L p -Theorie Elliptischer Randwertprobleme

Wir wollen im Folgenden elliptische Differentialoperatoren der Form (35) Au(x) =

Xd i,j=1

aij(x)∂i∂ju(x) + Xd

i

bi(x)u(x) +c(x)

auf Gebieten in R^d betrachten. Ein Differentialoperator A heißt elliptisch, fallsaij(x)∈Rf¨ur jedes x∈R^d und es eine Konstanteδ >0 gibt, so dass

− Xd i,j=1

a_ij(x)ξ_jξ_j ≥δ|ξ|²

f¨ur alle x, ξ∈R^d gilt. In den Beweisen werden wir uns im Wesentlichen auf den technisch einfachsten Fall (a_ij) = (δ_ij), also A = ∆, beschr¨anken. Wir werden f¨ur beschr¨ankte Gebiete Ω ein Lokalisierungsargument anwenden.

Daher behandeln wir zun¨achst den Fall Ω =R^d und Ω =R^d

+ :={(x^′, x_d)∈ R^d:x_d>0, x^′ ∈R^d−1}.

1. L¨osungstheorie in R^d

Wir assoziieren zu einem Differentialoperator A von der Form (35) einen stetigen Operator durch D(A_p) =W^2,p(R^d), A_pu :=Au. Der n¨achste Satz zeigt, dass die Wahl des Definitionsbereichs g¨unstig ist, dennA_p :W^2,p(R^d)→ L^p(R^d) ist Surjektiv.

Satz 1.1. Es sei A ein elliptischer Differentialoperator mit konstanten Ko-effizienten aij und bi = 0, c = 0. Weiter sei λ ∈ C mit Re λ > 0 und f ∈L^p(R^d). Dann existiert eine eindeutige L¨osung u∈W^2,p(R^d) der Glei-chung

(λ−A)u=f in R^d. (36)

Desweiteren gilt f¨ur α∈N^d

0 mit|α| ≤2.

kD^αukL^p(Rd)≤ C

|λ|^1−|α|/2kfkL^p(Rd). (37)

Beweis. Wir f¨uhren den Beweis f¨ur den Fall A = ∆. Anwenden der Fouriertransformation auf (36) liefert (λ+|ξ|²)ˆu = ˆf und somit ist u =

62

1. L ¨OSUNGSTHEORIE IN R^d 63

F⁻¹(λ+|ξ|²)⁻¹Ff ∈ L^p(R^d) eine L¨osung, falls m_λ(ξ) := (λ+|ξ|²)⁻¹ ein Symbol der Ordnung 0 ist. Zun¨achst bemerken wir

|λ+ξ²|=p

|Reλ+ξ|²+|Imλ|² ≥p

|Reλ|²+|Imλ|² =|λ|, ξ∈R^d. und damit

ξ^α

λ+ξ² ≤

p|λ|^|α|

|λ| = 1

|λ|^1−|α|2

, |ξ| ≤p

|λ|,

ξ^α λ+ξ²

≤ |ξ|^|α|

|ξ|² = 1

|ξ|^2−|α| ≤ 1

|λ|^1−|α|2

, |ξ| ≥p

|λ|.

Um zu zeigen, dass m_λ ein Symbol der Ordnung 0 ist, bemerken wir noch, dass sich ξ^βD^βm_λ(ξ) als endliche Summe mit Summanden der Form

ξ^β1(D^β1|ξ|²)m_λ· · · · ·ξ^βn(D^βn|ξ|²)m_λ mitβ =P_n

i=1β_i schreiben l¨asst. (Induktion)

Damit folgt mit obigen Absch¨atzungen, dassm_λ,ξ_im_λ undξ_iξ_jm_λ Symbole der Ordnung 0 sind. Nach Korollar 3.5 gen¨ugtT_mλdamit den Absch¨atzungen

kD^αT_mλkL(L^p(Rd)) ≤ 1

|λ|^1−|α|/2.

Die Eindeutigkeit der L¨osung folgt mit der Injektivit¨at der

Fouriertransfor-mation.

F¨ur die Lokalisierung ben¨otigen wir noch die L¨osbarkeit, falls a_ij, b_i, c ∈ L^∞(R^d). Es sei A = Pd

i,j=1α_ij∂_ij ein elliptischer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten α_ij. Wir definieren

Bu(x) = Xd i,j=1

(a_ij(x)−α_ij)∂_iju(x) + Xd

i=1

b_i(x)∂u(x) +c(x)u(x).

