Eine der wichtigsten Größen, mit denen man einen Resonator beschreiben kann ist die so genannte Impedanz. Sie ist ausschlaggebend für die Effizienz eines Beschleunigers, da Sie beschreibt, wie gut ein Resonator die eingekoppelte Hochfrequenzleistung in Beschleuni-gungsspannung umwandelt.
Hierzu aber erst ein paar Vorüberlegungen ausgehend vom Schwingkreis.
Abb. 5.15: Schaltbild eines Schwingkreises zur Erklärung der Impedanz
Wie in allen Schaltkreisen gilt auch hier die Kirchhoffsche Knotenregel, nach welcher die Summe aller Ströme verschwindet. Für den Schwingkreis ist dann:
Ig=IC+IL+IR (5.27)
Drückt man die Einzelströme durch die jeweiligen Spannungen aus und setzt dies schließ-lich in (5.27) ein, so ergibt sich:
IR= U
Betreibt man den Schwingkreis mit einer Wechselstromquelle und wählt den allgemeinen Ansatz, dass eine Phasenverschiebungϕzwischen Strom und Spannung herrscht, so ergibt sich durch Einsetzen und Kürzen folgender Zusammenhang:
Ug(t) = U =U0eiωt (5.30)
Y heißt Admitanz oder komplexer Leitwert des Schwingkreises. Bildet man den Kehrwert, so erhält man den Wechselstromwiderstand bzw. die ImpedanzZ∗.
Z∗= 1
iωC+iωL1 +R1p (5.34)
Interesant für uns sind hier aber nicht alle Fälle, sondern nur der Fall der Resonanz. Es gilt dann:
ωC− 1
ωL = 0 (5.35)
Für diesen Fall verschwinden die komplexen Lösungen, was bedeutet, dass die Impedanz Z identisch mit dem Parallelersatzwiderstand ist. Für die Resonanzfrequenz gilt dann die Thomsongleichung:
ω= 1
√LC (5.36)
Im Hochfrequenzfall eines Resonator und für die Beschleunigung interessiert für Z ins-besondere die Scheitelspannung. Man kann ausgehend von P = 12RI02 und U0=RI0 die Impedanz in die übliche Form umwandeln und erhält:
R0 = U02
P (5.37)
Um verschiedene Resonatoren miteinander vergleichen zu können muss die Längenab-hängigkeit der Impedanz eliminiert werden. Man definiert daher die längenunabhängige Shuntimpedanz für vielzellige Driftröhrenstrukturen.
Z0 = U02
P L (5.38)
Behält man die Definition der Güte (5.3) und die Definition der Impedanz (5.37) im Kopf und betrachtet schließlich die im Schwingkreis bzw. Resonator gespeicherte Energie W, so kann man folgenden Zusammenhang herleiten:
W = 1
Hieraus ist erkennbar, dass die Shuntimpedanz direkt proportional zur Güte des Reso-nators und umgekehrt proportional zu dessen Kapazität ist.
Die zu Beginn dieses Abschnitts aufgestellte Behauptung, die Shuntimpedanz sei ein Maß für die Effizienz eines Beschleunigers wurde hier nachgewiesen. Die benötigte Leistung zum Erreichen einer gegebenen Spannung lässt sich nach Bestimmung der Shuntimpedanz nun einfach bestimmen.
6 Messverfahren und Analyse
Im Folgenden sollen die wichtigsten Messverfahren und die Analyse der Messdaten be-schrieben werden.
Alle hier gezeigten Messungen werden mit einem Netzwerkanalysator durchgeführt und beruhen auf dem Prinzip, dass eine vom Generator erzeugte Hochfrequenzwelle durch ein zu untersuchendes Bauteil (Device Under Test), in diesem Fall dem Beschleuniger, verändert wird.
6.1 S-Parameter
Besitzt ein Beschleuniger eine Ein- und eine Auskopplung, so wird ein Teil der Hoch-frequenzwelle transmittiert und ein anderer Teil reflektiert. Außerdem kann es zu einer Phasenverschiebung zwischen der ein- und ausgekoppelten Hochfrequenzwelle kommen.
Sind die Transformationseigenschaften der Welle in vor- und rücklaufender Richtung be-kannt, so kann der Beschleuniger mit zwei Anschlüssen vollständig beschrieben werden.
