Die Transilienzmatrix enth¨alt noch weitere Informationen insbesondere ¨uber Turbulenzparameter wie Mischungsintensit¨at und Mischungswegl¨ange etc..
Zun¨achst soll hier das Transportspektrum interessieren. Im Gegensatz zu den
Spektren, welche man mittels FFT (Fast Fourier Transformation) aus Eddy-Korrelationsmessungen gewinnt, handelt es sich hierbei um ein Spektrum, wel-ches nicht den augenblicklichen Zustand, sondern den Prozeß des (nichtloka-len!) turbulenten Transportes beschreibt. Um Transportspektren auf der Grund-lage der Transilienzmatrix berechnen zu k¨onnen, muß auf die Gleichung zur Berechnung der turbulenten Fl ¨usse zur ¨uckgegriffen werden. Eine Transport-spektrum erh¨alt man, wenn man nicht ¨uber alle Paare von Gitterpunkten des Modells summiert, sondern nur ¨uber diejenigen, welche einen bestimmten Ab-stand zueinander haben, z.B. Hm (mitHm =jhk hljundm = jk l j). Den AbstandHm kann man auffassen als Gr¨oße einer Gruppe von Eddies, wobei im Transportspektrum der Anteil dieser bestimmten Eddies am Gesamtfluß der EigenschaftSzum Ausdruck kommt. Nach der Summation erh¨alt man die folgende Beziehung: Durch Summation ¨uber die Transportspektren aller Wellenl¨angen erh¨alt man wieder den Gesamtfluß. Es ist zu beachten, daß sich f ¨ur ein und denselben Zeit-punkt, aber unterschiedliche EigenschaftenSverschiedene Transportspektren ergeben k¨onnen.
Es kann jedoch auch vorkommen, daß in einer bestimmten H¨ohe zwar sehr starke turbulente Durchmischung herrscht, aber der Beitrag zum Gesamtfluß nur sehr klein ist, da die Differenzen der betrachteten Gr¨oße zwischen zwei verschiedenen H¨ohen sehr klein sind. Wenn man eine Gr¨oße finden will, die nur den Prozeß der Turbulenz allein beschreibt, dann d ¨urfen in deren Definiti-on keine meteorologischen Gr¨oßen auftreten. So wird das luftmassenbezogene Transportspektrum folgendermaßen definiert:
S Ersetzt man die Differenz durch eine Summe, so kommt dies der
” Integrati-on“ ¨uber alle Wirbel gleich, die Luftpakete durch ein bestimmtes H¨ohenniveau aufw¨arts, aber auch abw¨arts transportieren. Somit gewinnt man eine Aussage
¨uber die Beitr¨age der einzelnen Wirbelgr¨oßen zum gesamten turbulenten Mas-sentransport an Luft in einem bestimmten Niveau der atmosph¨arischen Grenz-schicht. Das so erhaltene Spektrum wird als Prozeßspektrum bezeichnet:
S Die Summe ¨uber die Beitr¨age aller Eddy-Gr¨oßen liefert die integrale Mischungs-intensit¨at:
Nach Prandtl (1925) ergibt sich die Mischungswegl¨ange als die durchschnittli-che Distanz, ¨uber weldurchschnittli-che die Luftpakete infolge der Turbulenz vertikal trans-portiert werden. Auch aus der Transilienzmatrix lassen sich der Prandtl’schen
Mischungswegl¨ange ¨ahnliche Gr¨oßen bilden [41]. Betrachtet man jeweils nur die aufw¨artsgerichteten Fl ¨usse oder nur die abw¨artsgerichteten Fl ¨usse, so kann man 2 Arten von Mischungswegl¨angen bilden [11]. Es k¨onnen so mittlere ge-richtete Mischungswege von einem Quellniveau (
”Wegtransport“ ) und Mi-schungswege zu einem Zielniveau (”Hintransport“ ) gebildet werden. Im er-steren Falle ergeben sich 2 Beziehungen f ¨ur den ”aufw¨artsgerichteten“ Mi-schungswegl"und f ¨ur den”abw¨artsgerichteten“ Mischungswegl#:
l
im letzteren Falle entsprechend:
l
Die Formeln entsprechen denen in der angegebenen Literatur, sie wurden nur f ¨ur nicht¨aquidistante Modellschichten angepaßt. So mußte z.B. bei den ersten 2 Gleichungen mit dem Verh¨altnis der Luftmassen mmi
j
(=b dem Verh¨altnis der Schichtdicken) gewichtet werden (siehe 3.4, Seite 20). Die so berechneten Mi-schungswegl¨angen entsprechen einem mit den Koeffizienten der Transilienz-matrix gewichteten Integral ¨uber alle Wirbelgr¨oßen.
