Localisation via partition of unity a posteriory error control

9.5 Implicit A Posteriori Error Control

9.5.1 Localisation via partition of unity a posteriory error control

C-Funken SISC (2000) 1465-1484 Residual representation formula

R(V) = X

T∈T`

RTv dx+ X

E∈E`

REv ds 96

KAPITEL 9. A POSTERIORI FEHLERKONTROLLE9.5. IMPLICIT A POSTERIORI ERROR CONTROL based on some shape-regular triangulationT^`of Ω into simplices (e.g. triangles etc.) and associated nodal basis functions{ϕz|z∈ N^`} with respect to all nodes N^` which form a partitition of unity, i.e.P

z∈N`ϕz= 1 in Ω.

N.B.R(ϕz) = 0 for allz∈ N^`\ΓD and

H_D¹(ωz) :={w∈H¹(ωz)|w= 0 along ΓD∩∂ωz}

with|ΓD∩∂ωz|>0 forz∈ N^`\ K^` (at least on sideE with vertexz belongs to ΓD).

Definition

Rz∈Vz:=

H¹(ωz)/R forz∈ K^` H_D¹(ωz) forz∈ N^`\ K^` byRz(w) :=R( ϕzw

|{z}

∈V=H_D¹(Ω)

) for allw∈Vz.

az(v, w) :=

Ω

ϕzDv·Dw dx Scalar Product onVz with norm

k| · k|^z:= (az(·,·))¹² .| · |^H¹^(ωz)

(but not equivalent).

Bemerkungen

1. Completion of (Vz, az) results in Hilbert space

Wz=







nv∈H_loc¹ (ωz)/R

kϕz¹²Dvk^L²^(ωz)<∞o

forz∈ K^` n

v∈H_loc¹ (ωz)

kϕz¹²DvkL²(ωz)<∞ ∧ v= 0 along ΓD∩(∂ωz)o

forz∈ H^`\ K^` with extended scalar productaz and normk| · k|^z.

2. Vz is dense inWz and Rz is uniquely extended toW₂^∗. It’s important to see thatRz(1) = 0 forz∈ K^` and soRz ∈W_z^∗.

Definition

ηz :=kRzk^Vz^∗

η`:=

z∈N`

η_z²

Satz 9.12. 1. Feasibility:

ηz=kRzk^Wz^∗ =k|ezk|^z<∞for Riesz representation ez of Rz∈W_z^∗ w.r.t.az. 2. Reliability:

k|Rk|∗:= sup

v∈V\{0}

R(v)

kDvk^L²^(Ω) ≤ηL

9.5. IMPLICIT A POSTERIORI ERROR CONTROLKAPITEL 9. A POSTERIORI FEHLERKONTROLLE

3. Efficiency:

eta²_z. X

T∈T`

(z)η_`²(T) + X

E∈E`

(z)η`(E)² for allz∈ N^`

4. 2D,T^` right isosceles triangles

TODO

AbbildungVLoXXVIIa

thenk|Rk|∗≤η`≤2.38k|Rk|∗. Beweis:

1. Rz(ez) =az(ez, ez) =k|ezk|²z

⇒ kRzk^Wz^∗ ≥ ^R_k|e^z_z^(e_k|^z_z⁾ =k|ezk|^z

|Rz(v)|=|az(ez, v)| ≤ k|ezk|^z· k|vk|

⇒ kRzk^Wz^∗ ≤ k|ezk|^z 2. R(v) =P

z∈N`R(ϕzv) with

ϕzv=Rzv|^ω^z =Rz(V +R|^ω^z) if z∈ K^`, sinceRz(1) = 0

≤ kRzk^Wz^∗k|v+Rk|^z=kRzk^Wz^∗k|v+k|^z

⇒R(v)≤ X

z∈N`

η_z²

!¹₂ X

z∈N`

k|vk|²z

!¹₂

≤η`





 ˆ

Ω

z∈N`

ϕz

| {z }

|Dv|²dx







1 2

=η`kDvkL²(Ω)

3. Proof relies on weighted Poincar´e inequality: Forf ∈H_loc¹ (ωz), mina∈R

ωz

ϕz(f−a)²dx.diam(ωz)²k|fk|^z Idea of quick proof: ˆωz⊆ωz×R⊆Rⁿ⁺¹ defined as

ωz={(x, y)∈ωz×R|0< y < ϕz(x)} with Poincar´e inequality:

F ∈H¹(ˆωz) with´

ωzF dωˆz= 0 implieskFk^L²^(ˆ^ωz)≤cp(ˆωz)kDFk^L²^(ˆ^ωz)

ChooseF(x, y) :=f(x)−afor (x, y)∈ωˆz anda=

ωzϕzf dx

ωzϕzdx . 98

KAPITEL 9. A POSTERIORI FEHLERKONTROLLE9.5. IMPLICIT A POSTERIORI ERROR CONTROL

N.B.

