M i n i s t e r i u m f ü r S c h u l e u n d W e i t e r b i l d u n g d e s L a n d e s N o r d r h e i n - W e s t f a l e n
Lernaufgaben Mathematik
Grundschule
I. Übersicht: Mathematik
Bereich: Daten, Häufigkeiten, Wahr- scheinlichkeiten
Lernaufgabe: Zufallsexperiment
„Zahlen ziehen und addieren“
Arbeitsaufträge
Verknüpfung zu anderen Fächern:
Methoden:
Gemeinsames Lernen
Sozialform:
Partnerarbeit Gruppengespräch
Medien:
3 Blätter mit 5 Aufgaben
3 weiße, 3 graue und 3 gepunktete Zahlenkarten Forschertagebuch (bzw. Blätter)
Bezüge zur Lebenswirklichkeit:
Kenntnisse/Fertigkeiten:
Die Schülerinnen und Schüler
verfügen über Kenntnisse und Fertigkeiten beim schnellen Kopfrechnen im ZR bis 100.
entdecken und beschreiben Beziehungen zwischen Zahlen … mit eigenen Worten.
kennen die Begriffe „wahr“ und „falsch“, um Aussa-gen einen Wahrheitswert zuzuweisen.
kennen die Bedeutung von Begriffen zur Beschrei-bung der Eintrittswahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen (sicher, wahrscheinlich, nicht möglich).
verfügen bereits über erste Erfahrungen mit einfa-chen Zufallsexperimenten (z. B. Drehen mit Glücks-rädern, Würfeln mit einem Würfel).
Bereich des Faches: Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten Die Schülerinnen und Schüler erheben Daten und stellen sie unterschiedlich dar; sie bewerten sie in Bezug auf konkrete Fragestellungen und schätzen die Wahrscheinlichkeit einfacher Ereignisse ein.
Vertiefung des Wissens:
Weiterführende Aufgaben zu Eintrittswahrscheinlichkeiten zum bekannten Zufallsexperiment
Bestimmung der möglichen Ereignisse und Eintrittswahrscheinlichkeiten bei anderen komplexeren Zufallsexperimenten
Überprüfung der Kompetenzen:
Erwartete Lernergebnisse:
Die Schülerinnen und Schüler
geben mögliche Ziehungen mit den dazugehörigen Summen an. (AB I).
weisen Aussagen zur Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereig-nissen, deren Wahrheitsgehalt nach Bearbeitung der voran-gegangenen Aufgaben unmittelbar auf der Hand liegt, die Wahrheitswerte „wahr“ oder „falsch“ zu. (AB I)
ermitteln aufgrund erkannter Zahlbeziehungen nicht nur die kleinste und die größte mögliche Summe, sondern auch alle anderen möglichen Summen. (AB II)
finden zu vorgegebenen Summen mögliche Ziehungen.
(AB II)
weisen Aussagen zur Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereig-nissen, deren Wahrheitsgehalt erschlossenen werden muss, die Wahrheitswerte „wahr“ oder „falsch“ zu und finden zu vor-gegebenen Aussagen passende Beispiele. (AB II).
entwickeln aufgrund erkannter Zahlbeziehungen Strategien, um zu vorgegebenen Summen alle möglichen Ziehungen zu finden. (AB III)
geben nicht nur eine Möglichkeit an, wie die Karten entspre-chend einer Vorgabe mit den Ziffern 1 bis 9 beschriftet wer-den können, sondern begrünwer-den auch, warum es mehrere Möglichkeiten gibt. (AB III)
Übergreifende Kompetenzen:
Wahrnehmen und Kommunizieren: Schülerinnen und Schüler lernen, eigene Beobachtungen, Einschätzungen und Überlegungen in unterschiedlicher, aber angemessener Wei-se anderen mitzuteilen.
Analysieren und Reflektieren: Schülerinnen und Schüler lernen neue Erkenntnisse mit vorhandenen Kenntnissen und Mustern zu vergleichen, um zu neuen Bewertungen und Ein-schätzungen zu kommen.