Durch eine gewichtete Mittelung ¨uber die Beziehungen 3.54 und 3.55 unter Ausnutzung der Bedingungen f ¨ur die Luftmassen- und Konzentrationserhal-tung erh¨alt man f ¨ur jede Modellschicht k eine der Prandtl’schen Mischungs-wegl¨ange entsprechende Gr¨oße:
l
Wichtig ist die Ber ¨ucksichtigung der Diagonalelemente der Transilienzmatrix im Nenner der Gleichung. Die in der Arbeit von Ebert et al. 1989 angegebene Beziehung f ¨urlkber ¨ucksichtigt nicht die Besetzung der Diagonalelemente der Transilienzmatrix und ist deshalb nicht korrekt.
3.8 Verwendung des transilienten Schließungsansat-zes in einem Grenzschichtmodell
Um den transilienten Turbulenzschließungsansatz in einem atmosph¨arischen Grenzschichtmodell anwenden zu k¨onnen, m ¨ussen auch noch die Quellen und Senken atmosph¨arischer Eigenschaftsgr¨oßen ber ¨ucksichtigt werden. Dazu muß jeder Modellzeitschritt in 2 Teile aufgesplittet werden [38]:
In einem ersten Teil werden die Profil¨anderungen durch die Eigenschafts-quellen und -senken berechnet und zum Profil der jeweiligen atmosph¨arischen Eigenschaft dazuaddiert. Dieser Teil kann als
”Destabilisierung“ bezeichnet werden.
Im zweiten Teil erfolgt dann die Berechnung der Transilienzmatrix und die Berechnung der neuen Profile auf der Grundlage der
”destabilisierten“ Profile.
Dieser Teil beschreibt die Reaktion der Atmosph¨are auf die ¨Anderungen durch Quellen und Senken.
Diese Methode kann mathematisch beschrieben werden, in dem man die Glei-chung 3.1, S. 18 f ¨ur jede atmosph¨arische Eigenschaft um einige Terme folgen-dermaßen erweitert:
S
i
(t+t)= N
X
j=1 c
ij
(t;t)[S
j (t)+Q
j
(t)+Se
j
(t)]: (3.57) Dabei sindQj(t)undSej(t)die Quellen- bzw. Senkenterme der EigenschaftS. Auch bei der Berechnung der turbulenten Eigenschaftsfl ¨usse m ¨ussen erst die Randbedingungen sowie Quellen und Senken ber ¨ucksichtigt werden, bevor die Fl ¨usse mit den schon beschriebenen Gleichungen berechnet werden k¨on-nen.
Der Einfluß hoher
Pflanzenbest¨ande in der Turbulenzschließung
4.1 Formwiderstand
Str¨omt die Luft durch einen Vegetationsbestand, so treten in Bezug auf die Str¨omung 2 Ph¨anomene auf:
1. Es kommt zu einem Impulsverlust der Luft bez ¨uglich der mittleren ho-rizontalen Str¨omung. Dieser Impulsverlust kommt zustande durch den aerodynamischen Widerstand des Pflanzenbestandes.
2. Dieser Anteil an Impuls der mittleren Str¨omung wird gr¨oßtenteils in Im-puls der turbulenten Luftbewegung umgewandelt und dissipiert dann weiter bis zum vollst¨andigen Zerfall der Turbulenzk¨orper und deren Um-wandlung in W¨arme. Aber auch die Vegetationselemente selbst nehmen kinetische Energie auf, was in deren Schwingungen Ausdruck kommt.
Diese Schwingungsenergie dissipiert schließlich auch in W¨arme oder wird von den Vegetationselementen wieder an die Luft abgegeben und da-bei in kinetische Energie der turbulenten Luftbewegung umgewandelt.