ˆ ωz

F(x, y)dˆωz = ˆ

ωz

ˆ ϕz(x)

(f(x)−0)dy

| {z }

=ϕz(x)(f(x)−a)

dx= ˆ

ωz

ϕzf dx−a ˆ

Ω

ϕzdx= 0

Hence

ωz

ϕz(f −a)²dx=kFk²L²(ˆωz)≤cP(ˆωz) ˆ

ˆ ωz

Dxf(x)|0 ²dˆωz

| {z }

=´

ωzϕz|Df|²dx

Scaling argument shows that the constant depends on diam(ωz) and shape ofωz.

η²_z=Rz(ez) = ˆ

ωz

ϕzR_Tezdx+ ˆ

SE`(z)

ϕzR_E_`ezds forz∈ K^`, ez∈Wz and w.l.o.g.

ϕzezdx= 0

≤ kϕz¹²R_Tk^L²^(ωz)

| {z }

.h⁻z¹η`(T`(z))

kphiz²¹ezk^L²^(ωz)

+ X

E∈E`(z)

kϕz¹²R_E`kL²(E)

| {z }

=kREkL2(E)=η`(E)tr

1 2 E

kϕz1

2ezkL²(E)

| {z }

weighted trace inequality .kϕ

z2ezkL2(ωz)h⁻¹_z +kϕz¹²DezkL²(ωz)

| {z }

k|ezk|z

Poincar´e inequality :kez¹²ezkL²(ωz).k|ezk|^z·hz

. η`(T^`(z)) +η`(E^`(z)) k|ezk|

| {z }

=ηz

Ramainings details in C-Funken 2000 Bemerkung

This works in any dimension!

Proposition 9.1. (Consistency Error Estimator)We consider the casen= 2.

µ`:= min

v∈V=H₀¹(Ω)

D`u^{N C}_` −Dv

L²(Ω), u` is someCR(T^`)

≤ min

v`∈V`=P1(t`)∩V

D`u^{N C}_` −Dv`

L²(Ω)

. min

v`∈V`

h^−e1_` u^{N C}_` −v`

L²(Ω) (elementwise inverse estimates)

≈ vu utX

Edge

∂u`

∂s

L²(E)

≈ s X

Eedge

h⁻_E¹

u^{N C}_` ²_L₂_(E) .µ`

9.5. IMPLICIT A POSTERIORI ERROR CONTROLKAPITEL 9. A POSTERIORI FEHLERKONTROLLE

Beweis:

Givenu^{N C}_` , set ˆv`(z∂) :=

( 0 forz∈ N^`∩Ω

T∈T`(z)(u^{N C}_` |T)(z)

|T`(z)| forz∈ K^` and by linear interpolation ˆv`∈ V`.

w`:=u^{N C}_` −vˆ`∈CR(T^`)

kD`w`k²L²(T)≈ |T|h⁻_T²

| {z }

≈1

z∈N(T)

|(W`|^T)(z)|² kD`w`k²L²(Ω)≈ X

z∈N`

( X

T∈T`(z)

(w`|^T)(z)²

| {z }

=PJ

j=1(aj−a)²

aj= u^{N C}_` |^Tj

(z), mean of aj

TT T

TT TT

J ≈1

N.B.PJ

j=1(aj−a)²≈PJ

j=2(aj−aj−1)² Proof:

RHS=PJ

j=2((a−j−a)−(aj−1−a))²

| {z }

≤2(aj−a)²+2(aj−1−a)²

≤2PJ

j=1(aj−a)²≤4LHS

J²·LHS= XJ j=1

( Jai−

XJ k=1

| {z }

= (J−1)a_j−PJ k=1 k6=j

a_k

=PJ k=1 k6=j

(a_j−a_k)

=Pj−1 k=1

l=j(a_`−a_l−1) +PJ

k=j+1

Pk−1

l=j(a_`−a_l+1)

