Kennzeichnung von Korngrößenverteilungen

Um sehr verschieden geformte Teilchen miteinander vergleichen zu können, wird eine Teilchengröße X eingeführt, welche dem Durchmesser einer volumengleichen Kugel ent-spricht. Innerhalb des Kristallhaufwerkes liegt X verteilt vor. Die Teilchengröße eines zu-fällig ausgewählten Kristalls im Kristallhaufwerk kann mathematisch als Zufallsgröße be-handelt werden. Wenn X eine Zufallsgröße ist, so bezeichnet man Q(L) = P(X < L) als Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X. Der Wert der Verteilungsfunktion Q an der Stelle L ist gleich der Wahrscheinlichkeit P dafür, daß die Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der kleiner als L ist. Die Zufallsgröße Kristallgröße kann stetig, als analytischer Ausdruck, oder diskret, als Ergebnis experimenteller Untersuchungen vorliegen. Ist die Kristallgröße X eine diskrete Zufallsgröße mit den Wahrscheinlichkeiten p_i = P(X = L_i), so gilt für die Verteilungsfunktion

å

<

=

L L

i i

p )

L (

Q mit

Ges i i

N

p = DN . (4-1)

In diesem Fall ist Q(L) eine Treppenfunktion mit L_i als Sprungstellen und p_i als Sprunghö-hen. Die Wahrscheinlichkeiten p_i repräsentieren die Anzahl Teilchen D N_i , die in eine Grö-ßenklasse i eingeordnet werden können, normiert mit der Gesamtanzahl N_Ges.

Analog zur Darstellung einer diskrete Zufallsgröße kann die Verteilungsfunktion für eine stetige Zufallsgröße in folgender Weise dargestellt werden:

ò

¥

-=

L

t d ) t ( n ) L (

F (4-2)

n(L) ist hierbei die Dichte der Verteilung, t eine Integrationsvariable. Schreibt man Glei-chung 4-2 in differentieller Form, so ergibt sich für die Verteilungsdichte

L d

) L ( F ) d L (

n = . (4-3)

Im diskreten Fall gilt analog q(L) = DQ ( L)/DL. Für kleine D L geht q(L) in die stetige Verteilungsdichtefunktion n(L) über.

Für die Darstellung einer Teilchengröße durch den Durchmesser der volumengleichen Ku-gel muß das Teilchenvolumen bekannt sein. Im allgemeinen ist eine direkte Messung der Partikelvolumina jedoch nicht möglich. Disperse Systeme werden deshalb anhand physi-kalischer Eigenschaften der Partikel, z.B. Masse, Volumen oder Sinkgeschwindigkeit, cha-rakterisiert. Entsprechend dieser meßbaren Eigenschaften, den Partikelmerkmalen, werden die Teilchen in Klassen eingeteilt. Die Bewertung der Teilchenmenge innerhalb einer Klasse erfolgt je nach Mengenart, z.B. Gesamtanzahl oder Gesamtmasse der Teilchen pro Klasse. Partikelmerkmal und Mengenart sind charakteristisch für ein Meßsystem. In Ta-belle 4-1 sind diese Größen für häufig verwendete Meßmethoden zur Charakterisierung von Kornzahlverteilungen dargestellt. Die hier verwendete Anzahlverteilungsdichte n(L) basiert auf der Mengenart Anzahl mit dem Partikelmerkmal charakteristische Länge. Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Mengenarten sowie die Charakterisierung der Verteilungen durch ihre Momente sind in Lehrbüchern der mechanischen Verfahrenstech-nik aufgeführt (z.B. [Sbt 90, S. 33ff]).

Meßmethoden mit dem Partikelmerkmal Länge können jedoch nur dann exakt sein, wenn es sich um Teilchen handelt, die mit einer charakteristischen Länge auch eindeutig be-schreibbar sind. Neben Kugeln und Würfeln können das auch unregelmäßig geformte Kör-per verschiedener Größe sein, wenn diese einander ähnlich sind. Für den allgemeinen Fall unregelmäßig geformter Körper verschiedener Größe gilt dies nicht. Da jedoch Meßme-thoden mit dem Partikelmerkmal Volumen in einer Online-Meßanordnung derzeit nicht verfügbar sind, muß man prinzipiell mit einer reduzierten Aussagekraft der experimentell gewonnenen Verteilungen rechnen. Durch die Abbildung der Projektionsfläche eines Teil-chens sowie der sichtbaren Körperkonturen bietet das Meßverfahren digitale Bildverar-beitung eine vergleichsweise günstige Möglichkeit, unregelmäßig geformte Körper in eine Korngrößenverteilung einzuordnen.

