von Experimentieren passt:
”Ziele k¨onnen sich beim Experimentieren handlungsbedingt ¨andern, und die Experimentierhandlungen k¨onnen zielorientiert ver¨andert, auch verworfen und durch andere ersetzt werden.“ [He91, S. 51]
5.2 Arbeiten und Lernen an CAPESSIMUS Zu Beginn m¨ussen sich die Lernende in die Situation einlesen, den Kontext erfassen und die vorgegebenen Diagrammteile richtig interpretieren, um anschließend die fehlen-den Strecken erg¨anzen zu k¨onnen. Im Beispiel geht es um die Mischfarben
”Orange“,
”Violett“ und
”Gr¨un“. Aus dem Kontext in Abb. 5.1 kann abgelesen werden, dass sich jede Mischfarbe aus je zwei Grundfarben zusammensetzt, da in jeder Zeile zwei Kreu-ze auftreten. Also werden jeder Mischfarbe zwei der Grundfarben rot, gelb oder blau zugeordnet.
Nun schlussfolgern Lernende, dass von jedem Begriff im mittleren Bereich des Dia-gramms (Abb. 5.1) zwei Linien ausgehen m¨ussen. (Vom kleinsten und gr¨oßten Begriff gehen jeweils drei Linien aus, die auf dem Arbeitsblatt schon eingetragen sind.) Mit der zus¨atzlich vorgegebenen Information, dass insgesamt sechs Streckenz¨uge einzuf¨ugen sind, vervollst¨andigen sie das Liniendiagramm schnell (Abb. 5.2).
blau gelb
rot
Violett Grün Orange
Abbildung 5.2: Das vervollst¨andigte Liniendiagramm zum Kontext
”Mischfarben“
Andere Lernende beginnen aber auch ohne diese Vor¨uberlegungen gleich am Diagramm zu arbeiten und Strecken zu erg¨anzen. H¨aufig fangen sie bei den links liegenden Be-griffskreisen mit der Beschriftung
”rot“ oder
”Orange“ an. Wenn sie bei dem Begriffs-kreis anfangen, der die Beschriftung
”rot“ tr¨agt, schauen sie zun¨achst, wo ”rot“ in der Kreuztabelle vorkommt. Sie finden in der ersten Spalte zwei Kreuze bei
”Violet“ und
”Orange“. Daraus werden sofort zwei Linien von dem links oberen Begriff
”rot“ zu den beiden Begriffen, die mit
”Orange“ und
”Violet“ beschriftet sind. Derart arbeiten sich die Lernenden voran, bis alle sechs Strecken eingef¨ugt sind.
Solange die Diagramme in den Beispielen so gebaut sind, dass immer nur eine Ebene von Linien fehlt, d.h. sich alle Begriffe, die mit einem Merkmal beschriftet sind, direkt mit einem Begriff verbunden werden k¨onnen, der mit einem Gegenstand beschriftet ist, f¨allt es den Lernenden noch sehr leicht die Diagramme zu vervollst¨andigen. Ein großer Sprung in der Anforderung tritt auf, wenn
”unbeschriftete“ Begriffe im Teildiagramm vorgegeben werden, also Begriffe, die nicht direkt mit einem Merkmals- oder einem Gegenstandsnamen beschriftet sind (vgl. Abb. 5.3(b)).
2 3 5 7
30 42 70 10 5
(a) Kontext
”Teiler“
30
42 70
105
2
3 5
7
(b) Teildiagramm
Abbildung 5.3: Kontext und Teildiagramm
”Teiler“
30
42 70
105
2
3 5
7
Abbildung 5.4: Fehlversuch zur Erg¨anzung der Strecken im Teildiagramm”Teiler“
Fangen nun die Lernenden gleich an, im Diagramm Strecken einzutragen, ohne sich vorher ¨uber die Gesamtsituation auch im Kontext vertraut zu machen, entstehen h¨aufig erstmal Diagramme, wie sie formal nicht richtig sind (vgl. Abb. 5.4). Vorschnell werden die im Diagramm unten aufgef¨uhrten Teiler mit den Vielfachen oben verbunden, die leeren Begriffe in der mittleren Ebene bleiben vorerst unber¨ucksichtigt. In der Regel begreifen die Lernenden bei solchen Diagrammen erst durch Fehlversuche die Bedeutung
5.2 Arbeiten und Lernen an CAPESSIMUS der Begriffe in der mittleren Ebene, hier als gemeinsame Vielfache und Teiler. So kann z. B. der zweite leere Kreis von links als 2·3 = 6 interpretiert werden, der dann wiederum sowohl Teiler von 30 als auch von 42 ist (vgl. vervollst¨andigtes Diagramm in Abb. 5.5).