)²

⇒

Jai− XJ k=1

≤(J−1) XJ l=2

|a`−al−1| ·1≤RHS(J−1)³²

≤J(J−1)³²RHS

Then

kD`w`k²L²(Ω)≈ X

z∈N`

XJ j=2

(aj−aj−1)²

| {z }

≈h⁻_E¹k[^u^{N C}` ]k²L2(E)

TODO Bild

Vorlesung am 04.02.2009 100

Kapitel 10

Adaptive FEM

Loop`= 0,1, ...until termination:

T^`SOLVE→ESTIMATE →MARK & REFINET^`+1

INPUT of AFEM: coarse triangulationT⁰of bounded Lipschitz domain Ω with polygonal boundary

∂Ω into triangles (no hanging nodes). For each T ∈ T⁰, N(T)∩ K⁰ 6=∅ (one vertex is interior).

Model problem with Hilbert space V = H₀¹(Ω), scalar product a(u, v) := ´

Ω∇u∇vdx and RHS F∈V^∗given byf ∈L²(Ω).

For eachT ∈ T⁰there exists some edgeE0(T)∈ E(T) which is marked for further refinement (e.g.

one of the largest edges). Figure:

TODO Bild

Data structure in elements =n4ereads a,b,cand marksE0(T) :=conv{c4n(a), c4n(b)}.

SOLVE: Given T^` and V` := V(T^`) := P1(T^`)∩V compute u` ∈ V` with a(u`, v`) = F(v`) for all v` ∈ V`. Set p` := Du` ∈ H¹(T^`;R²) and e` := u−u` with exact (unknown) solution u of a(u,·) =F in V.

ESTIMATE:R`:=F−a(u`,·)∈V^∗ with explicit residual-based error estimator.

η_T² :=|T| · kfk²L²(T)+|T|²¹· k[P`]_E` ·ν_E`k²L²(∂T\∂Ω)

for allT ∈ T^`, where |T| ≈local mesh-sizesh²_T resp.h⁰_E. Reliability:k|e`k| ≤Crelη` forη_`²:=P

T∈T`η²_T.

Efficiency:η`≤Cef fk|e`k|+ osc` for osc`:= osc(f,T^`) :=qP

T∈T`|T| · kf−fTk²L²(T)

MARK: Given bulk parameter 0<Θ≤1 chooseM^`⊆ T^`with minimal|M|and Θη_`²≤P

T∈M`η²_T by greedy algorithm.

REFINE: Bisection of all (E`(T) :T ∈ T^`) plus closure algorithm to resolve hanging nodes:

bisec(T) w.r.t.E`(T) =conv{A, B}means: take outT =conv{A, B, C}fromT^`and corresponding data and add two new triangles with c4e equal to C, A, D and B, C, D with possibly new node D=^A+B₂ and associated reference edgesEl+1(T1) andEl+1(T2).

TODO

Bild

101

KAPITEL 10. AFEM Until no hanging node in current (possibly non regular) triangulation do

bisection of allT in current triangulation with hanging node Output: Sequence of triangulationsT^` withV0⊆V1⊆V2⊆...⊆V. Bemerkungen (Possible refinements)

1. NVB terminates after a finite number of steps andT^l+1 is the coarsest regular triangulation s.t. all (E`(T)|T ∈ T^`) is bisected and givenT ∈ T^`,T^l+1|^T :={K ∈ T^l+1|K ⊆T} looks as depicted:

TODO Bild

2. E`(T) does depend on T but not on`(despite T ∈ T^`):

∀m, k, T ∈ T^m∩ T^k :Em(T) =Ek(T) There is no need to refer to level`in the data structure.

3. For eachK∈ T^`,T^`|^Kis the affine image of a triangulation ofTref = conv{(0,0),(1,0),(0,1)} into right isosceles triangles and hence the number of interior angles in T^` is finite. In case (E0(T)|T ∈ T⁰) satisfies some extra condition, theL²-Projection Π`:V →V` is H¹-stable.

(Const. Approx. (2004))

4. The quotient _|T_`^|T_|₊^l+1_|M^|_`_| equals one in case of no hanging nodes in NVB, e.g.

TODO Bild

but may be arbitrary large es well:

TODO Bild

Reference edges are diagonales in thoses pictures

However, Binev-Dahmen-DeVare proved (2004) that|T^`| − |T⁰| ≤cPL−1

`=0 |M^`| holds for all L∈Nand constantc which depends onT⁰ only.

