Lineare Probleme

Sei A∈R^m×m eine Matrix. Wir wollen das lineare System

u⁰(t) =Au(t), t≥0, u(0) =u₀, (4.10)

Diese Rechnung aus Analysis 1 kann man auf den Matrizenfall übertragen. Dazu benötigen wir die Matrizennorm

Nach Satz 1.36 in Analysis 2 definiert dies eine vollständige Norm auf R^m×m. Es gelten kIk = 1 und |Ax|₂ ≤ kAk |x|₂ für x ∈ R^m. Sei auch B ∈ R^m×m. Dann

Da die rechte Seite in n summierbar ist, können wir wie im Falle m = 1 argumen-tieren und erhalten die folgenden Aussagen (siehe Satz 4.27 in Analysis 2).

Bemerkung 4.6. Seien A, B ∈ R^m×m und s, t ∈ R. Dann konvergiert die

absolut in R^m×m und gleichmäßig für |t| ≤ b und jedes b > 0. Diese Definition liefert sofort e^0A=I und e^tλI = e^tλI, wobei wir auch λ∈C zulassen können. Die obige Reihe ist in t beliebig oft differenzierbar mit

d

dte^tA =Ae^tA = e^tAA.

Also löst u(t) = e^tAu₀ das Problem (4.10). Aus AB = BA folgt die Formel e^A+B = e^Ae^B= e^Be^A und somit

e^(t+s)A= e^tAe^sA = e^sAe^tA.

Mit s=−t sieht man, dass e^tA die Inverse e^−tA besitzt. ♦ Um e^tAu₀ zu berechnen, verwenden wir eine Jordan-Basis {b_j|j ∈ {1, . . . , m}}

von A∈R^m×m, die aus Eigen- und Hauptvektoren vonAbesteht. Es gibt demnach Koeffizienten αj ∈C mit u0 =α1b1+· · ·+αmbm und somit

e^tAu₀ =

m

X

j=1

α_je^tAb_j.

Wir müssen also nur die speziellen Lösungen e^tAb_j berechnen. Dazu wiederholen wir etwas lineare Algebra, siehe auch Theorem 4.29 in Analysis 2.

Wir haben die (paarweise verschiedenen) Eigenwerte λ₁, . . . , λ_N ∈C von A, die die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

q(λ) = det(λI −A) = (λ−λ₁)^m1· · ·(λ−λ_N)^mN

von A sind. Die Exponentenm₁, . . . , m_N ∈N heißen algebraische Vielfachheiten der Eigenwerte, und es gilt m₁ +· · · +m_N = m. Jeder Eigenwert λ_j besitzt definitionsgemäß einen Eigenvektor v ∈C^m; d.h., es gelten

v 6= 0 und Av=λ_jv.

Der Eigenraum E_j = Kern(λ_jI −A) hat die Dimension d_j ≤ m_j, die man als die geometrische Vielfachheit vonλj bezeichnet. Man nennt λj halbeinfach, wenn mj =dj ist. Ein Spezialfall sind einfache Eigenwerte mit mj = 1.

Falls d_j < m_j ist, hatλ_j (echte) Hauptvektoren. Dabei heißt w∈C^m mit (A−λ_jI)^lw= 0 und (A−λ_jI)^l−1w6= 0

für ein l ∈NHauptvektor l-ter Stufe zu λ_j. Es gilt dann auch (A−λ_jI)^kw6= 0 für jedesk ∈ {0,1, . . . , l−1}. Ein Eigenvektor ist Hauptvektor erster Stufe.

Um Hauptvektoren zu λ_j zu bestimmen, startet man mit einem Eigenvektor v =:w₁ von λ_j und löst sukzessive die Gleichungen

w₁ = (A−λ_jI)w₂, . . . , wl−1 = (A−λ_jI)w_l,

bis (A−λ_jI)w= w_l nicht mehr lösbar ist. Dann istw_l ein Hauptvektor l-ter Stufe.

Wir berechnen nun e^tAv, e^tAw_l und e^tAu₀.

1) Sei v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Dann gilt A²v =AAv=λAv =λ²v und analog Aⁿv =λⁿv. Für t∈R folgt

e^tAv =

∞

X

n=0

tⁿ

n!Aⁿv =

∞

X

n=0

tⁿ

n!λⁿv = e^tλv.

2) Seiwein Hauptvektor zweiter Stufe zum Eigenwertλ. Es ist alsov = (A−λI)w ein Eigenvektor zu λ und (A−λI)ⁿw= 0 für n ≥2. Mit Hilfe von Bemerkung4.6 berechnen wir

e^tAw= et(A−λI)+tλI

w= e^λt

∞

X

n=0

tⁿ

n!(A−λI)ⁿw= e^λt(w+tv).