Wir assoziieren hierzu wieder den OperatorB_pu=BumitD(B_p) =W^2,p(R^d).

Dann gilt

Theorem1.2. Es seienAundB wie oben gegeben. Dann gibt es Konstanten ε, λ₀, C, so dass f¨ur λmit Reλ >0 und |λ|> λ₀ die Gleichung

(λ−Ap−Bp)u=f in R^d (38)

f¨ur jedes f ∈L^p(R^d) eine eindeutig bestimmte L¨osungu∈W^2,p(R^d)besitzt, falls ka_ij−α_ijk∞≤εgilt. Desweiteren gilt f¨ur u die Absch¨atzung (37).

Beweis. Es ist klar, dass (λ−Ap−Bp) :W^2,p(R^d)→L^p(R^d) stetig ist.

Wir zeigen, dass (λ−A_p−B_p)⁻¹ :L^p(R^d)→L^p(R^d) existiert und stetig ist.

Dazu schreiben wir zun¨achst f¨uru∈W^2,p(R^d)

(λ−A_p−B_p)u= (Id−B_p(λ−A_p)⁻¹)(λ−A_p)u.

2. L ¨OSUNGSTHEORIE IN R^d

+ 64

Also existiert (λ−A_p−B_p)⁻¹ ∈ L(L^p(R^d)), fallskB_p(λ−A_p)⁻¹kL(L^p(Rd)) <1 gilt. In diesem Fall erh¨alt man (λ−A_p−B_p)⁻¹ = (λ−A_p)⁻¹(Id−B_p(λ− A_p)⁻¹)⁻¹, wobei der zweite Operator wegen der Neumann Reihe existiert und stetig ist. Die geforderte Absch¨atzung kBp(λ−Ap)⁻¹kL(L^p(Rd)) < 1 folgt mit Hilfe von (37) f¨urεklein genug undλgroß genug, denn

kB_p(λ−A_p)⁻¹fkp ≤ Xd i,j=1

k(a_ij(x)−α_ij)∂_ij(λ−A_p)⁻¹fkp

+k Xd i=1

b_i∂_i(λ−A_p)⁻¹fkp+kc(λ−A_p)⁻¹fkp

≤d²εk∂_ij(λ−A_p)⁻¹fkp+d max

i=1,...,dkb_ik∞∂_i(λ−A_p)⁻¹fkp

+kck∞k(λ−A_p)⁻¹fkp

≤Cεkfkp+C 1

p|λ|kfkp+C 1

|λ|kfkp.

Die Absch¨atzung (37) folgt schließlich mit (37) f¨urA_p und der Darstellung (λ−A_p−B_p)⁻¹ = (λ−A_p)⁻¹(Id−B_p(λ−A_p)⁻¹)⁻¹.

2. L¨osungstheorie in R^d

+

Da f¨ur Ω = R^d₊ der Rand ∂Ω = {x ∈ R^d : x_d = 0} 6= ∅ gilt, m¨ussen wir noch Bedingungen f¨uru auf ∂Ω fordern, um die eindeutige L¨osbarkeit der Gleichung (λ−A)u=f zu sichern. Wir werden zwei verschiedene Randbe-dingungen untersuchen.

• Dirichlet-Randbedingung:u|∂Ω = 0

• Neumann-Randbedingung:∂_nu|∂Ω= 0

Hierbei bezeichnet ∂_ndie Richtungsableitung in Richtung der ¨außeren Nor-malen an ∂Ω.

Es sei nun zun¨achst A ein elliptischer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten. Zur L¨osung der Gleichung (λ−A)u = f mit Dirichlet oder Neumann Randbedingungen wollen wir das zuvor gezeigte Ergebnis in R^d mit Hilfe von Reflexion an der Hyperebene{x_d= 0} zeigen. Hierzu bemer-ken wir zun¨achst, dass (λ−A)⁻¹ durch einen Calder´on-Zygmund-Kern K_λ gegeben ist, da das zugeh¨orige Symbol (λ−a(ξ))⁻¹ ein Symbol der Ord-nung 0 ist. Das heißt (λ−A)⁻¹f = K_λ ∗f und diese Darstellung liefert unmittelbar, dassu= (λ−A)⁻¹f ∈C^∞ gilt, fallsf ∈C^∞.