Bemerkung (Error Reduction) f ≡1,Ω =]0,1[² andT⁰,M⁰=T⁰

TODO Bild

Prove thatu0=u1=u2.

This is a counter example for error reduction and shows thatk|u−u2k| 6<k|u−u0k| is possible:

No satturation.

102

KAPITEL 10. AFEM Bemerkung (Konvergenz) In general, S

V` =: V_∞ 6=V. There is no density that guarantees convergence lim`→∞u` =:u_∞ exists and is the Riez representation ofF|^V∞ in V_∞, i.e.

llim→∞k|u−u`k|=k|u−u_∞k|= dist(u, V_∞)6= 0

Moreover, even ifV_∞=V, there convergence speed of (k|u−u`k|)_l∈^N0 &0 can be arbitrarily slow.

Lemma 10.1. (Estimator Reduction)

∃0< %(Θ)<1,Λ>0 :∀`, k∈N_>0:η`+k≤%(Θ)η`+ ΛkP`+k−P`k^L²^(Ω) Beweis:

Fork= 1:

ForK∈ M^`, T ∈ T^`+1|^K, ^|T_|_K^|_|= 2^−mfor some m∈N, hence

|T| · kfk²L²(T)≤ 1

2|K| · kfk²L²(T)

and so

T∈Tl+1|K

|T| · kfk²L²(T)≤ 1

2|K| · kfk²L²(K)

⇒ X

T∈Tl+1

|T|k˙fk²L²(T)≤1 2

K∈M`

|K| · kfk²L²(K)+ X

K∈T`\M`

|K| · kfk²L²(K)

TODO Hier geht’s weiter

Aquilibriumsfehlersch¨¨ atzer (Konstruktion in 2D nach Ladev`eze) Modellproblem: Poisson−∆u=f in Ω⊆R²,u= 0 auf ΓD,∂vu=g auf ΓN

∀v∈V :a(u, v) =F(v), e=u−u`

∀v∈V :a(e, v) =a(u, v)−a(u`, v) =F(v)−a(u`, v)

| {z }

Res

k|ek|:= sup_06=v∈V_` ^|^a(e,v)_k|_v_k|^| = sup_06=v∈V ^|^F(v)_k|⁻_v^a(u_k|^`^,v)^| Ziel: Zerlegung in Beitr¨age von einzelnen Elementen Anforderungen:

Sei{gT :T ∈ T^`}, sodassgT ≈ ∇^T · ∇u|^T auf∂T (Stetigkeit)∇^T ·u|^T +vT⁰·u|^T⁰ = 0 auf∂T∩∂T⁰ somitgT +gT⁰ = 0 auf∂T∩∂T⁰

Auf Neumann-Rand:gT =g auf∂T∩ΓN

⇒f¨ur alle v∈V :´

ΓNgvds=P

T∈T`

∂TgTv ds Aufspaltung der Elementanteile:

F(v)−a(u`, v) =P

T∈T`{(f, v)T−aT(u`, v)}⁻+´

ΓNgv dsf¨ur allev∈V mitaT(u, v) :=´

T∇u∇v dx,(f, v)T :=

Tf v dx

(1)F(v)−a(u`, v) =P

T∈T`{(f, v)T −aT(u`, v) + ˆ

∂T

gTv ds

| {z }

=:RT lokales Residuum

}

Lokale Probleme ΦT ∈VT L¨osung eines lokalen Residuumproblems (2)aT(ΦT, v) = (f, v)T −aT(u`, v) +´

∂TgTv ds∀v∈VT

VT :={v∈H¹(T)|v= 0 auf ΓD∩∂T}

L¨osung existiert genau dann, wenn ¨Aquilibrierungsbedingung erf¨ullt ist (s. Neumann-Problem).

103

KAPITEL 10. AFEM 0 = (f,1)−aT(u`,1) +´

∂TgTds

(1), (2)⇒a(e, v) =F(v)−a(u`, v) =P

T∈T`aT(ΦT, v) f¨ur allev∈V Aus|a(e, v)| ≤P

T∈T`k|ΦTk|^Tk|vk|^T folgt obere Absch¨atzung k|ek|²T ≤P

T∈T`k|ΦTk|²T

Bemerkung

Qualit¨at des Sch¨atzers ist abh¨angig von der (Approximations-)Qualit¨at der lokalen{gT}. F¨ur den echten Fluss stimmt die obere Schranke mit dem wahren Fehler ¨uberein.