Die mit dem Schwingen der Vegetationselemente verbundenen Prozesse sind kompliziert und noch wenig untersucht und werden deshalb hier nicht weiter ber ¨ucksichtigt. Außerdem ist anzunehmen, daß durch diese Vernachl¨assigung kein gr¨oßerer Fehler verursacht wird, da der wichtige Parameter des aerodynamischen Widerstandescd ¨uber Messungen be-stimmt werden muß, wobei diese Prozesse implizit mit eingeschlossen werden.
In der allgemeinsten Form l¨aßt sich die ¨Anderung der Komponenten der ho-rizontalen WindgeschwindigkeitUk =uk+vkin einer Modell-Schicht k
48
(z.B. infolge von Reibung) wie folgt beschreiben:
-x-Komponente der Windgeschwindigkeit in der Schicht k y-Komponente der Windgeschwindigkeit in der Schicht k x- und y-Komponente der geostrophischen Windgeschw.
Anderung von¨ ukw¨ahrend des Zeitschrittest Anderung von¨ vkw¨ahrend des Zeitschrittest Coriolisparameter
Modell-Zeitschritt.
Effekte der horizontale Advektion meteorologischer Gr¨oßen werden aufgrund der Beschr¨ankung des Modells auf eine Dimension (Vertikalkoordinate) ver-nachl¨assigt. Ebenfalls aufgrund der Beschr¨ankung auf eine Dimension wird horizontale Homogenit¨at des Bestandes, also auch der Struktur der B¨aume, vorausgesetzt. Mit dem Begriff Baum ist deshalb immer der
”Durchschnitts“
-Baum bezogen auf den gesamten zu modellierenden realen Bestand gemeint.
Die ¨Anderung der Windkomponenten erfolgt durch den aerodynamischen Wi-derstand der Bl¨atter, Zweige, ¨Aste und St¨amme der B¨aume. Der die Str¨omung prim¨ar verursachende Druck ist eigentlich eine Druckdifferenz welche dem horizontalen Luftdruckgradienten des Luftdruckes zwischen dem n¨achstgele-genen Bodenluftdruckmaximum und -minimum entspricht. Bei der Str¨omung durch einen Baumbestand wird dieser Druck erg¨anzt durch einen Druck, der durch den aerodynamischen Widerstand der B¨aume und die Bodenreibung verursacht wird. Dieser Druck wirkt dem Druck infolge der Bodenluftdruck-differenz entgegen und kann in Bezug auf diese als Druckverlust bezeichnet werden.
Die durch den aerodynamischen Widerstand eines K¨orpers verursachte Wider-standskraft Fw bei der Umstr¨omung durch eine horizontale atmosph¨arische Str¨omung l¨aßt sich allgemein berechnen nach:
F
Dabei istcd der aerodynamische Widerstandskoeffizient, die Luftdichte,A die Querschnittsfl¨ache des K¨orpers senkrecht zur Str¨omung und U der Be-trag der horizontalen Windgeschwindigkeit. Oft wird auch noch ein Vorfak-tor0:5benutzt, der in diesem Falle aber schon bei der Bestimmung des aero-dynamischen Widerstandskoeffizienten ber ¨ucksichtigt wurde. Im Falle eines vertikal aufgel¨osten Schichtenmodells f ¨ur einen Bestand, muß diese Kraft f ¨ur jede Schicht k bestimmt werden. Dann m ¨ussen auch die horizontale Windge-schwindigkeit und die Querschnittsfl¨ache der Vegetation senkrecht zur An-str¨omung der entsprechenden Schicht in die Gleichung eingesetzt werden. F ¨ur den aerodynamischen Widerstandskoeffizienten cd wird hier ein h¨ohenkon-stanter Wert verwendet, der auch nicht von der in einer Schicht enthaltenen Blattfl¨ache abh¨angt. Zur Bestimmung von cd werden oft Windkanalmessun-gen durchgef ¨uhrt, wobei meist die Gesamtkraft auf einen Einzelbaum gemes-sen wird, weshalb nach Gl. 4.3 nur ein einziger, damit h¨ohenkonstanter Wert
f ¨ur einen Baum bestimmt werden kann. Außerdem wird in diesem Modell der Wert f ¨urcdals zeitlich konstant angenommen, d. h. von der Windgeschwindig-keit unabh¨angig. Es gibt Messungen des aerodynamischen Widerstandes ein-zelner Vegetationselemente, welche eine Abh¨angigkeit von der Windgeschwin-digkeit belegen. Ihre ¨Ubertragung auf einen ganzen Baum oder Bestand ist jedoch mit großen Unsicherheiten verbunden, da sich die aerodynamischen Widerst¨ande der einzelnen Elemente nicht additiv verhalten ([27], S. 106ff).