Diese Formel läßt sich leicht auf Hauptvektoren l-ter Stufe w_l verallgemeinern:

e^tAw_l = e^λt

w_l+tw_l−1 +. . .+ t^l−1 (l−1)!w₁

=:y(t). (4.11) 3) Die Lösung in (4.11) muss nicht reell sein. Hierzu erinnern wir daran, dass für Eigenvektoren v oder Hauptvektoren l-ter Stufe w zum Eigenwert λ auch v = (v₁, . . . , v_m) bzw.wEigen- bzw. Hauptvektorenl-ter Stufe zum Eigenwertλsind (daAreell ist). Man erhält dann eine Basis aus den reellen Eigen-/Hauptvektoren zu rellen Eigenwerten, sowie aus den Real- und Imaginärteilen der nicht-reellen v bzw.

w zu nicht-reellenλ, wobei wir jeweils die Konjugiertenv bzw. wzu λ weglassen.

Anstelle von y(t)6=y(t) in (4.11) verwenden wir Rey(t) = (Rey₁(t), . . . ,Rey_m(t)) und Imy(t). Man sieht leicht, dass diese Funktionen (4.10) mit Anfangswert Rew_l bzw. Imw_l lösen.

4) Damit haben wir linear unabhängige, reelle Lösungen y₁, . . . , y_m von (4.10) mit yj(0) = bj konstruiert, wobei {bj} eine Jordan-Basis von A ist. Wir setzen Y(t) = [y₁(t) · · · ym(t)] für t∈R, sodass die Spalten von Y(0) gleich bj sind. Der Koeffizientenvektor α von u₀ bezüglich {b_j} berechnet sich also durch

u₀ =

m

X

j=1

α_jb_j =Y(0)α, α =Y(0)⁻¹u₀. Somit ergibt sich die Lösungsformel

e^tAu₀ =

m

X

j=1

α_je^tAb_j =

m

X

j=1

α_jy_j(t) = Y(t)α=Y(t)Y(0)⁻¹u₀, t ∈R, (4.12) für (4.10). Man nennt Y(t) Fundamentallösung und e^tA Hauptfundamentallösung.

Mittels der obigen Überlegungen diskutieren wir nun eine lineare Version des gedämpften Pendels aus Beispiel 4.2. Hierbei ersetzen wir sinx durch x (was für kleine |x| eine gute Näherung ist), wählen eine lineare Reibung 2ry= (ml)⁻¹R(y) und schreiben ω =^qγ/l.

Beispiel 4.7. Für gegebene ω > 0, r ≥ 0 und ϕ₀, ϕ₁ ∈ R betrachten wir das Anfangswertproblem

ϕ⁰⁰(t) = −ω²ϕ(t)−2rϕ⁰(t), t≥0, ϕ(0) =ϕ₀, ϕ⁰(0) = ϕ₁. (4.13) Wie in (4.4) setzen wir

A= 0 1 MatrixA hat das charakteristische Polynom

q(λ) = det λ −1 Die Eigenvektoren v_1,2 = (x y)^> erfüllen

0 = (λ_1,2I−A)v_1,2 = λ_1,2 −1 unabhängig sind. Wir behandeln nun getrennt die Fälle nichtreeller, reeller und doppelter Eigenwerte.

1. Fall. Es sei 0≤r < ω, sodass keine oder schwache Dämpfung vorliegt. Dann geltenλ_1,2 =−r±iαfürα:=√

laut (4.11). Wir erhalten damit die reelle Fundamentallösung Y(t) = Mit (4.12) ergeben sich die oszillierenden Lösungen

e^tA =Y(t)Y(0)⁻¹ = e^−rtcos(αt) + _α^r sin(αt) e^−rt_α¹ sin(αt)

∗ ∗

!

, ϕ(t) = [e^tAu₀]₁ = e^−rtcos(αt)ϕ₀ + e^−rtsin(αt))_α^rϕ₀+ _α¹ϕ₁, t ∈R.

Im dämpfungsfreien Fall r= 0 mit α=ω gilt speziell einfach. Die Lösungen y1,2(t) = e^λ1,2tv1,2 liefern dann die Fundamentallösung Y(t) = Wie in Fall 1 berechnen wir die (nicht oszillierende) Lösung

ϕ(t) = [e^tAu₀]₁ = [Y(t)Y(0)⁻¹(ϕ₀ ϕ₁)^>]₁ = 1

3. Fall Im ‘aperiodischen Grenzfall’ r = ω hat der zweifache Eigenwert λ₁ = λ2 =−r die geometrische Vielfachheit 1. Wir bekommen wie im Fall 2 die Lösung z1(t) = e^−rt der Differentialgleichung in (4.13). Weiter besitztA einen Hauptvektor w= (x y)^> zweiter Stufe, der durch

bestimmt ist. Wir wählenw=e₂ und erhalten aus (4.11) die zweite linear unab-hängige Lösung e^−rt(w+tv), deren erste Komponente gleich z₂(t) =te^−rt fürt∈R ist. Die Funktion z₂ löst (4.13) fürϕ₀ = 0 undϕ₁ = 1.