(aus (2)) (f, v)T −aT(u`, v) +´

∂TvT∇u ds=aT(u, v)−aT(u`, v)

⇒ΦT =e

Definition ( ¨Aquilibrierungungsbedingung nullter Ordnung) (E0)

(f,1)T −aT(v`,1) + ˆ

∂T

gTds= 0

gT+gT⁰ = 0 auf ∂T∩∂T⁰ gT =g auf ∂T∩ΓN

Problemstellung

Konstruktionsm¨oglichkeit exakter Fl¨usse{gT} anhand der L¨osung u` und der Datenf, g mit ge-ringem Aufwand, d.h. als lokale Probleme

Bemerkungen

1. Bedinguung (E0) stellt Unterbestimmtes System dar, d.h. Fl¨usse sind nicht eindeutig be-stimmt.

2. Eine elementweise Berechnung ist aufgrund der Flusskopplung an Elementkanten nicht m¨oglich.

Annahmen f¨ur die folgende Konstruktion

regul¨are TriangulierungT^`von Ω⊆R²in Dreiecke,{ϕn|n∈ N }lineare Lagrange-Basis vonV`mit ϕi(xk) =δi,k, P

n∈N(T)ϕn(x) = 1 (Element) bzw.P

n∈N(E)ϕn(x) = 1 (Kante) Definition ( ¨Aquilibrierungsbedingung erster Ordnung)

(E1)

(f, ϕn)T −aT(h`, ϕn) + ˆ

∂T

ϕngTds= 0∀n∈ N(T) gT +gT⁰ = 0 auf ∂T∩∂T⁰

gT =g auf ∂T∩ΓN

Ziel

Konstruktion lineare Flussapproximationen, d.h.gT|^E =

Neumann Datum auf E⊆ΓN oder in {ϕn|n∈ N(E)}, als lokale Probleme.

104

KAPITEL 10. AFEM Ansatz: Hilfsfunktionen µT,n(E) :=´

EgTϕnds,n∈ N(E) definiert lokale Freiheitsgrade

Bestimmung der{µ^E_T,n} erm¨oglicht Konstruktion vongT|^E =α`ϕ`+αrϕr (α`, αr zu bestimmen durchµ^E_T,n

TODO Bild

N(E) ={l, r}

Es gilt (ϕ`, ϕ`)Eα`+ (ϕ`, ϕr)EαR=µ^E_T,l (ϕr, ϕ`)Eα`+ (ϕr, ϕr)Eαr=µT,r

Zudem ergibt sich ME

α`

αr

= µ^E_T,l

µ^E_T,r

mitME=^h₆^E 2 1

1 2

⇒α`= _h²

E(2µ^E_T,l−µ^E_T,r), αr=_h²

E(−µ^E_T,l+ 2µ^E_T,r)

⇒gT|^E =_h²_E{(2µ^E_T,l−µ^E_T,r)ϕ`+ (−µ^E_T,l+ 2µ^E_T,r)ϕr} (E1) f¨ur µ^E_T,n:

(E₁^µ)

E∈∂T

µ^E_T,n=δT(ϕn)∀n∈ N(T)

µ^E_T,n+µ^E_T0,n= 0∀n∈ N(E), E=∂T∩∂T⁰ µ^E_T,n=

gϕnds∀n∈ N(E), E=∂T∩ΓN

mitδT :=aT(u`, ϕn)−(f, ϕn)T

Bemerkung

BedingungE₁^µ ist unabh¨anging an jedem einzelnen Knoten. Zudem beeinflussen die{ϕn} jeweils nur einen kleinen Bereich von Ω.

(Patch)ωn:={T ∈ T^`|n∈ N(T)} Eⁿ:={E∈∂T`|n∈ N(E)}

1. innere Knoten,n, T ∈ωn

TODO Bild

µ^E_1,n¹ +µ^E_1,n² =δ1(ϕn) µ^E_2,n² +µ^E_2,n³ =δ2(ϕn)

...

µ^E_N,n^N +µ^E_N,n¹ =δN(ϕn)

aus Bedingungen an den inneren Kanten 105

KAPITEL 10. AFEM

µ^E_1,n¹ +µ^E_N,n¹ = 0 µ^E_2,n² +µ^E_1,n² = 0 ... ... µ^E_N,n^N +µ^E_N^N₋_1,n= 0

Dieses Gleichungssystem ist nicht eindeutig l¨osbar, da aus spaltenweiser Addition folgt 0 = Res(ϕn) = 0.