Kerzenmacher 1994 gibt vertikal aufgel¨oste Werte f ¨ur den aerodynamischen Widerstand in einem Bestand an und erh¨alt Werte voncd =0:2in den unter-sten 60%der Baumh¨ohe sowiecd = 0:1f ¨ur die oberen 40%der Baumh¨ohe.
Allerdings wurden diese Werte nicht f ¨ur den in dieser Arbeit untersuchten Be-stand bestimmt und sind somit nicht ohne weiteres ¨ubertragbar. Mit zeitlich und vertikal konstanten Widerstandskoeffizienten konnten f ¨ur Simulationen der Luftstr¨omung durch Waldbest¨ande der gem¨aßigten Breiten jedoch trotz-dem gute Simulationsergebnisse erzielt werden (z.B. [46], [26]). Aus diesem Grunde wurde auch in dieser Arbeit ein konstanter aerodynamischer Wider-standskoeffizient verwendet. Der Wert voncdbetr¨agt 0.2.
Desweiteren wird bei der Bestimmung des aerodynamischen Widerstandes nach Gleichung 4.3 nicht die Oberfl¨ache der Vegetationselemente senkrecht zur Anstr¨omung verwendet, sondern die leichter bestimmbare horizontale Ober-fl¨ache. Diese kann aus Messungen der vertikalen Verteilung der kurzwelligen Strahlung im Bestand abgeleitet werden. Zwischen der vertikalen und der ho-rizontalen Oberfl¨ache bestehen Unterschiede, die aber im Wert des aerody-namischen Widerstandskoeffizientencdaufgrund der Methode zu dessen Be-stimmung ber ¨ucksichtigt werden.
F ¨ur einen Bestand muß nun noch beachtet werden, daß zwischen den B¨aum-en je nach Bestandsdichte L ¨uckB¨aum-en bestehB¨aum-en, in dB¨aum-enB¨aum-en die Luftstr¨omung auf keinen aerodynamischen Widerstand trifft. Bei bekannter Bestandsdichte wird deshalb die Fl¨acheAkder Schicht k auf die gesamte jedem Baum in der Schicht k zur Verf ¨ugung stehende horizontale Fl¨ache bezogen, d. h. es ergibt sich eine neue Fl¨acheAk folgendermaßen:
A
k
=A
k
4 w
2
tr ee;k
r 2
: (4.4)
Dabei istwtr ee;kder horizontale Baum- (Kronen- , Stamm-) durchmesser in der Schicht k undrist die Seitenl¨ange der jedem Baum im Mittel zur Verf ¨ugung stehenden Bodenoberfl¨ache in Ost-West bzw. Nord - S ¨ud - Richtung. Wegen der Voraussetzung der horizontalen Homogenit¨at des Bestandes, was auch ei-ne Gleichverteilung der B¨aume ¨uber die Fl¨ache einschließt, kann diese Grund-fl¨ache als quadratisch angenommen werden.
Dabei wird davon ausgegangen, daß die horizontale Querschnittsfl¨ache der B¨aume in jeder H¨ohe kreisf¨ormig ist. Diese Vereinfachung muß in einem ein-dimensionalen Modell getroffen werden, da man aufgrund der Voraussetzung der horizontalen Homogenit¨at Abweichungen einzelner Individuen des Be-standes nicht ber ¨ucksichtigen kann.
Die Bedeutung der f ¨ur die mittlere Geometrie des Bestandes wichtigen Gr¨oßen ist in Abb. 4.1 dargestellt. F ¨ur die Gr¨oßen zur Beschreibung der mittleren Geo-metrie der B¨aume des Bestandes wird auf Abb. 4.2 verwiesen.