30
42 70
105
2
3 5
7
Abbildung 5.5: Vervollst¨andigtes Diagramm zum Kontext
”Teiler“
Erfahrene Diagramm-Zeichner erkennen dagegen nach eingehender Analyse des Kontex-tes, dass es sich um eine sehr bekannte logische Form handelt: jeder Gegenstand hat drei Merkmale und eines nicht (immer genau drei Kreuze in einer Zeile, Kontext mit Kreuzen gef¨ullt – bis auf die freie Diagonale). Schon im Eingangsbeispiel der Mischfar-ben ist das Muster eines gef¨ullten Kontextes mit freier Diagonale aufgetreten, allerdings nur mit drei Gegenst¨anden und drei Merkmalen, und f¨uhrte dort zu einem Diagramm, dass einem W¨urfelschr¨agbild gleicht. Beim Beispiel
”Teiler“ liegen vier Gegenst¨ande und vier Merkmale vor, was bei dieser Verteilung der Kreuze im Kontext zur Struktur eines vierdimensionalen W¨urfels f¨uhrt.
In der Regel f¨uhren die eben beschriebenen Arbeitsschritte zu Liniendiagrammen, die auch den zum vorgegebenen Kontext zugeh¨origen Begriffsverband darstellen. Um dies zu ¨uberpr¨ufen, m¨ussen die im Hauptsatz f¨ur beschriftete Liniendiagramme (vgl. Ab-schnitt 2.4) genannten Bedingungen ¨uberpr¨uft werden:
1. Jedem Kreis mit genau einer Strecke abw¨arts muss mindestens ein Gegenstands-name zugeordnet sein.
2. Jedem Kreis mit genau einer Strecke aufw¨arts muss mindestens ein Merkmalsname zugeordnet sein.
3. Ein Kreis mit Gegenstandsnamen ist genau ¨uber einen aufsteigenden Streckenzug (auch der L¨ange 0) mit einem Kreis mit Merkmalsnamen verbunden, wenn das zugeh¨orige Paar (Gegenstandsname, Merkmalsname) in der Kreuztabelle eine Zelle
mit Kreuz repr¨asentiert.
4. Die vorgegebene Anzahl der einzuf¨ugenden Strecken muss mit der Anzahl der ein-gef¨ugten Strecken ¨ubereinstimmen.
Mit der Vorgabe aller Begriffe durch kleine Kreise und die Anzahl der Linien, die ein-getragen werden sollen, reicht es sogar aus, nur die ersten drei Bedingungen zu pr¨ufen.
Bedingung 1 wird erf¨ullt, wenn jeder Kreis, von dem nur genau eine Linie nach unten f¨uhrt, mit einem Gegenstandsnamen beschriftet ist, analog muss f¨ur Bedingung 2 jeder Kreis mit genau einer Linie nach oben, mit einem Merkmalsnamen beschriftet sein. F¨ur Bedingung 3 muss sichergestellt werden, dass die Kreuze aus der Datentabelle korrekt in Streckenz¨uge im Liniendiagramm umgesetzt wurden. So muss f¨ur jedes Kreuz kon-trolliert werden, dass der zugeh¨orige Gegenstand ¨uber einen aufsteigenden Streckenzug mit dem dazu geh¨origen Merkmal verbunden ist. Umgekehrt darf von einem Gegenstand im Diagramm kein Streckenzug zu einem Merkmal existieren, wenn in der Datentabelle kein Kreuz gesetzt ist. Dieser Kontrollschritt, d. h. die Kreuztabelle Kreuz f¨ur Kreuz durchzugehen, ist h¨aufig schon im Entstehensprozess integriert, um die fehlenden Linien erg¨anzen zu k¨onnen.