⇒einparametrige L¨osungsschar{µ^E_T,n^j +C}^kj=1

2. Randknoten Gleichungssystem analog zu 1. mit Anpassung hinsichtlich Neumann-Randbedingung und eindeutige L¨osbarkeit nur f¨ur 2 Neumann-Kanten, ansonsten wieder L¨osungsschar.

Wahl der Freiheitsgrade von 1. und 2.:

Bemerkung

Sch¨atzer ist umso exakter, je exakter der konstruierte Fluss gT in Bezug zu σ := ∇u, daher µ^E_T,n ≈ µ˜^E_T,n := ´

Eϕ^σ_n^`|^T · ∇^Tds, d.h. Minimum von ¹₂P

T∈ωn

E∈∂T(µ^E_T,n −µ˜^E_T,n)² unter der Aquilibrierungsbedingung.¨

⇒Lagrange-Funktional f¨ur (E1^µ) L({µ^E_T,n},{λE,n},{σT,n}) =1

2 X

T∈ωn

E∈∂T

(µ^E_T,n−µ˜^E_T,n)+X

T∈ωn

σT,n(δT,n−X

E∈∂T

µ^E_T,n+ X

E=∂T∩∂T⁰

λE,n(µ^E_T,n+µ^E_T0,n)+ X

E=∂T∩ΓN

( Ableiten nachµ^E_T,n liefert Optimalit¨atsbedingung

µ^E_T,n−µ˜^E_T,n−σT,n−λE,n = 0 Ableitung nachλE,n, σE,n entspricht (E₁^µ)

SetzeλE,n = 0 an Dirichletkanten (da beliebig).

Wir erhalten System f¨ur gesuchte Fl¨usse:

µ^E_T,n=







2(σT,n−σT⁰,n+ ˜µ^E_T,n−µ˜^E_T0,n E=∂T∩∂T⁰

Egϕnds E=∂T∩∂ΓN

σT,n+ ˜µ^E_T,n E=∂T∩∂ΓD

Eingesetzt in (E₁^µ) ergibt dies f¨ur Lagrange ParaemterσT,n: 1

2 X

E=∂T∩∂T⁰

(σT,n−σT⁰,n) + X

E∈∂T∩ΓD

σT,n= ˜δT,n∀T ∈ωn (3) mit

δ˜T,n:=δT,n−1 2

E=∂T∩∂T⁰

(˜µ^E_T,n−µ˜^E_T0,n)− X

E∈∂T∩ΓD

µ^E_T,n− X

E∈∂T∩ΓN

gϕnds

=aT(u`, ϕn)−(f, ϕn)T − ˆ

∂T

∂u`

∂vT

ϕnds ∂u`

∂vT







2vT · {(∇u`)T + (∇u`)T⁰} auf ∂T∩∂T⁰ vT·(∇u`)T auf ∂T∩ΓD

g auf ∂T∩ΓN

106

KAPITEL 10. AFEM Bemerkung

(3) ist algebraisches System ¨uber Patcheωnmit Unbekannten{σT,n|T ∈ωn}entsprechend den Ele-menten im Patch. Unbekannte innerer Knoten sind eindeutig l¨osbar, f¨ur die Randwerte verwendet man Kleinste-Quadrate-L¨osungen.

Definition ( ¨Aquilibrierungs-Fehlersch¨atzer µLL) lokaler Sch¨atzerµLL,T :=k∇ΦTk^L²^(T⁾=k|ΦTk|^T und globalµ²_LL :=P

T∈T`µ²_LL,T wobei ΦT ∈VT die L¨osung von

∀v∈VT : ˆ

T∇ΦT∇v dx=RT(v, gT) mitgT als Fluss gem¨aß Konstruktion und

RT(v, q) :=

f v dx+ ˆ

ΓN∩∂T

gv ds− ˆ

σ`· ∇v dx+ ˆ

∂T∩ΓN

q·vTds ist.

Definition

rT : Ω→R, rT :=f+ div`σ`

rE:S

E∈EE→R, rE :=J(σ`∇^F) :=







−[σ`·vE] E∈ E^` g−σ·vΩ E∈ E^N

0 sonst

Satz 10.1. (Effizienz)F¨urT ∈ T^` gilt µLL,T . X

T⁰inωT

kRTk²L²(T⁰)+hT

E∈EΩ

E∩∂T6=∅

krEk²L²(E)

FixK∈ M^`\ T^l+1,K=T1∪T2etc.