Arbeits- und Sozialverhalten:
Kooperationsfähigkeit:
Die Schülerinnen und Schüler stimmen sich … ab, bringen Vorschläge zur Bearbeitung und Lösung von Aufgaben ein und übernehmen Arbeit.
Prozessbezogene Kompetenzerwartungen:
Die Schülerinnen und Schüler
• testen Vermutungen anhand von Beispielen und hinterfragen, ob ihre Vermutungen, Lösungen, Aussagen, etc. zutreffend sind. (überprüfen) (Ar-gumentieren)
• bestätigen oder widerlegen ihre Vermutungen anhand von Beispielen und entwickeln – ausgehend von Beispielen – ansatzweise allgemeine Überle-gungen oder vollziehen diese nach. (folgern) (Argumentieren)
• probieren zunehmend systematisch und zielorientiert und nutzen die Ein-sicht in Zusammenhänge zur Problemlösung. (lösen) (Problemlö-sen/kreativ sein)
• halten ihre Arbeitsergebnisse, Vorgehensweisen und Lernerfahrungen fest z. B. im Lerntagebuch (dokumentieren) (Darstellen/Kommunizieren)
• bearbeiten komplexere Aufgabenstellungen gemeinsam, treffen dabei Verabredungen und setzen eigene und fremde Standpunkte in Beziehung.
(kooperieren und kommunizieren) (Darstellen/Kommunizieren)
Inhaltsbezogene Kompetenzerwartungen:
Die Schülerinnen und Schüler
• bestimmen die Anzahl verschiedener Möglichkeiten im Rahmen einfacher kombinatorischer Aufgabenstellungen. (Wahrscheinlichkeiten) (Daten, Häu-figkeiten, Wahrscheinlichkeiten)
• beschreiben die Wahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen (z. B. mit Begriffen wie „sicher, wahrscheinlich, …“). ( Wahrscheinlichkeiten) (Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten)
Inhalt: Zufallsexperiment „Zahlen ziehen und addieren“
Anforderungsbereiche: Reproduzieren (AB I), Zusammenhänge herstellen (AB II), Verallgemeinern und Reflektieren (AB III)
Lernaufgabe/Lernarrangement: Zufallsexperiment „Zahlen ziehen und ad-dieren“
Mögliche Ereignisse eines Zufallsexperimentes bestimmen und untersuchen
Kompetenzerwartung Kompetenzerwartung
II. Aufgabenbeispiel
Mathematik
Bereich: Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten Klasse: 3/4 Schwerpunkt: Wahrscheinlichkeiten
Vorhaben: Zufallsexperiment „Zahlen ziehen und addieren“
Titel der Lernaufgabe: Zufallsexperiment „Zahlen ziehen und addieren“
Kompetenzen
Lernvoraussetzungen
Die Schülerinnen und Schüler
• verfügen über Kenntnisse und Fertigkeiten beim schnellen Kopfrechnen im ZR bis 100.
• entdecken und beschreiben Beziehungen zwischen Zahlen … mit eigenen Wor-ten.
• kennen die Bedeutung von Begriffen zur Beschreibung der Eintrittswahrschein-lichkeit von einfachen Ereignissen (sicher, wahrscheinlich, nicht möglich).
• verfügen bereits über erste Erfahrungen mit einfachen Zufallsexperimenten (z. B. Würfeln mit einem Würfel, Werfen einer Münze).