Meßverfahren

Einen umfassenden Überblick über die gebräuchlichen Meßverfahren zur Bestimmung der Korngrößenverteilung gibt Allen [All 90]. Unregelmäßig geformte Partikel können durch

Tab. 4-1 Klassifizierung von Partikelhaufwerken: ausgewählte Meßmethoden

Meßsystem Partikelmerkmal Mengenart

Siebanalyse Charakteristische Länge Masse Laserstreulichtmessung Projektionsfläche Anzahl

Coulter Counter System Volumen Anzahl

Sehnenlängenmessung Charakteristische Länge Anzahl Bildverarbeitung Projektionsfläche,

charak-teristische Längen Anzahl

eine charakteristische Länge L beschrieben werden, welche dem Durchmesser der volu-mengleichen Kugel entspricht. Da die Wachstumsgeschwindigkeit G als die zeitliche Än-derung dieser charakteristischen Länge definiert ist, eignet sich eine lineare Teilung der Größenklassen für die Beobachtung des Wachstums eines Partikelhaufwerkes besser als eine nichtlineare Einteilung. Der Meßfehler für die Ermittlung der Wachstumsgeschwin-digkeit aus der zeitlichen Veränderung der Größenverteilung ist bei einer linearen Eintei-lung der Größenklassen unabhängig von der Teilchengröße. Das Meßverfahren digitale Bildverarbeitung besitzt aufgrund der Rasterung der Bildmatrix eine lineare Einteilung der Größenklassen. Hingegen wird bei der Siebanalyse eine auf von Rittinger [Rit 87] zu-rückgehende nichtlineare Einteilung benutzt, um den Feinkornbereich möglichst fein auf-schlüsseln zu können. Viele optische Meßsysteme benutzen ebenfalls eine stark nichtli-neare Teilung der Größenklassen.

Die klassischen Offline-Verfahren - Trocken- und Naßsiebung - werden noch immer, teil-weise auch zu Vergleichszwecken eingesetzt [Hef 91][Ber 90]. Generell werden bei Off-line-Verfahren der Suspension Feststoffproben entnommen, die für die Messung gesondert behandelt werden müssen. Dies kann zu einer teilweisen Veränderung der Probe und damit zur Verfälschung der Meßergebnisse führen. Dominierend sind inzwischen jedoch optische Online-Meßverfahren. Optische Meßmethoden mit einer nachgeschalteten elektronischen Meßwertverarbeitung zeichnen sich dadurch aus, sehr viele Meßwerte in kurzer Zeit auf-nehmen zu können. Die der Messung nachgeschaltete Aufarbeitung der Rohmeßdaten und deren Auswertung kann dabei durchaus im nachhinein erfolgen, vorausgesetzt eine Mög-lichkeit zur Zwischenspeicherung der Daten besteht.

Die Meßverfahren lassen sich hinsichtlich der Einordnung in Größenklassen (Partikel-merkmal) und der eigentlichen Meßgröße (Mengenart) unterscheiden (vgl. Tab. 4-1). Im Fall der Siebanalyse werden die Partikel entsprechend ihrer zweitgrößten Körperabmes-sung und der Anzahl der Siebe Größenklassen zugeordnet. Die gemessene Mengenart ist die Partikelmasse. Für eine konstante Materialdichte kann aus der Masse das Partikelvolu-men bestimmt werden. Besondere Bedeutung besitzt jedoch die Messung der Mengenart Partikelanzahl. Die Einteilung der Partikel in Größenklassen erfolgt je nach Meßverfahren unterschiedlich. Als Meßverfahren haben sich u.a. Laserbeugungs- und Laserstreulicht-messung (Partikelmerkmal: Projektionsfläche) sowie LasersehnenlängenLaserstreulicht-messung [Tad 98]

(Sehnen der Projektionsfläche), das Coulter-Counter-Prinzip (Partikelvolumen) sowie di-gitale Bildverarbeitung (Projektionsfläche) durchgesetzt.

Die Vor- und Nachteile optischer Meßverfahren wurden von verschiedenen Autoren ver-glichen (z.B. [Nai 98] [Etz 95]). Die Autoren betonen den großen Einfluß der Partikelform auf die Messung. Eine Approximation der dreidimensionalen Partikelform wird derzeit mit verschiedenen Methoden versucht (z.B. [Pon 98][Umh 97]). Bei einer bekannten Partikel-gestalt kann man mit Meßsystemen, die auf Laserstreuung basieren, gute Ergebnisse er-zielen (z.B. [Hef 96]). Im Fall einer unbekannten bzw. stark variierenden Gestalt der Teil-chen ist vor allem die digitale Bildverarbeitung gut geeignet, die Objekte einzeln zu ver-messen und mathematisch aufzubereiten. Bei hohen Suspensionsdichten sind optischen Online-Meßverfahren aufgrund der räumlichen Überlagerung der Teilchen nicht verwend-bar. Eine künstliche Herabsetzung der Suspensionsdichte durch Zuführung kristallfreier Lösung identischer Konzentration ist von einigen Autoren versucht wurden [Mea 96].