Man beachte, dass mit Dämpfung r >0 alle Lösungen fürt → ∞exponentiell gegen 0 streben. Fallsr = 0 ist und keine Dämpfung vorliegt, sind die Lösungen

periodisch mit Periode 2π/ω. ♦

Sei v ∈ C([a, b],R^m). Man definiert das Integral ^R_a^bvdt wie für m = 1 mittels Riemannscher Summen. Indem man den Betrag | · | durch die Norm | · |₂ ersetzt, zeigt man die Existenz des Integrals und seine einfachen Eigenschaften wie in Analysis 1. Insbesondere gilt

Da der Grenzwert im R^m gleich dem komponentenweisen ist, erhält man die Darstellung

Für eine Matrix B = [b_jk]∈R^l×m berechnen wir somit mittels der Linearität des Integrals. Aus dem Hauptsatz für reelle Funktionen (Theorem 6.10 in Analysis 1) folgt seine m-dimensionale Variante

∃ d

Wir fügen nun der linearen Gleichung (4.10) eine fest gegebene Funktiong hinzu, die man als äußere Kraft interpretieren könnte. Neben Existenz einer Lösung zeigen wir auch ihre Eindeutigkeit und die wichtige Duhamelsche Formel (4.18).

Satz 4.8. Seien A ∈ R^m×m, g ∈ C([0, b],R^m) und u₀ ∈ R^m. Dann hat das

Beweis. Sei uwie in (4.18). Mittels Bemerkung 4.6, (4.14) und (4.15) differen-zieren wir wir w(s) = e^(t−s)Av(s). Die Produktregel, Bemerkung 4.6 und (4.17) implizieren

∃w⁰(s) = −e^(t−s)AAv(s) + e^(t−s)Av⁰(s) = e^(t−s)Ag(s).

(Die Produktregel zeigt man hier wie im skalaren Fallm= 1.) Der Hauptsatz (4.16) führt dann auf

Mit Hilfe der Formel (4.18) bestimmen wir die Lösung des inhomogenen Problems, das entsteht, wenn man der linearen Pendelgleichung (4.13) eine äußere ‘Kraft’

h hinzufügt. Dabei beschränken wir uns auf den ungedämpften Fall und regen

das System mit der Eigenfrequenz ω/2π an. Dies führt durchResonanz auf eine unbeschränkte Lösung.

Beispiel 4.9. Für eine gegebene ‘Frequenz’ ω >0 betrachten wir das Anfangs-wertproblem

ϕ⁰⁰(t) =−ω²ϕ(t) +h(t), t ≥0, ϕ(0) = 0, ϕ⁰(0) = 0, (4.19) wobei h(t) = sin(ωt) ist. Wie in (4.4) setzen wir

A = 0 1

−ω² 0

!

, g = 0

h

!

, u= ϕ

ϕ⁰

!

, u0 = 0 0

!

.

Dann ist (4.19) äquivalent zur Gleichung (4.17) mit diesen Daten. Gemäß Bei-spiel 4.7 gilt

e^(t−s)A= cos(ω(t−s)) _ω¹ sin(ω(t−s))

−ωsin(ω(t−s)) cos(ω(t−s))

!

.

Auf Grund von (4.18) und einer trigonometrischen Formel hat (4.19) die Lösung ϕ(t) =

Z _t

0

e^(t−s)Ag(s) ds

1

= 1 ω

Z t 0

sin(ω(t−s)) sin(ωs) ds

= 1 2ω

Z t 0

cos(ωt−2ωs)−cos(ωt)ds =− 1

4ω² sin(ωt−2ωs)^t

0− t

2ωcos(ωt)

= 1

2ω² sin(ωt)− t

2ωcos(ωt), t≥0. ♦

Das Langzeitverhalten der Lösung e^tAu₀ von (4.10) wird wesentlich durch die Eigenwerte von A bestimmt. Eine große Rolle spielt die Spektralschranke

s(A) = max{Reλ_j|λ_j Eigenwert von A}.