Kompetenzerwartungen
Prozessbezogene Kompetenzerwartungen Die Schülerinnen und Schüler
• testen Vermutungen anhand von Beispielen und hinterfragen, ob ihre Vermu-tungen, Lösungen, Aussagen etc. zutreffend sind. (überprüfen) (Argumentie-ren)
• bestätigen oder widerlegen ihre Vermutungen anhand von Beispielen und ent-wickeln – ausgehend von Beispielen – ansatzweise allgemeine Überlegungen oder vollziehen diese nach. (folgern) (Argumentieren)
• probieren zunehmend systematisch und zielorientiert und nutzen die Einsicht in Zusammenhänge zur Problemlösung. (lösen) (Problemlösen/kreativ sein)
• halten ihre Arbeitsergebnisse, Vorgehensweisen und Lernerfahrungen fest, z. B. im Lerntagebuch (dokumentieren) (Darstellen/Kommunizieren)
• bearbeiten komplexere Aufgabenstellungen gemeinsam, treffen dabei Verabre-dungen und setzen eigene und fremde Standpunkte in Beziehung. (kooperieren und kommunizieren) (Darstellen/Kommunizieren)
Inhaltsbezogene Kompetenzerwartungen:
Die Schülerinnen und Schüler
• bestimmen die Anzahl verschiedener Möglichkeiten im Rahmen einfacher kom-binatorischer Aufgabenstellungen. (Wahrscheinlichkeiten) (Daten, Häufigkei-ten, Wahrscheinlichkeiten)
• beschreiben die Wahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen (z. B. mit Begrif-fen wie „sicher, wahrscheinlich, …“). (Wahrscheinlichkeiten) (Daten, Häufigkei-ten, Wahrscheinlichkeiten)
Übergreifende Kompetenzen
Wahrnehmen und Kommunizieren: Schülerinnen und Schüler lernen, eigene Beob-achtungen, Einschätzungen und Überlegungen in unterschiedlicher aber angemes-sener Weise anderen mitzuteilen.
Analysieren und Reflektieren: Schülerinnen und Schüler lernen neue Erkenntnisse mit vorhandenen Kenntnissen und Mustern zu vergleichen, um zu neuen Bewertun-gen und EinschätzunBewertun-gen zu kommen.
Sachinformation
Beim Zufallsexperiment „Zahlen ziehen und addieren“ sind 27 Ziehungen mit 7 ver-schiedenen Summen möglich, wobei die Eintrittswahrscheinlichkeit der einzelnen Summen unterschiedlich groß ist:
27 mögliche Ziehungen
147 148 157 247
149 158 167 248 257 347
159 168 249 258 267 348 357
169 259 268 349 358 367
269 359
368 369 7 mögliche
Summen
12 13 14 15 16 17 18 Anzahl der
günstigen Zie-hungen bzgl.
je-der Summe
1 3 6 7 6 3 1
Anforderungsbereiche
Anforderungsbereiche Bildungsstandards Aufgabenbeispiel AB I: Reproduzieren Die Schülerinnen und Schüler
verfügen über Grundwissen und führen Routinetätigkeiten aus.
Die Schülerinnen und Schüler geben mögliche Ziehungen mit den dazugehörigen Summen an.
Sie weisen Aussagen zur Ein-trittswahrscheinlichkeit von Er-eignissen, deren Wahrheitsge-halt nach Bearbeitung der vo-rangegangenen Aufgaben un-mittelbar auf der Hand liegt, die Wahrheitswerte „wahr“ oder
„falsch“ zu.
AB II: Zusammenhänge her-stellen
Die Schülerinnen und Schüler erkennen und nutzen Zusam-menhänge.
Die Schülerinnen und Schüler ermitteln aufgrund erkannter Zahlbeziehungen nicht nur die kleinste und die größte mögli-che Summe, sondern auch alle anderen möglichen Summen.
Sie finden zu vorgegebenen Summen mögliche Ziehungen.
Sie weisen Aussagen zur Ein-trittswahrscheinlichkeit von Er-eignissen, deren Wahrheitsge-halt erschlossen werden muss, die Wahrheitswerte „wahr“ oder
„falsch“ zu und finden zu vor-gegebenen Aussagen passen-de Beispiele.
AB III: Verallgemeinern und Reflektieren
Die Schülerinnen und Schüler führen komplexe Tätigkeiten wie Strukturieren, Entwickeln von Strategien, Beurteilen und Ver-allgemeinern aus.