Testverteilungen

Für alle Meßverfahren sind Kontroll- oder Eichmessungen mit mono- und polydispersen Testteilchen bekannter Abmessungen wichtig, um Messungen realer Korngrößenverteilun-gen durchführen zu können. Zur Überwachung von Produktionsprozessen kann es dageKorngrößenverteilun-gen ausreichen, eine relative Änderung der Verteilung zu registrieren. (Dies kann insbesondere für schnelle Inline-Messungen interessant sein, z.B. bei einer speziellen Laser-streulichtmeßtechnik mit einem schnell rotierenden feinen Laserstrahl und einer Meß-sonde.) In Abbildung 4-1 sind Anzahlverteilungsdichten verschiedener Partikelmerkmale für zwei geometrisch einfache Körper dargestellt. Das linke Bild zeigt zunächst die Mes-sung einer Probekügelchenverteilung mit den Meßverfahren SehnenlängenmesMes-sung und digitale Bildverarbeitung. Dabei wurde eine sehr enge Größenverteilung von Polystyrol-Partikeln (L=100mm) der Firma DUKE SCIENTIFIC CORP. verwendet. Die Sehnen-längenmessung wurde mit einem Meßsystem CIS-100 der Firma GALAI durchgeführt.

Den experimentellen Ergebnissen sind die analytischen Funktionen der Anzahlverteilungs-dichte für die Partikelmerkmale Sehnenlänge und Kugeldurchmesser gegenübergestellt.

Die Sehnenlängenverteilung einer Kugelprojektion läßt sich analytisch darstellen. Be-trachtet man ein Projektionsbild einer Kugel (Abb. 4-2) mit einer Gleichverteilung von parallel verlaufenden Sehnen, so erhält man für die Sehnenlänge a

( ) ( )

^{2 2}

2 xR aR

R = + und (4-4)

x2

1

a= - . (4-5)

40 60 80 100

K uge ln

E xp erim en t

(N orm a lv erteilun g m it d_K = 1 00 µ m , s= 4 ,2 µ m ) P ro bek örpe rv erteilun g

S ehn enlä nge nm es su ng C IS -1 00 B ildv e ra rb eitung , M eß b ereic h I

T he orie

(m on odis pe rs e V erteilun g d_K = 1 00 ) S ehn enlä nge (G l. 4-8) projek tions fläc he ngle ic he r K re isd urch m es s er

Anzahlverteilungsdichte

Lä nge [µ m ]

0 20 40 60 80 100 120

W ü rfel

(m on od ispe rs L = 8 0 .5 µ m ,

N u m e risch b ere ch n ete V e rte ilun g sdich ten ) S e h ne nlä ng e

p roje ktion sfläch en g le iche r K re isdu rchm esse r

vo lum e ng leich er K u ge ldu rchm e sse r

K u g eln

(m on od ispe rs d_K = 1 00 µ m , A n a lytisch e V e rteilu ng sdich ten )

S e h ne nlä ng e (G l. 4 -8)

vo lum e ng leich er K u ge ldu rchm e sse r

L än g e [µ m ]

Abb. 4-1 Anzahlverteilungsdichte verschiedener Partikelmerkmale:

Vergleich einer schmalen Kugelverteilung (links) mit analytisch und nume-risch berechneten, monodispersen Anzahlverteilungen von Kugel und Würfel (rechts)

Für die Verteilung F (Gl. 4-2) erhält man

ò ò

-=

=

R

R

R

0

x d ) x ( a 2 x d ) x ( a ) a (

F und (4-6)

a d

x )d x ( a a 2

d ) a ( F ) d a (

F = = . (4-7)

Mit dx/da=a/ 1-a² ergibt sich ein Aus-druck für die Anzahldichteverteilung n (Gl. 4-3) der Sehnenlängen einer Kugel-projektion

2 2

a 1

a ) 2 a ( n

= - . (4-8)

mit 0£a£1. In Abbildung 4-1 (rechts) sind zusätzlich Simulationsergebnisse für vo-lumengleiche Würfel eingetragen. Dazu wurden die Meßverfahren Sehnenlängenmessung und digitale Bildverarbeitung simuliert sowie die Anzahlverteilungsdichten numerisch be-rechnet. Der volumengleiche Kugeldurchmesser der monodispersen Würfelverteilung ist dabei definitionsgemäß mit dem der Kugelverteilung identisch.

Abbildung 4-1 verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Partikelmerkmal und Partikel-form. Verteilungen von Kugeln bzw. kugelförmige Partikel sind mit einem Meßverfahren relativ genau erfaßbar. Partikel, die Abweichungen von der Kugelform aufweisen, führen jedoch zu einer Aufweitung und Verschiebung der meßbaren Anzahlverteilung. Dies wird insbesondere bei der Sehnenlängenmessung der monodispers verteilten Würfel deutlich.

Kristalle lassen sich im allgemeinen schlecht durch eine Kugelform approximieren. Für Meßverfahren, die auf dem Partikelmerkmal Projektionsfläche basieren, ist für kristalline Partikel daher immer mit einer Abweichung der meßbaren von der realen Verteilung zu rechnen.

Im Dokument Chargenkristallisation und Wachstumsdispersion - Experimentelle und theoretische Untersuchungen (Seite 43-47)