Es sei nunf ∈C_c^∞(R^d

+) Wir definieren f_D(x^′, x_d) =

−f(x^′,−x_d) f¨ur x_d<0, f(x^′, x_d) f¨ur x_d>0.

Damit ist f_D ungerade in der letzten Variable. Nun definieren wir u_D ∈ C^∞(R^d) ∩L^p(R^d) als L¨osung von (λ−A)u = fD in R^d. Damit ist uD

2. L ¨OSUNGSTHEORIE IN R^d

+ 65

ebenfalls ungerade, denn es gilt

(λ−A)(u_D(.,−.)|x=(x^′,xd)= ((λ−A)u_D)(x^′,−x_d)

=f_D(x^′,−x_d)

=−f_D(x^′, x_d)

= (λ−A)(−u_D)(x^′, x_d).

Also l¨ost sowohl u_D(.,−.) als auch −u_D die Gleichung (λ−A)u = −f_D. Die Funktionenu_D(.,−.) und−u_D m¨ussen damit ¨ubereinstimmen. Dau_D ∈ C^∞(R^d) gilt folgt insbesondereu_D(x^′,0) = 0 f¨ur allex^′ ∈R^d−1. Die Funktion uD gen¨ugt daher der Dirichlet Randbedingung unduD|R^d

+ l¨ost (λ−A)u=f inR^d

+

u= 0 auf ∂R^d₊ Insbesondere folgen die Normabsch¨atzungen (37) da kD^αu_Dk_L^p₍R^d

+)≤ kD^αu_DkL^p(Rd)≤ C

|λ|^1−|α|/2kf_DkL^p(Rd)≤ C

|λ|^1−|α|/22kfk_L^p₍R^d

+). Da C_c^∞(R^d

+) dicht in L^p(R^d

+) liegt, l¨asst sich (λ−A)⁻¹ auf ganz L^p(R^d

+) eindeutig fortsetzen.

F¨ur Neumann-Randbedingungen setzt manf gerade nachR^dfort und erh¨alt analoge Absch¨atzungen. Außerdem erh¨alt man durch exakt gleiche Argu-mentation des Beweises von Theorem 1.2 auch die Aussagen dieses Satzes f¨urR^d

+stattR^dund wir haben das folgende Theorem entsprechend zu Theo-rem 1.2 gezeigt.

Theorem 2.1. Es seien A und B wie im letzten Abschnitt gegeben. Dann gibt es Konstanten ε, λ₀, C, so dass f¨ur λ mit Re λ > 0 und |λ| > λ₀ die Gleichung

(λ−A−B)u=f in R^d

+

Ru= 0 auf ∂R^d₊, (39)

wobei R = Id (Dirichlet-RB) oder R = ∂n (Neumann-RB), f¨ur jedes f ∈ L^p(R^d

+) eine eindeutig bestimmte L¨osung u∈W^2,p(R^d

+) besitzt, falls kaij− α_ijk∞ ≤εgilt. Desweiteren gilt f¨ur u die Absch¨atzung

kD^αuk_L^p₍R^d

+)≤ C

|λ|^1−|α|/2kfk_L^p₍R^d

+). (40)

Bemerkung 2.2. Mit Hilfe dieses Theorems l¨asst sich ein der Differential-gleichung (λ−A)u=f zugeordneter Operator wie folgt definieren

(a) F¨ur Dirichlet-Randbedingungen: D(A_D) = W^2,p(R^d

+)∩W₀^1,p(R^d

+) mitA_Du=Au.

(b) F¨ur Neumann-Randbedingungen: D(A_N) ={u∈W^2,p(R^d

+) :∂_du∈ W₀^1,p(R^d

+)}

3. L ¨OSUNGSTHEORIE IN BESCHR ¨ANKTEN GEBIETEN 66

3. L¨osungstheorie in beschr¨ankten Gebieten Wir betrachten nun die Gleichung

(λ−A)u=f in Ω Ru= 0 auf ∂Ω (41)

wobei A wieder ein elliptischer Differentialoperator und Ω ⊂ R^d ein be-schr¨anktes Gebiet von der KlasseC²ist. Das Hauptresultat f¨ur beschr¨ankte Gebiete ist