Die Schülerinnen und Schüler entwickeln aufgrund erkannter Zahlbeziehungen Strategien, um zu vorgegebenen Summen alle möglichen Ziehungen zu finden.
Sie geben nicht nur eine Mög-lichkeit an, wie die Karten ent-sprechend einer Vorgabe mit den Ziffern 1 bis 9 beschriftet werden können, sondern be-gründen auch, warum es meh-rere Möglichkeiten gibt.
Ausgestaltung der Lernaufgabe
Experiment „Zahlen ziehen und addieren“
1 4 7
Aufgabe 1: (AB I)
Schreibe 4 mögliche Ziehungen mit Summe auf.
Summe
Ö
3 6 9 2 5 8
Ziehe eine weiße, eine graue und eine gepunktete Karte.
Schreibe die 3 gezogenen Zahlen auf und berechne ihre Summe.
Lege die 9 Karten verdeckt auf den Tisch und mische sie.
Ö
Ö
Ö
Aufgabe 2:
a. Welches ist die kleinste mögliche Summe? Begründe. (Blatt)
(AB II) b. Welches ist die größte mögliche Summe? Begründe. (Blatt)
(AB II)
c. Welche Summen kannst du bei den Ziehungen erhalten? Schreibe alle auf.
(AB II)
d. Zur Summe 14 gibt es 6 mögliche Ziehungen. Finde mindestens 3 mögliche
Zie-hungen. (AB II bzw. AB III)
e. Finde alle 3 möglichen Ziehungen zur Summe 17. (AB III)
Aufgabe 3: (AB I/II)
Ist die Aussage wahr oder falsch. Trage w (wahr) oder f (falsch) ein.
w oder f a. Es ist möglich, 5 als Summe zu erhalten.
b. Es ist sicher, eine Summe größer als 20 zu erhalten.
c. Es ist unmöglich, die 10 als Summe zu erhalten.
(AB I) w oder f d. Es ist unmöglich, eine gerade und zwei ungerade Zahlen zu ziehen.
e. Es ist möglich, aber nicht sicher, zwei gerade und eine ungerade Zahl zu ziehen.
f. Es ist möglich, aber nicht sicher, eine ungerade Summe zu erhalten.
(AB II)
Aufgabe 4: (AB II)
Gib jeweils ein passendes Beispiel für eine Ziehung an.
Es ist möglich, drei ungerade Zahlen zu ziehen. Beispiel:
Es ist nicht sicher, drei ungerade Zahlen zu ziehen. Beispiel:
Aufgabe 5: (AB III)
Trage die Zahlen von 1 bis 9 so ein, dass bei Ziehungen als kleinste Summe 6 und als größte Summe 24 möglich ist.
Es gibt mehrere Möglichkeiten. Begründe. (Blatt)
Lösungshinweise zu den Aufgaben 2, 3 und 4 Aufgabe 2:
a. Die kleinste Summe ist 12.
Sie ergibt sich durch Addition der drei jeweils kleinsten Zahlen: 1 + 4 + 7 = 12.
b. Die größte Summe ist 18.
Sie ergibt sich durch Addition der drei jeweils größten Zahlen: 3 + 6 + 9 = 18.
c. Da die Zahlen von 1 bis 9 jeweils um 1 größer werden, kommen alle Zahlen zwi-schen 12 und 18 als Summen vor.
d. Die 6 möglichen Ziehungen zur 14 sind:
149, 158, 167, 248, 257, 347
e. Die 3 möglichen Ziehungen zur 17 sind:
269, 359, 368
Aufgabe 3:
a. Antwort: f, da 12 die kleinste Summe ist, ist es nicht möglich, 5 als Summe zu er-halten.
b. Antwort: f, da alle möglichen Summen zwischen 12 und 18 liegen und damit klei-ner als 20 sind.
c. Antwort: w, da 12 die kleinste mögliche Summe ist, kann man 10 unmöglich als Summe erhalten.
