⁰) mit

M⁰ ⊂

m

[

j=1

B(ψ_j, ε), d.h.∃C >0 :∀f ∈M∃j∈ {1, . . . , m} mit

|ψ_j(x)−(ηn∗f)(x)| ≤Cε, x∈Ω⁰.

Mit (XIV.3) und (a) folgt nun kf −E₀ψ_jk_Lp(Rⁿ)≤5εf¨ur j∈ {1, . . . , m}, d.h.

M =

m

[

j=1

B(E₀ψ_j,5ε), d.h.M ist total beschr¨ankt, also relativ kompakt.

Der allgemeine Fall folgt mitΩ =Rⁿ und Mf={E₀f :f ∈M}.

94

XIV.5. Sobolevsche Einbettungss¨atze

thm:Rellich Theorem XIV.22. (Rellich)

Sei Ω⊂Rⁿ beschr¨ankt und von der Klasse C¹, p∈[1, ∞). Dann gilt:

(a) Sei p < n. W^1,p(Ω),→^kp L^r(Ω), r ∈[1, p^∗), _p¹∗ = ¹_p −¹_n. (b) Sei p=n. W^1,n(Ω),→^kp L^r(Ω) , r∈[1,∞).

(c) Sei p > n. W^1,p(Ω),→^kp C( ¯Ω).

Beweis:. (a) Sei B die Einheitskugel inW^1,p(Rⁿ). Weiter seiθ∈(0.1]mit¹_r = ^θ₁+^1−θ_p∗

und Ω⁰ bΩ und |h|<dist(Ω⁰,Ω^c). Dann folgt mit Riesz-Theorem kτ_hu−uk_Lr(Ω⁰)≤ kτ_hu−uk^θ_L1(Ω⁰)kτ_hu−uk^1−θ

L^p∗(Ω⁰) UA¨

≤ C|h|^θk∇uk^θ_L1(Ω)

2kuk^θ_Lp∗

(Ω)

1−θ

≤C|h|^θk∇uk^θ_Lp(Ω)kuk^1−θ_W1,p(Rⁿ)≤C|h|^θ, u∈B.

Weiter gilt f¨ur geeignetes Ω⁰bΩ

kuk_Lr(Ω\Ω⁰) =





 ˆ

Ω\Ω⁰

|u(x)|^r







1 r

≤ kuk_Lp∗

(Ω\Ω⁰)|Ω\Ω⁰|^1−pr∗ ≤ |Ω\Ω⁰|^1−pr∗ < , u∈B.

Die Behauptung folgt nun aus Theorem XIV.21.

(b) Analog.

(c) Sei p > n, B die Einheitskugel in W^1,p(Rⁿ). Wegen

|f(x)−f(y)| ≤C|x−y|^α, f ∈B,

mit α > 0 ist f gleichm¨aßig, gleichgradig stetig. Der Satz folgt aus dem Satz von Arzela-Ascoli.

XV. Der Laplace-Operator und semilineare Probleme

XV.1. Besselpotential-R¨ aume

Definition & Lemma XV.1. Seip∈(1, ∞), s∈R. Wir definieren H^s,p(Rⁿ) :=n

f ∈S⁰(Rⁿ) : ∃g∈L^p(Rⁿ) : F⁻¹(1 +|ξ|²)^−s2Fgo . H^s,p(Rⁿ) heißt Bessel-Potential Raum .

Theorem XV.2. Sei p∈(1, ∞), k∈N. Dann gilt W^k,p(Rⁿ) = H^k,p(Rⁿ).

Weiter gilt

L^p(Rⁿ) = H^0,p(Rⁿ).

Beweis:. (F¨ur den Fall k = 2): Sei u∈W^2,p(Rⁿ). Wir setzen g:=F⁻¹(1 +|ξ|²)Fu∈ S⁰(Rⁿ). Nach Voraussetzung gilt

F⁻¹(1 +|ξ|²)Fu∈L^p(Rⁿ) und

u=F⁻¹(1 +|ξ|²)⁻¹Fg.

Allgemeiner Fall:

g:=F⁻¹(1 +|ξ|²)^k2

1 +|ξ|^k F F⁻¹(1 +|ξ|^k)Fu

| {z }

∈L^p(Rⁿ)

.

UA: Zeige¨ ^(1+|ξ|2)

k 2

1+|ξ|^k ist ein Fouriermultiplikator von auf L^p(Rⁿ).

Umgekehrt sei u∈H^{k, p}(Rⁿ). Dann gilt F⁻¹(|iξ|^α)Fu=F⁻¹ |iξ|^α

(1 +|ξ|²)^k2

F F⁻¹((1 +|ξ|²))^k2Fu

| {z }

g∈L^p(Rⁿ)

,

d. h.∇^αu∈L^p(Rⁿ),|α| ≤k(Beachte: ^|iξ|α

(1+|ξ|²)^k2 ist ein Fouriermultiplikator aufL^p(Rⁿ)).

Bemerkung XV.3. Achtung: Sei s∈R+\N0. Dann gilt W^s,p(Rⁿ) genau dann, wenn p= 2.

XV. Der Laplace-Operator und semilineare Probleme

XV.2. Gebrochene Potenzen des Laplace-Operators

thm:gebrochenePot Theorem XV.4. Sei p∈(1,∞) und α∈(0,1). Dann gilt D ((−∆^α

Rⁿ)) =H^2α,p(Rⁿ).

Insbesondere gilt

D√

−∆

=H^1,p(Rⁿ) =W^1,p(Rⁿ).