Theorem 3.1. Es seien A und B wie im letzten Abschnitt gegeben. Dann gibt es Konstanten ε, λ₀, C, so dass f¨ur λ mit Re λ > 0 und |λ| > λ₀ die Gleichung (41), wobei wie vorher R = Id (Dirichlet-RB) oder R =

∂_n (Neumann-RB), f¨ur jedes f ∈ L^p(Ω) eine eindeutig bestimmte L¨osung u ∈ W^2,p(Ω) besitzt, falls ka_ij −α_ijk∞ ≤ ε gilt. Desweiteren erf¨ullt u die Absch¨atzung

kD^αukL^p(Ω)≤ C

|λ|^1−|α|/2kfkL^p(Ω). (42)

Bemerkung 3.2. Analog zum Fall Ω = R^d

+ k¨onnen wir die folgenden Dif-ferentialoperatoren definieren

(a) F¨ur Dirichlet-Randbedingungen: D(A_D) = W^2,p(R^d

+)∩W₀^1,p(R^d

+) mitA_Du=Au.

(b) F¨ur Neumann-Randbedingungen:D(A_N) ={u∈W^2,p(R^d

+) :∇u|∂Ω· n= 0 im Spursinne}.

Bevor wir das Theorem beweisen, wollen wir noch ein einfaches Korollar formulieren.

Korollar 3.3. Die Operatoren (λ−AD)⁻¹,(λ−AN)⁻¹ :L^p(Ω)→L^p(Ω) sind kompakt, f¨ur alle λf¨ur die sie existieren.

Beweis. Ist Re λ > 0 und |λ| > λ₀ so ist nach Obigem und nach dem Satz von Rellich Id_w : W^2,p(Ω) → L^p(Ω) ein kompakter Operator und (λ−A_D)⁻¹ bzw. (λ−A_N)⁻¹ stetig von L^p(Ω) nach W^2,p(Ω). Also ist (λ−AD)⁻¹ =Idw(λ−AD)⁻¹ :L^p(Ω)→ L^p(Ω) kompakt. F¨ur die ¨ubrigen λf¨ur die die Resolvente existiert verwende die Resolventenidentit¨at aus der

Funktionalanalysis.

Beweis. (von Theorem 3.1, Beweisskizze) Es sei{U_j, j = 1, . . . , n}eine endliche ¨Uberdeckung von ∂Ω, wobei f¨ur die Mengen U_j diamU_j ≤ ε gilt.

Gem¨aß Definition 5.2 aus Kapitel 2 gibt es zugeh¨orige Abbildungen φ_j : Q → U_j. Aus der stetigen Differenzierbarkeit der φ_j folgt, dass sich die Jakobi-Matrix nur um δ(ε) von Id unterscheidet und δ(ε) → 0 f¨ur ε → 0 gilt.

Weiter w¨ahlen wir aus der offenen ¨Uberdeckung{B(x, ε_x) :x∈Ω\S

jU_j, ε_x<

dist(x, ∂Ω)} von Ω\S

jU_j endlich viele aus, etwa {O_j :j =n+ 1, . . . , N}.

3. L ¨OSUNGSTHEORIE IN BESCHR ¨ANKTEN GEBIETEN 67

Wir definieren nun lokale Operatoren. Sei hierzu ϕ_j eine quadratische Zer-legung der Eins (d.h. P

jϕ²_j = 1) zu{U_j} ∪ {O_j}. Damit setzen wir:

(a) Fall j≤n: Wir definieren u_j als L¨osung von (λ−A_j)u_j =ϕ_jf =:f_j in R^d.

(b) Falln < j ≤N: Wir definierenu_j = ˜u_j◦φ⁻¹_j , wobei ˜u_j eine L¨osung von

(λ−A˜_j)˜u_j = (ϕ_j ◦φ_j)(f ◦φ_j) inR^d

+

Ru˜_j = 0 auf ∂R^d

+

Hierbei m¨ussen wir die Koeffizienten von ˜A_j so w¨ahlen, dassA_ju_j = ( ˜A˜u_j)◦φ_j =f_j =ϕ_jf gilt. Das bedeutet (wir vernachl¨assigen hier den Indexj)

Au=A(˜u◦φ⁻¹)

= Xd i,l=1

a_il∂_i∂_l(˜u◦φ⁻¹)

= Xd i,l=1

a_il∂_i Xd k=1

˜

u·∂_l(φ⁻¹)_k

!