TODO Bild

T∈Tl+1,T⊆K

|T|¹²

|{z}

≤√¹2|K|¹²

·k[pl+1·νE]k²L²(∂T)

≤ 1

√2|K|¹² · k[pl+1]νEk²L²(∂K)+ 2 X

E∈El+1,E⊆K,E6⊆∂K

|K√|¹²

2 k[pl+1νE]k²L²(E)

≤|K|¹²

√2 (k[p`]νEk^L²^(∂K)+k[pl+1−p`]νEk^L²^(∂K))²+√

2|K|¹² X

E∈El+1,E⊆K,E6⊆∂K

k[pl+1−p`]νEk²L²(E)

Notice : [p`]E= 0

≤1 +λ

√2 |K|²¹· k[p`]k²L²(∂K)+1 + ¹_λ

√2 |K|¹² · k[pl+1−p`]νEk²L²(∂K)+√

2|K|¹² X

E,...

k[pl+1−p`]νEk²L²(E)

| {z }

≤max √

2,^{1+ 1}√2^λ

F∈El+1|Kk[pl+1−p`]k²_L2(F₎

Trace inequality onF ∈ E^l+1|^K withωF patch inT^l+1,ωF =T+∪T₋ withT_± ∈ T^l+1,F ⊆∂T_± 107

KAPITEL 10. AFEM

k[pl+1−p`]νFk^L²^(F)≤ k(pl+1−p`)|^T+νFk^L²^(F)+k(pl+1−p`)|^T−νFk^L²^(F)

.|T|⁻¹⁴ · kpl+1−p`|L²(T+)+|T1|¹⁴ · k∇(pl+1−p`)kL²(T+)

| {z }

.|T+|⁻¹⁴·kpl+1−p`k_L2(T_{+ )} inverse Estimate

+...(allesmitT₋)

.|ωF|⁻¹⁴kpl+1−p`kL²(ωF)

All together:

T∈Tl+1|K

|T|¹²k[pl+1]νTk²L²(∂T)≤1 +λ

√2 |K|¹²k[p`]νKk²L²(∂K)+C(1 + 1

λ)kpl+1−p`kL²(K)

Cis independent on|K|ork. The sum of the two inequalities results in

η_l+1² = X

K∈M`

1 +λ

√2 |K|¹²k[p`]νKk²L²(∂K)+1

2|K| · kfk²L²(K)

| {z }

≤^1+λ^√₂η_K²

+ X

T∈T`\M`

|T| · kfk²L²(T)+ (1 +λ)|T|¹²k[p`]νKk²L²(∂K)

| {z }

≤(1+λ)η²_K

+C(1 + 1

λ)kpl+1−p`k²L²(Ω)

η_l+1² ≤ 1 +λ

√2

K∈M`

η_K²

| {z }

≥Θη_`²MARK

+(1 +λ)



 X

K∈T`\M`

η_K²





| {z }

=η²_`− X

T∈M`

η_T²

| {z }

≤−Θη`

≤(1−Θ)η²_`

+C(1 + 1

λ)kpl+1−p`k²L²(Ω)

= (1 +λ) 1

√2−1

| {z }

K∈M`

η_K²

| {z }

≤−Θ(1+λ)(1−^√¹₂)η_`²

+(1 +λ)η²_` +C

1 + 1 λ

kpl+1−p`k²L²(Ω)

≤(1−λ)(1−Θ(1− 1

√2))η_`²+C(1− 1

λ)kpl+1−p`k²L²(Ω)

Proper choice ofλ >0 results in ηl+1 ≤

1−Θ(1− 1

√2)η`+C¹²kpl+1−p`k^L²^(Ω)

Satz 10.2. (Reduction Property)In Poisson model example, there existα, β >0< % <1 such that for all`∈N₀:

αη²l+1+βkp−pl+1k²≤%(αη²` +βkp−p`k²) 108

KAPITEL 10. AFEM Beweis:

Galerkin orthogonality

η²_l+1−%(Θ)(1 +λ)η_`²≤C(1 + 1 λ)

| {z }

· kpl+1−p`k²L²(Ω)

| {z }

k|ul+1−u`k|²

=β

kp−p`k²L²(Ω)− kp−pl+1k²L²(Ω)

η²_l+1+βkp−pl+1k²≤%(Θ)(1 +λ)η²_` + βkp−p`k²

| {z }

≤Crelη²_`

| {z }

reliability

≤(1−δ)βkp−p`k²+δCrelη²_`

≤(%(Θ)(1 +λ) +δCrel)η²_` + (1−δ)βkp−p`k²

≤max{1−δ, %(Θ)(1 +λ) +δCrel}

| {z }

=:%

η_`²+βkp−p`k²

given%(Θ)<1, chooseλ >0 with%(Θ)(1 +λ)<1 and Θ< δ <1−%(Θ)(1 +λ) then 0< % <1.