Der Druckabfall beim Durchstr¨omen eines Bestandes (= Umstr¨omen der Ober-fl¨ache aller Vegetationselemente) ist proportional der Entfernung s, die die Str¨omung im Bestand zur ¨ucklegt. Die infolge des Druckabfalles von der Str¨om-ung zu leistende Arbeit erh¨alt man nach einem allgemeinen Zusammenhang durch Multiplikation des Druckabfalles pv mit dem Volumen Vol an Luft, in dem die Arbeit verrichtet wird. Diese Arbeit ist aber gleich der mittleren Wi-derstandskraftFwbeim Durchstr¨omen eines Baumes, multipliziert mit der zu-r ¨uckgelegten Wegl¨anges. F ¨ur den Druckabfall in einer Modellschicht k ergibt sich somit:
Aufgrund der vorausgesetzten horizontalen Homogenit¨at des Bestandes ist das durchstr¨omte Volumen dem zur ¨uckgelegten Weg proportional und f ¨ur ei-ne Schicht k gilt nach dem Durch- und Umstr¨omen von n B¨aumen:
Die Gr¨oße hk ist die Dicke der Modellschicht k. Damit bekommt man einen allgemeing ¨ultigen Ausdruck f ¨ur( s
Vol )
k. So ergibt sich f ¨ur den Druckabfall [46]:
p
Die lokale zeitliche Geschwindigkeits¨anderung in der atmosph¨arischen Schicht k durch den aerodynamischen Widerstand l¨aßt sich nach der folgenden Bezie-hung aus dem Druckabfallpv ;kberechnen [46]:
@U
Die horizontale Ableitung des Druckespvl¨aßt sich vereinfacht aus Gl. 4.7 be-rechnen nach:
(Ansatz nach Wilson&Shaw, genannt bei [46]). Eigentlich m ¨ußten auch noch Terme mit den Ableitungen der Luftdichte, des aerodynamischen Widerstands-koeffizienten und der horizontalen Windgeschwindigkeit ber ¨ucksichtigt wer-den. Diese m ¨ussen jedoch aufgrund des eindimensionalen Modells unter der Annahme horizontaler Homogenit¨at weggelassen werden.
Ersetzt man den Differentialquotienten auf der rechten Seite durch einen Dif-ferenzenquotienten, so erh¨alt man:
@p
und f ¨ur die ¨Anderung der horizontalen Windgeschwindigkeit@Uk
@t
Der Term A
k
r
2 ist die Projektion der Oberfl¨ache aller Vegetationselemente ei-ner Modellschicht auf die Horizontale, bezogen auf die einem Baum insgesamt zur Verf ¨ugung stehende Grundfl¨ache. Bezieht man diese Gr¨oße nun noch auf die H¨ohehk der Modellschicht, so erh¨alt man ein Maß, wie
”dicht“ die Ve-getationselemente angeordnet sind, die Vegetationsoberfl¨achendichte, die wir mit Atr ee;k bezeichnen wollen. Die vertikale Verteilung der Vegetationsober-fl¨achendichte wird im Modell berechnet nach [18]:
A
wobei ds der Stammdurchmesser, hp die mittlere Bestandsh¨ohe und zu die mittlere H¨ohe des Stammraumes ist. LAI;k bezeichnet die horizontale Pro-jektion der einseitigen Blattfl¨ache in der Schicht k, bezogen auf eine horizon-tale Projektionsfl¨ache am Waldboden, hat also die Einheitm2=m2. Die Summe von LAI;k ¨uber alle Schichten des Kronenraumes wird als einseitiger Blatt-oder Nadelfl¨achenindex LAI(leaf area index) bezeichnet. Sein Wert ist gleich der horizontalen Projektion aller Nadeloberfl¨achen eines Baumes auf die ho-rizontale Projektionsfl¨ache der Baumkrone, dividiert durch diese Projektions-fl¨ache. Eine Absch¨atzung von Ibrom (1993), genannt in [25] f ¨ur den ganzsei-tigen Blattfl¨achenindex ergab einen Wert von 20.4m2=m2. F ¨ur das Verh¨altnis zwischen diesem ganzseitigen Blattfl¨achenindex und LAIhaben Riederer et al. (1988) (ebenfalls zitiert in [25]) einen Wert von 2.74 angegeben, so daß im Modell letztlich ein Wert vonLAI=7:45verwendet wird.
