Möglichkeiten aus einer Menge von n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen zu bilden, wenn n ≥ k gilt

Seinbeliebig. Induktion überk:

Induktionsanfang. Die Aussage gilt fürk= 0: Es gibt genau eine Teilmenge mit 0 Elementen nämlich die leere Menge. Ferner gilt ⁿ₀

= 1 für beliebigesn.

Induktionsschluss. Wir zeigen, dass immer wenn die Aussage für ein beliebigeskgilt, gilt sie auch fürk+ 1, solangek+ 1≤n: Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebigeskmitk+ 1≤n.

Jede derk-elementigen Teilmengen muss um ein Element vergrößert werden. Für jede dieser Mengen gibt esn−kElemente der Grundmenge, die noch nicht Element der Menge sind und daher zur Vergrößerung hinzugenommen werden können.

Allerdings kann jede der neuen, vergrößerten Teilmengen mitk+ 1 Elementen insgesamt aufk+ 1 Arten aus einerk-elementigen Teilmenge durch Hinzunahme eines weiteren Elements entstanden sein.

Es gibt also n k

·n−k

k+ 1 k-elementige Teilmengen zu einer beliebigenn-elementigen Menge. n

Wiebke Petersen math. Grundlagen 12

direkter Beweis indirekter Beweis vollständige Induktion

Beweis durch vollständige Induktion

Satz

Es gibt

ⁿ_k

Möglichkeiten aus einer Menge von n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen zu bilden, wenn n

≥

k gilt.

Seinbeliebig. Induktion überk:

Induktionsanfang. Die Aussage gilt fürk= 0: Es gibt genau eine Teilmenge mit 0 Elementen nämlich die leere Menge. Ferner gilt ⁿ₀

= 1 für beliebigesn.

Induktionsschluss. Wir zeigen, dass immer wenn die Aussage für ein beliebigeskgilt, gilt sie auch fürk+ 1, solangek+ 1≤n: Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebigeskmitk+ 1≤n.

Jede derk-elementigen Teilmengen muss um ein Element vergrößert werden. Für jede dieser Mengen gibt esn−kElemente der Grundmenge, die noch nicht Element der Menge sind und daher zur Vergrößerung hinzugenommen werden können.

Allerdings kann jede der neuen, vergrößerten Teilmengen mitk+ 1 Elementen insgesamt aufk+ 1 Arten aus einerk-elementigen Teilmenge durch Hinzunahme eines weiteren Elements entstanden sein.

Es gibt also n k

·n−k

k+ 1 k-elementige Teilmengen zu einer beliebigenn-elementigen Menge. n

direkter Beweis indirekter Beweis vollständige Induktion

Beweis durch vollständige Induktion

Satz

Es gibt

ⁿ_k

Möglichkeiten aus einer Menge von n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen zu bilden, wenn n

≥

k gilt.

Seinbeliebig. Induktion überk:

Induktionsanfang. Die Aussage gilt fürk= 0: Es gibt genau eine Teilmenge mit 0 Elementen nämlich die leere Menge. Ferner gilt ⁿ₀

= 1 für beliebigesn.

Induktionsschluss. Wir zeigen, dass immer wenn die Aussage für ein beliebigeskgilt, gilt sie auch fürk+ 1, solangek+ 1≤n: Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebigeskmitk+ 1≤n.

Jede derk-elementigen Teilmengen muss um ein Element vergrößert werden. Für jede dieser Mengen gibt esn−kElemente der Grundmenge, die noch nicht Element der Menge sind und daher zur Vergrößerung hinzugenommen werden können.

Allerdings kann jede der neuen, vergrößerten Teilmengen mitk+ 1 Elementen insgesamt aufk+ 1 Arten aus einerk-elementigen Teilmenge durch Hinzunahme eines weiteren Elements entstanden sein.

Es gibt also n k

·n−k

k+ 1 k-elementige Teilmengen zu einer beliebigenn-elementigen Menge. n

Wiebke Petersen math. Grundlagen 12

direkter Beweis indirekter Beweis vollständige Induktion

Beweis durch vollständige Induktion

Satz

Es gibt

ⁿ_k

Möglichkeiten aus einer Menge von n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen zu bilden, wenn n

≥

k gilt.