Noticeβ :=C(1 + ¹_λ) depends onλ. Optimal choice likely for

1−δ=^! %(Θ)(1 +λ) +δCrel⇔δ= 1−%(Θ)(1 +λ) 1 +Crel

and so

%= 1−δ=%(Θ)(1 +_λ¹) +Crel

1 +Crel

can come as close as possible to lower bound ^%(Θ)+C_1+C ^rel

rel since%(Θ)<1.

Bemerkung

R-linear convergence ofkp−p`kandη`

Q-linear convergence of the linear combination

Lemma 10.2. (Discrete Reliability)ForT^l+k some refinement of T^`, kpl+k−p`k². X

K∈T`\Tl+k

η_K² Beweisidee:

k|ul+k−u`

| {z }

=:e

k|²=a(e, e−J`e)

for Scott-Zhang and edges inE^`∩ E^l+k if possible.⇒e−J`e= 0 onT ∈ T^`∩ T^l+k

⇒ k|ek|².standard with V ≡0 onT^`∩ T^l+k Definition (approximation class)

Fors∈R, let (u, f)∈V ×L²(Ω) satisfy

k(u, f)kAs:= sup

N∈N₀|N|^s inf

|TN|−|T0|≤N,TN admissable refinement

pdist(u, V(T^N))²+ osc(f,T^N)²≤ ∞

then (u, f)∈ A^s.

109

KAPITEL 10. AFEM Bemerkung

Ifu∈ A^s, thenucan be approximated as|T^`|⁻¹^s in caseT^` is optimal.

Satz 10.3. AFEM is quasi-optimal in the sense that for (u, f)∈ A^sit holds pkp−p`k²+ osc(f,T^`)².|T^`\T0|^−sk(u, f)kAs

for0<Θ1sufficiently small.

110

Index

C^m-konform, 55

H²-regul¨ares Problem, 60 Anfangsbedingungen

Diffusionsgleichung, 7 Anfangsrandwertproblem

Diffusionsgleichung, 7 Wellengleichung, 15 approximation operator, 77 Basis

nodal, 53

brokenH¹-functions, 46 CFL-Bedingung, 16 Charakteristik, 17

Clem´ent interpolation operator, 77 Courant-Friedrich-Levy-Bedingung, 16 Differenzen

vorw¨arts, 8 zentral, 8

Wellengleichung, 15 Differenzengleichung, 8

Diffusions-Anfangswertproblem, 7 L¨osung, 7

Diffusionsgleichung, 7 Diffusionskoeffizient, 7 diskreter Raum, 55 Euler

explizit, 8 implizit, 9 FDM, 7 FE-Raum, 55

Finite-Differenzen-Methode, 7 Finite-Elemente-Raum, 55 Finites Element

Ciarlet, 53 Fourierzerlegung, 7

gebrochener Sobolev-Raum, 46 globaler Interpolant, 55 Informationsgeschwindigkeit

diskret, 16 exakt, 16 Interpolant

globaler, 55 lokal, 54 nodal, 55 konform

C^m, 55

Laplace-Gleichung, 21 Laplace-Operator, 21 Lax-Milgram-Lemma

reflexive Banachr¨aume, 30 lokaler Interpolant, 54

Materialverhalten

linear, isotrop, elastisch, 31 Medium, 7

nodale Basis, 53 nodaler Interpolant, 55 Normalenableitung, 21 operator

approximation, 77 Oswald, 77

Clem´ent interpolation, 77 interpolation

Clem´ent, 77 weak, 77

Oswald approximation, 77 weak interpolation, 77 Poisson-Problem

Primale gemischte Formulierung, 30 schwache Form, 30

Problem

H²-regul¨ar, 60 Quader, 21

Randbedingung Dirichlet, 7 Neumann, 7 Randbedingungen 111

Im Dokument Numerik partieller Diﬀerentialgleichungen Wintersemester 2008/09 Mitschrift von Yves Radunz (Seite 96-112)