Die Einf ¨uhrung einer Gr¨oßesa;k zur Ber ¨ucksichtigung des Anteiles aller an-deren Vegetationselemente (Zweige, ¨Aste usw.) an der horizontalen Projekti-on der VegetatiProjekti-onsoberfl¨ache einer Bestandsschicht geht auf Deardorff 1978 zur ¨uck [8]. Es gibt in der Literatur jedoch unterschiedliche Ansichten, wie ein solcher Parameter zu ber ¨ucksichtigen ist. In den im Rahmen dieser Arbeit durch-gef ¨uhrten Rechnungen istsa;k der prozentuale Anteil der ¨Aste und Zweige an der horizontalen Projektion der gesamten Vegetationsoberfl¨ache einer Be-standsschicht. Es wird ein mittlerer Wert von 10%Anteil an der Nadelober-fl¨ache des Baumes verwendet (sa;k = 0.1 – siehe auch [18]). Nach Deardorff beschreibtsa;kden Zuwachs der horizontalen Projektion der Vegetationsober-fl¨ache, wenn neben den Bl¨attern auch der Anteil der ¨Aste und Zweige ber ¨uck-sichtigt wird (sa;kmuß demnach gr¨oßer als 1 sein – Deardorff verwendetesa;k
= 1.1).Atr ee;km ¨ußte sich also folgendermaßen berechnen:
A
Bei eigenen Vergleichsrechnungen mit beiden Ans¨atzen konnten kaum Unter-schiede in den Simulationsergebnissen festgestellt werden, so daß die Metho-de nach Incl´an et al. bei allen weiteren Rechnungen angewenMetho-det wurMetho-de. Al-lerdings gibt es keine variierenden Angaben ¨uber die Gr¨oßesa;k, was darauf
hindeutet, daß eine meßtechnische Bestimmung dieser Gr¨oße f ¨ur verschiede-ne Vegetationsbest¨ande angebracht w¨are.wtr ee;kist der Durchmesser der von einem Baum in der Schicht k eingenommenen horizontalen Fl¨ache. Die Gr¨oße
LAI;k wird aus Gr ¨unden der numerischen Stabilit¨at des Strahlungsmodells so gew¨ahlt, daß sie f ¨ur jede Modellschicht im Bestand denselben Wert be-sitzt. Die H¨ohenabh¨angigkeit der Dichte der Vegetationsoberfl¨ache wird da-durch ber ¨ucksichtigt, daß die Abst¨ande der Modellschichten im Kronenraum so gew¨ahlt werden, daß jede Schicht dieselbe Vegetationsoberfl¨ache enth¨alt.
Ein solches Vorgehen gew¨ahrleistet die numerische Stabilit¨at bei der Behand-lung der kurz- und langwelligen StrahBehand-lung im Bestand (Ansatz nach Norman (1979), genannt in [18]). Nach der Vorgabe eines Wertes f ¨ur die
Vegetationso-x y
Baumkrone
∆max
∆r
∆r
Abbildung 4.1:Schematische Darstellung der geometrischen Parameter des idealisierten Bestan-des in der Aufsicht:max=maxim. Kronendurchmesser
berfl¨ache in jeder Schicht des Kronenraumes wird die H¨ohe der Modellschich-ten im Kronenraum iterativ durch Integration einer Beziehung f ¨ur die einsei-tige Nadeloberfl¨ache eines Baumes pro Volumeneinheit (einseieinsei-tige Nadelober-fl¨achendichte) bestimmt. Die vertikale Verteilung der Nadeloberfl¨achendich-te wurde 1986 bestimmt [12] und von Constantin 1993 durch eine Rayleigh-Verteilung, einem Spezialfall der Poisson-Rayleigh-Verteilung, angen¨ahert [4]. Diese Be-ziehung hat die Form:
An
tr ee;k
= LAI
n z
2
r
exp(
f z
r
); (4.14)
mit: z
r
= h
p z
k
h
p z
u :
Dabei ist neine Normierungsgr¨oße mitn = 5:7m undf ein Formfaktor mit f = 0:1695. Der Wert f h¨angt dabei von den Werten f ¨ur hp und zu ab, so daß das Integral vonAntr ee ¨uber die Vertikalkoordinate im Bereich von
h
p bis zu den einseitigen Blattfl¨achenindex LAI ergibt. Die Vegetationsober-fl¨ache in jeder Modellschicht beinhaltet neben der NadeloberVegetationsober-fl¨ache auch noch alle anderen Vegetationselemente (Zweige, ¨Aste, Stamm), was durch die Gr¨oße