Theorem 4.10. Seien A∈R^m×m und ε >0. Für eine Konstante M_ε ≥1 gilt

ke^tAk ≤M_εe^(s(A)+ε)t für alle t≥0. (4.20)

Falls alle Eigenwerte λ von A mit Reλ = s(A) halbeinfach sind, kann man hier auch ε= 0 wählen.

a) Genau wenn s(A)<0 gilt, konvergiert ke^tAk fürt → ∞ gegen 0. In diesem Fall gibt es für jeden Exponenten δ∈(0,−s(A))eine Konstante M_δ≥1 mit

|e^tAu₀|₂ ≤ ke^tAk |u₀|₂ ≤M_δe^−δt|u₀|₂.

b) Genau dann sind alle Lösungen e^tAu₀ von (4.10) für t ≥0 beschränkt, wenn s(A) = 0 gilt und alle Eigenwerte λ von A mit Reλ= 0 halbeinfach sind.

Beweis. 1) Seien yj wie in (4.11) und ε >0. Somityj ist gleich einem Polynom int(von Ordnung kleinerm) mal e^λtfür einen Eigenwertλ. Also gibt es Konstanten c_j, c_ε >0 mit

|y_j(t)|₂ ≤c_j(1 +t^m−1) e^Reλt ≤c_jc_εe^(s(A)+ε)t, t≥0.

Wenn λ halbeinfach ist, gilt y_j(t) = e^λtv für einen Eigenvektor v und man kann hier auch ε = 0 zulassen. Sei x = (x_j) ∈ R^m mit |x|₂ = 1 und ˜c_ε := c_εmax_jc_j. Dann erhalten wir

|Y(t)x|2 ≤

m

X

j=1

|xjY(t)ej|2 =

m

X

j=1

|xjyj(t)|2 ≤˜cεe^(s(A)+ε)t

m

X

j=1

|xj| ≤√

m˜cεe^(s(A)+ε)t, wobei |x|₁ ≤ √

m|x|₂ aus Satz 1.8 in Analysis 2 eingeht. Mit der Formel (4.12) schließen wir

|e^tAx|₂ =|Y(t)Y(0)⁻¹x|₂ ≤ kY(t)k |Y(0)⁻¹x|₂ ≤√

m˜c_εe^(s(A)+ε)tkY(0)⁻¹k.

Wir haben also (4.20) gezeigt, woraus die Notwendigkeit der Eigenwertbedingungen in Aussage a) und b), sowie der Zusatz in a) folgen.

2) Sei umgekehrt s(A) ≥ 0. Dann gibt es einen Eigenvektor v 6= 0 zu einem Eigenwert λ mit Reλ ≥ 0. Dann hat die Lösung e^tAv = e^λtv die Norm e^Reλt|v|₂ und konvergiert nicht gegen 0 für t → ∞. Sei s(A) = 0 und ein Eigenwert λ mit Reλ = 0 nicht halbeinfach. Also gibt es einen Haupvektor w zweiter Stufe und es gilt e^tAw = w +tv nach (4.11) für einen Eigenvektor v 6= 0. Somit ist

|e^tAw|₂ ≥t|v|₂− |w|₂ unbeschränkt für t→ ∞.

Dies zeigt die behaupteten Äquivalenzen, wenn die oben verwendeten λ, v und w reell sind. Wenn dies nicht der Fall ist, geht man zum Real- oder Imaginärteil

über (vergleiche Theorem 4.32 in Analysis 2).

Erfreulicherweise kann man festellen, ob s(A)<0 ist, ohne alle Eigenwerte zu berechnen.

Beispiel 4.11. a) SeiA= (^{a b}_{c d})∈R^2×2. Diese Matrix hat das charakteristische Polynom

q(λ) = det λ−a −b

−c λ−d

!

=λ²−(a+d)λ+ (ad−bc) = λ²−sp(A)λ+ det(A).

Somit sind die Eigenwerte von A durch λ_1,2 = sp(A)

2 ±

ssp(A)²

4 −det(A)

gegeben. Man sieht nun leicht, dass genau dann s(A) < 0 gilt, wenn sp(A) = a+d <0 und det(A) =ad−bc >0 erfüllt sind.

b) Sei q(λ) = λ^m +a_m−1λ^m−1 +· · ·+a₀ das charakteristische Polynom von A ∈ R^m×m. Das Routh–Hurwitz Kriterium charakterisiert die Negativität von s(A)<0 durch Bedingungen an die Koeffizienten a_j. Siehe Satz 5.4.3 in [PW].

Im Falle m = 3 ist dabei s(A) < 0 äquivalent zu den Ungleichungen a₂ > 0,

a₀ >0 und a₂a₁ > a₀. ♦

Im Dokument Analysis für das Lehramt (Seite 62-70)