d. Antwort: f, da z. B. die Ziehung 259 (gerade, ungerade, ungerade) möglich ist.
e. Antwort: w, da z. B. die Ziehung 247 (zwei gerade Zahlen, eine ungerade Zahl) möglich ist. Da aber auch z. B. drei gerade Zahlen gezogen werden könnten (248), ist eine Ziehung von zwei geraden Zahlen und einer ungeraden Zahl nicht sicher.
f. Antwort: w, denn eine ungerade Summe ist möglich (Summen: 13, 15, 17). Eine ungerade Summe ist aber nicht sicher, denn es könnten auch 3 Zahlen gezogen werden, die eine gerade Summe ergeben (z. B. 1, 6, 9 mit der Summe 16).
Aufgabe 4:
Es ist möglich, drei ungerade Zahlen zu ziehen. Beispiel:159 Es ist nicht sicher, drei ungerade Zahlen zu ziehen. Beispiel: 248 Aufgabe 5:
2 3 3 1 2
9 7 8 6 4 5
7 8 9
4 5 6 1 2 3
4 6 2
7 3 5 1 9 8
(3) (2)
(1)
1
4 5 6 7 8 9
Es können
- die Spalten (1) oder - die Zeilen (2) oder
- erst die Spalten und dann noch die Zahlen in jeder Spalte (3) oder
- erst die Zeilen und dann noch die Zahlen in jeder Zeile vertauscht werden.
Erwartete Lernergebnisse
Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die Aufgaben selbstständig in Partnerar-beit.
Durch die Bereitstellung des konkreten Materials (Karten) haben die Schülerinnen und Schüler bei einigen Aufgaben die Möglichkeit, die Aufgaben konkret handelnd zu lösen, können aber auch auf die Durchführung von Ziehungen ganz verzichten.
Sie stellen Vermutungen an, bestätigen oder widerlegen diese, nutzen Einsicht in Zusammenhänge zur Problemlösung und setzen sich mit den Meinungen anderer kritisch auseinander.
Hinweise zum Unterricht
Zufallsexperimente mit Würfeln und Münzen sind allseits bekannt. Für die Schülerin-nen und Schüler ist es deshalb umso reizvoller, ein anderes kindgemäßes Zufallsex-periment kennen zu lernen und Erfahrungen damit zu sammeln.
Da die Aufgaben 3 bis 5 nur dann erfolgreich bearbeitet werden können, wenn das Wissen aus den Aufgaben 1 und 2 zur Verfügung steht, ist es sinnvoll, den Schüle-rinnen und Schülern zunächst nur die beiden ersten Aufgaben zur Bearbeitung zu geben.
Indem die Aufgaben in Partnerarbeit bearbeitet werden, haben die Partner nicht nur die Chance zum Lernen mit- und voneinander; auf diese Weise können durch die gegenseitige Kontrolle auch leicht kleine Flüchtigkeitsfehler beim Rechnen aufge-deckt werden, die ansonsten schnell zu falschen Schlussfolgerungen verleiten könn-ten.
Wichtig ist es, die Partnergruppen vorab ausdrücklich darauf hinzuweisen, dass sie bei einigen Aufgaben (Aufgabe 2a, Aufgabe 2b, Aufgabe 5) nicht vergessen, ihre Begründungen aufzuschreiben.
Da das vorliegende Zufallsexperiment recht einfach ist und auch auf dem Arbeitsblatt erklärt wird, kann auf eine Vorstellung im Klassenverband vor Arbeitsbeginn verzich-tet werden.
Ansonsten würden auch schon mögliche Ziehungen verraten, die erst in Aufgabe 1 notiert werden sollen.
Schnell arbeitende Schülerinnen und Schüler können in Analogie zu den Aufgaben 2d und 2e noch zu anderen Summen alle möglichen Ziehungen ermitteln oder aufge-fordert werden, alle möglichen Ziehungen mit ihren Summen möglichst systematisch zu bestimmen.