Stamm Krone
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789 12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789 12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789 12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789 12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789 12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789 12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789
hp
zm
zu ds
dm dt
Abbildung 4.2:Schematische Darstellung der geometrischen Parameter eines Modellbaumes in der Seitenansicht. Es bedeuten:dt- Kronendurchmesser in H ¨ohe des Kronenda-ches,dm- maximaler Kronendurchmesser,ds- Stammdurchmesser,hp- H ¨ohe des Bestandes,zm- H ¨ohe, in der der maximale Kronendurchmesser erreicht wird,zu - H ¨ohe des Stammraumes
s
a [m
2
=m 2
]ber ¨ucksichtigt wird. Die Anwendung von Gleichung 4.11 zur Be-rechnung der Windgeschwindigkeit im Bestand kann jedoch zu numerischen Problemen f ¨uhren, wenn man nicht die einzelnen Komponenten der Windge-schwindigkeit, sondern nur den Betrag betrachtet, da dann unter Umst¨anden ein negativer Betrag der Windgeschwindigkeit auftreten kann. Das kann z.B.
notwendig werden, wenn man keine Angaben ¨uber die geostrophische Wind-geschwindigkeit hat und so die Windrichtungs¨anderungen infolge des Zusam-menspiels von Coriolis- und Reibungs- bzw. Widerstandskraft nicht berechnen kann.
Bemerkung:Wenn nur der Betrag der Windgeschwindigkeit betrachtet wird, k¨onnen die zweiten Terme auf der rechten Seite der Gleichungen 4.1 und 4.2 weggelassen werden, da die Wirkung der Corioliskraft nur in einer Windrich-tungs¨anderung und nicht in einer ¨Anderung des Betrages der Windgeschwin-digkeit zum Ausdruck kommt (”Scheinkraft“), wie man durch Berechnung der kinetischen Energie vor und nach dem Zeitschritttnachpr ¨ufen kann.
Um das beschriebene Problem zu umgehen, wurde von Stull et al. (1993) eine andere Vorgehensweise vorgeschlagen, bei der die obige Gleichung in ihrer integrierten Form verwendet wird [43] und man erh¨alt f ¨ur die Komponente
Höhe in m
Baumoberflächendichte in m²/m³
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0 10 20 30 40 50
hp
zu
Höhe in m
0 10 20 30 40 50
0 2 4 6 8
hp
zu
rel. Fläche in m²/m² cumulative Baumoberfläche
Abbildung 4.3:Vertikale Verteilung der Baumoberfl¨achendichte und der cumulativen Baumober-fl¨ache f ¨ur den F1-Bestand im Solling – die grau unterlegten Bereiche kennzeichnen den Kronenraum
der Windgeschwindigkeit in Richtung der x-Koordinateuk:
u
k
= 0:5c
d A
tr ee;k u
k (t)U
k (t)t
1+0:5c
d A
tr ee;k U
k (t)t
: (4.15)
Eine Herleitung findet sich bei Incl´an et al. [18]. Diese Beziehung gilt ana-log auch f ¨ur die Komponente der Windgeschwindigkeit in Richtung der y-Koordinatevk. Sie l¨ost das beschriebene Problem: Die ¨Anderung des Betra-ges der horizontalen WindBetra-geschwindigkeitUkergibt sich unter Anwendung des Satzes des Pythagoras aus den ¨Anderungen der Komponenten in x- und y-Richtung. Damit erh¨alt man f ¨urUk, die der Gl. 4.15 ¨ahnelt, nur daß auf der rechten SeiteukdurchUkersetzt werden muß. So ergibt sich alsojUkjdurch Multiplikation des Betrages der horizontalen WindgeschwindigkeitUk mit ei-nem Faktor, der immer kleiner oder gleich 1ist, so daß schließlich Uk nicht mehr negativ werden kann.