Seinbeliebig. Induktion überk:

Induktionsanfang. Die Aussage gilt fürk= 0: Es gibt genau eine Teilmenge mit 0 Elementen nämlich die leere Menge. Ferner gilt ⁿ₀

= 1 für beliebigesn.

Induktionsschluss. Wir zeigen, dass immer wenn die Aussage für ein beliebigeskgilt, gilt sie auch fürk+ 1, solangek+ 1≤n: Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebigeskmitk+ 1≤n.

Jede derk-elementigen Teilmengen muss um ein Element vergrößert werden. Für jede dieser Mengen gibt esn−kElemente der Grundmenge, die noch nicht Element der Menge sind und daher zur Vergrößerung hinzugenommen werden können.

Allerdings kann jede der neuen, vergrößerten Teilmengen mitk+ 1 Elementen insgesamt aufk+ 1 Arten aus einerk-elementigen Teilmenge durch Hinzunahme eines weiteren Elements entstanden sein.

Es gibt also n k

·n−k

k+ 1 k-elementige Teilmengen zu einer beliebigenn-elementigen Menge. n

direkter Beweis indirekter Beweis vollständige Induktion

Beweis durch vollständige Induktion

Satz

Es gibt

ⁿ_k

Möglichkeiten aus einer Menge von n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen zu bilden, wenn n

≥

k gilt.

Seinbeliebig. Induktion überk:

Induktionsanfang. Die Aussage gilt fürk= 0: Es gibt genau eine Teilmenge mit 0 Elementen nämlich die leere Menge. Ferner gilt ⁿ₀

= 1 für beliebigesn.

Induktionsschluss. Wir zeigen, dass immer wenn die Aussage für ein beliebigeskgilt, gilt sie auch fürk+ 1, solangek+ 1≤n: Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebigeskmitk+ 1≤n.

Jede derk-elementigen Teilmengen muss um ein Element vergrößert werden. Für jede dieser Mengen gibt esn−kElemente der Grundmenge, die noch nicht Element der Menge sind und daher zur Vergrößerung hinzugenommen werden können.

Allerdings kann jede der neuen, vergrößerten Teilmengen mitk+ 1 Elementen insgesamt aufk+ 1 Arten aus einerk-elementigen Teilmenge durch Hinzunahme eines weiteren Elements entstanden sein.

Es gibt also n k

·n−k

k+ 1 k-elementige Teilmengen zu einer beliebigenn-elementigen Menge. n

Wiebke Petersen math. Grundlagen 12

direkter Beweis indirekter Beweis vollständige Induktion

Beweis durch vollständige Induktion

Satz

Es gibt

ⁿ_k

Möglichkeiten aus einer Menge von n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen zu bilden, wenn n

≥

k gilt.

Seinbeliebig. Induktion überk:

Induktionsanfang. Die Aussage gilt fürk= 0: Es gibt genau eine Teilmenge mit 0 Elementen nämlich die leere Menge. Ferner gilt ⁿ₀

= 1 für beliebigesn.

Induktionsschluss. Wir zeigen, dass immer wenn die Aussage für ein beliebigeskgilt, gilt sie auch fürk+ 1, solangek+ 1≤n: Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebigeskmitk+ 1≤n.

Jede derk-elementigen Teilmengen muss um ein Element vergrößert werden. Für jede dieser Mengen gibt esn−kElemente der Grundmenge, die noch nicht Element der Menge sind und daher zur Vergrößerung hinzugenommen werden können.

Allerdings kann jede der neuen, vergrößerten Teilmengen mitk+ 1 Elementen insgesamt aufk+ 1 Arten aus einerk-elementigen Teilmenge durch Hinzunahme eines weiteren Elements entstanden sein.

Es gibt also n

·n−k

k-elementige Teilmengen zu einer beliebigenn-elementigen Menge.

direkter Beweis indirekter Beweis vollständige Induktion

Im Dokument Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Beweisverfahren (Seite 36-42)