Bevor die Aufgaben 3 bis 5 vorgelegt werden, sollten die Schülerinnen und Schüler – wie oben bereits angedeutet – in Kleingruppengesprächen oder im Klassengespräch sich gegenseitig erklären, wie sie die kleinste und größte Summe jeweils ermittelt und wie sie des Weiteren alle möglichen Summen bestimmt haben.
Mit diesem Hintergrundwissen lassen sich dann den Aussagen a bis c der Aufgabe 3 ganz leicht die Wahrheitswerte „wahr“ und „falsch“ zuweisen, während die Beurtei-lung der Aussagen d bis e schlussfolgerndes Denken voraussetzt.
Oft kommt es in der Mathematik darauf an, passende Beispiele bzw. Gegenbeispiele angeben zu können. Dies wird durch die Bearbeitung von Aufgabe 4 angebahnt. Da die Angabe jeweils eines Beispiels zur erfolgreichen Bearbeitung der Aufgabe ge-nügt, sich aber viele Beispiele angeben lassen, darf im Unterricht nicht versäumt werden, die von den Schülerinnen und Schülern gefundenen Beispiele zusammenzu-tragen.
Um das Erkennen und Nutzen von Zahlbeziehungen fördern zu können, geht es bei Aufgabe 5 darum, die Zahlen von 1 bis 9 anders anordnen zu müssen als dies bei der vorgegebenen Beschriftung der Karten der Fall war. Diese Aufgabe kann zudem Anlass sein für weitere Variationen der Beschriftung der Karten und entsprechend zur Förderung der Kreativität der Schülerinnen und Schüler beitragen.
Vertiefung des Wissens:
Zur Vertiefung des Wissens sind weiterführende Aufgaben mit den vorgegebenen Karten denkbar, wie z. B.
(1)
Finde alle möglichen Ziehungen.
Versuche, die Ziehungen mit Summe so übersichtlich aufzuschreiben, dass du keine vergisst.
(2)
Stell dir vor, du spielst mit einigen Freunden das Spiel „Zahlen ziehen und addieren“.
Jeder Mitspieler darf sich vor Spielbeginn eine der möglichen Summen auswählen.
Nach jeder Ziehung erhält der Spieler einen Punkt, dessen Summe gezogen worden ist.
Sieger ist, wer nach 30 Ziehungen die höchste Punktzahl erreicht hat.
Welche Summe würdest du auswählen?
Ich würde die wählen. Begründe deine Wahl. (Blatt) (3)
Ist die Aussage wahr oder falsch. Trage w (wahr) oder f (falsch) ein.
Begründe deine Entscheidung. (Blatt)
w oder f a. Es ist wahrscheinlicher, eine gerade Zahl als Summe zu erhalten als eine
ungerade.
b. Es ist gleich wahrscheinlich, eine Summe größer als 16 zu erhalten oder die Summe 15.
Zur Vertiefung des Wissens kann auch die Bestimmung der möglichen Ereignisse und Eintrittswahrscheinlichkeiten bei anderen komplexeren Zufallsexperimenten (z. B. dreimaliges Werfen einer Münze, Urnenexperimente mit mehrmaligem Ziehen) beitragen.
Material und Anhang
• 3 Arbeitsblätter mit 5 Aufgaben
• 5 Kopiervorlagen zum Anfertigen der Karten Ziffern 1, 2 und 3: Vorderseite, Rückseite bleibt weiß Ziffern 4, 5 und 6: Vorderseite, Rückseite
Ziffern 7, 8 und 9: Vorderseite, Rückseite
Hinweis:
Damit die Ziffern nicht durchschimmern, sollte Fotokopierpapier 160 g oder höher benutzt wer-den.
Ein Kopieren der Rückseiten ist notwendig, damit auch nach dem Umdrehen der Karten die drei Sorten (weiß, grau und gepunktet) noch zu unterscheiden sind.