= Xd i,l=1

a_il



 Xd k,m=1

∂_m∂_ku˜·∂_i(φ⁻¹)_m·∂_l(φ⁻¹)_k+∂_ku˜·∂_i∂_l(φ⁻¹)_k





=: ˜Au.˜

Da f¨ur ε klein jede der Funktionen φ_j bis auf Rotation fast die identische Abbildung ist, ergibt sich, dass der Differentialoperator A˜ eine kleine St¨orung eines elliptischen Operators ist (da ∂iφ⁻¹_m ∼ δ_im). Klein meint hier im Sinne von Theorem 2.1. Daher ist ˜u_j wohldefiniert.

Damit definieren wir den ersten Kandidaten f¨ur die L¨osung auf dem be-schr¨ankten Gebiet durch v(f) :=PN

j=1ϕ_ju_j, dann gilt (λ−A)v=λv−

XN j=1

ϕ_jAu_j+A(ϕ_jv)−ϕ_jAu_j

= XN j=1

λu_j−ϕ_jAu_j−[A, ϕ_j]u_j

= XN j=1

ϕ_jf_j−B(λ−A_j)⁻¹f_j

=:f−T_λf

4. AUSBLICK: EINE WEITERE ANWENDUNG DER FOURIERTRANSFORMATION 68

Aus der Produktregel folgt, dass der Operator [A, ϕ_j] nur Ableitungen er-ster Ordnung in v und als Koeffizienten erste und zweite Ableitungen von ϕ enth¨alt. Daher ist der Operator T_λ : L^p(Ω) → L^p(Ω) stetig mit der Absch¨atzung

kT_λfkp ≤ C

p|λ|kfkp.

F¨urλgroß genug existiert also (Id−T_λ)⁻¹ und wir erhalten schließlich eine L¨osung der Gleichung durchu=v((Id−T_λ)⁻¹f). Die Normabsch¨atzungen f¨uru folgen aus der Beschr¨anktheit von (Id−T_λ)⁻¹ und der Konstruktion

von v.

4. Ausblick: Eine weitere Anwendung der Fouriertransformation Wir betrachten die W¨armeleitungsgleichung in R^d

u_t−∆u= 0 in (0,∞)×R^d u(0) =u₀,

(43)

mit einer Anfangstemperaturverteilungu₀∈ S. Wir suchen also eine Funk-tionu: (0,∞)×R^d→C, die diese Gleichung im Distributionensinne erf¨ullt.

Anwenden der Fouriertransformation ergibt ˆ

u_t+|ξ|²uˆ= 0 in (0,∞)×R^d ˆ

u(0, ξ) = ˆu₀(ξ) inR^d.

Also ist f¨ur festesξ ∈R^ddie L¨osung ˆu(t, ξ) gegeben durch die L¨osung dieser gew¨ohnlichen DGl., n¨amlich

ˆ

u(t, ξ) = e^−t|ξ|2uˆ0(ξ).

Anwenden von F⁻¹ und Beispiel 2.4 aus Kapitel 4 liefert, da F⁻¹f(x) = Ff(−x)

u(t, x) =F⁻¹

e^−t|ξ|2uˆ₀

=

F⁻¹e^−t|ξ|2

∗u₀

=

Fe^−t|ξ|2

∗u₀

= 1

2t d/2

e^−|x|

2 4t ∗u₀

=:G_t∗u₀.

Die Funktion G_t wird auch Gauss-Kern genannt. Es gilt kG_tk1 = 1 und daher folgt mit der Ungleichung von Young f¨ur die Faltung, dass der durch u(t) = G_t ∗u₀ definierte Operator stetig auf L^p(R^d) f¨ur alle t > 0 ist.

Desweiteren istG_t analytisch in dem Parameter t. Da auch ∂^k_tG_t∈L¹(R^d) f¨ur k ∈ N, folgt, dass damit u(t, x) = Gt∗u0(x) sogar analytisch in t f¨ur t >0 ist.

KAPITEL 7

Evolutionsgleichungen – Das abstrakte

Im Dokument Partielle Differentialgleichungen I Matthias Geißert, Robert Haller-Dintelmann, Horst Heck (Seite 67-74)