Beweis:. Da _(1+|ξ|^|ξ|α2)^α ein Fouriermultiplikator auf L^p(Rⁿ) ist, folgt H^2α,p(Rⁿ) ⊂ D

(−∆

p 2

Rⁿ)

.

Sei umgekehrt u ∈D((−∆^α)), d. h. u ∈ L^p(Rⁿ) und F |ξ|^2αF⁻¹u ∈L^p(Rⁿ). Dann gilt ( ¨UA)

F⁻¹ (1 +|ξ|²)^α 1 +|ξ|^2α

| {z }

F F⁻¹(1 +|ξ|^2α)Fu

| {z }

∈L^p(Rⁿ)

=:g∈L^p(Rⁿ)

und u=F⁻¹(1 +|ξ|²)^αFg, d. h. u∈H^2α,p(Rⁿ).

XV.3. Semilineare Probleme

In diesem Abschnitt sei A:= ∆_Rⁿ und f : D √

−∆_Rⁿ

→ L^p(Rⁿ) f¨ur ein p ∈(1, ∞).

Wir betrachten

u⁰(t)−∆u(t) =f(u(t)), t >0, (XV.1) WaermeleitungDGL u(0) =u₀.

thm:LoesungWaerme Theorem XV.5. Sei α= ¹₂. Sei entweder (a) f(u) =u^r, r≥1, p > n oder

(b) f(u) =u ∂_ju, p > n.

Dann existiert ein T > 0 und eine eindeutige L¨osung von XV.1 im Sinne von Theo-rem XIII.10 f¨ur u0 ∈D(∆).

Beweis:. (a) Theorem XIV.17 liefert

kf(u₁)−f(u₂)k_Lp(Rⁿ) =ku^r₁−u^r₂k_Lp(Rⁿ)=k(u₁−u₂)

r−1

X

j=0

u^j₁u^r−j−1₂ |_Lp(Rⁿ)

≤Ck|u₁−u2|(|u₁|^r+|u₂|^r)k_Lp(Rⁿ)

≤Cku₁−u2k_L∞(Rⁿ)k(|u₁|^r+|u₂|^r)k_Lp(Rⁿ)

≤Cku₁−u2k_W1,p(Rⁿ)(ku₁k^p_W¹_1,p(

Rⁿ)+ku₂k^p_W²_1,p(

Rⁿ))

≤Cku₁−u₂k_W1,p(Rⁿ), u₁, u₂ ∈W^{1, p}(Rⁿ).

98

XV.3. Semilineare Probleme

(b) Mit Theorem XIV.17 erhalten wir

kf(u₁)−f(u₂)k_Lp(Rⁿ)=ku₁ ∂_ju₁−u₂ ∂_ju₂k_Lp(Rⁿ)=ku₁ ∂_ju₁−u₂ ∂_ju₂+u₂ ∂_ju₁−u₂ ∂_ju₁k_Lp(Rⁿ)

=k(u₁−u2) ∂ju1k_Lp(Rⁿ)+ku₂ ∂j(u1−u2)k_Lp(Rⁿ)

≤ k(u₁−u2)k_L∞(Rⁿ)k∂_ju1k_Lp(Rⁿ)+ku₂k_L∞(Rⁿ)k∂_ju1−u2k_Lp(Rⁿ)

≤Cku₁−u2k_W1, p(Rⁿ), u1, u2 ∈W^{1, p}(Rⁿ), ku₁k_W1, p(Rⁿ), ku₁k_W1, p(Rⁿ)≤C.

Der Rest folgt mit Theorem XIII.10.

Index

L^p-Realisierung, 69 adjungierter Operator, 33 Annihilator, 66

Bessel-Potential Raum, 97 Bochner-integrierbar, 61 Burgersgleichung, 11 d’Alemberts Formel, 15 Definitionsbereich, 59

dicht definierter Operator, 66 Distribution

Cauchy-Hauptwert, 30

Dirac’sche δa-Distribution, 30 Heaviside-Funktion, 32 Eigenwert, 60

elliptisch, 45

Entropie-Bedingung, 13

Euler-Poisson-Darboux-Gleichung, 16 Fortsetzungsoperator, 86

Fouriermultiplikator, 55 Fundamentall¨osung, 28, 35 Graphennorm, 59

Greenfunktion, 41 harmonisch, 23 holomorph, 63

holomorph, schwach, 63 Integrall¨osung, 10 Kirchhoff’s Formel, 19 konsistent, 69

Laplace-Gleichung, 23 Leibnitz-Regel, 32 linear, 1

Mittelwerteigenschaft, 24 nicht charakteristisch, 6 Operator

abgeschlossen, 59 linear, 59

Ordnung N auf Ω, 30 parabolisch, 45 Poisson-Gleichung, 28 Poissonkern, 43 Punktspektrum, 60 quasi-linear, 1

Rankine-Hugoniot-Bedingung, 11 Raum der schnell-fallenden Funktionen,

47

Resolventenidentit¨at, 65 Resolventenmenge, 59 Schock, 13

schwach messbar, 61 Sektorialit¨atswinkel, 77 sektoriell, 77

semi-linear, 1 separabelwertig, 61 Spektrum, 59 Stufenfunktion, 60 Symbol, 55

T von der Ordnung N auf K, 30

Index

Testfunktion, 10 Unstetigkeitskurve, 10 voll nicht-linear, 1 zul¨assig, 6

102

Literaturverzeichnis

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Im Dokument Partielle Differentialgleichungen I (Seite 87-0)