Der Zusammenhang zwischen ein- und auslaufender Welle ergibt sich durch Multiplika-tion mit der sogenannten StreumatrixS:e
b=Se·a (6.41)
Die Streumatrix enthält alle Informationen der Transformation von der ein- zur auslau-fenden Welle. Wobei a die einlaufende und b die auslaufende Welle ist.
Abb. 6.16: Schema einer Messung mit Hilfe eines Netzwerkanalysators zur Erklärung der S-Parameter
In unserem Fall genügt eine 2×2-Matrix zur Beschreibung des Systems, da sich ein Beschleuniger mit zwei Anschlüssen als 4-Pol idealisieren lässt.
µb1 b2
¶
= Ã
S11 S12 S21 S22
! µa1 a2
¶
(6.42)
In expliziter Schreibweise sieht das Gleichungssystem folgendermaßen aus:
b1 = S11a1+S12a2 (6.43)
b2 = S21a1+S22a2 (6.44)
Formt man nun nach den für uns interessanten Streuparametern S11 und S21 um, so ergibt sich:
S11 = b1−S12a2
a1 (6.45)
S21 = b2−S22a2
a1 (6.46)
Während der im Weiteren beschriebenen Messungen wird im Allgemeinen sichergestellt, dass die Netzwerkanalysatoreingänge angepasst sind, so dass sich keine reflektierte Welle an Port 2 ausbildet und somit a2 = 0 ist.
Es ergibt sich dann folgender einfacher Zusammenhang:
S11 = b1
a1 (6.47)
S21 = b2
a1 (6.48)
Es ist erkennbar, dass die S-Parameter im Wesentlichen Amplitudenverhältnisse sind.
Gemäß (6.47) gilt, dassS11 das Verhältnis von reflektierter (b1) und einlaufender Wellen (a1) ist. Gemäß (6.48) gilt dann, dass S21 das Verhältnis von transmittierter (b2) und einlaufender Welle (a1) ist.
Man spricht deshalb bei Messungen von S21 vom “Messen in Transmission“ und bei Messungen von S11vom “Messen in Reflektion“.
Durch das quadratische Verhältnis aus Leistung und Feld- bzw. Spannungsamplituden ergibt sich ein Zusammenhang zwischen den S-Parametern und der Leistung:
|S11| =
Die Verhältnisse zwischen Vorwärtsleistung und reflektierter Leistung bzw. transmitierter Leistung erhält man durch Quadrieren von6.49) und (6.50):
|S11|2 =
Üblicherweise findet die Angabe der S-Parameter in dB statt.
dB ist allgemein eine logarithmische Einheit, die ein VerhältnisDaus zwei gleichartigen Leistungs- bzw. Energiegrößen beschreibt. Es gilt:
D= 10·log10 µP2
P1
¶
(6.53) Durch das bereits vorher ausgenutzte quadratische Verhältnis zwischen Leistung und Spannung ergibt sich ein einfacher Zusammenhang:
D[dB] = 10·log10
Die Angabe der S-Parameter in dB ist also eindeutig.
Für die Berechnung z.B. der reflektierten Leistung aus den S-Parametern und der Vor-wärtsleistung stellt man die Gleichung (6.54) nach dem Leistungsverhältnis um:
|S11| = Bei der Durchführung einer Messung ist zu beachten, dass sich die Beträge der seriell durchlaufenen Dämpfungen multiplizieren, während sich die Dämpfungen in dB addieren:
|D| =
Da dB eine logarithmische Einheit ist und nur Verhältnisse von gleichen Größen be-schreibt ist es dimensionslos.
Es kann aber durchaus sinnvoll sein eine Bezugsgröße zu definieren, so dass man auch dimensionsbehaftete Größen ausdrücken kann. Gängig ist hier das dBm, welches wie folgt definiert ist.
0dBm = 1mW
−10dBm = 0.1mW 20dBm = 100mW
Wie man sieht gilt, nach (6.56), dass eine Abschwächung um 10dB einer absoluten Re-duktion der Leistung um den Faktor 10 entspricht.
Eine Abschwächung um 3dB entspricht dann einer absoluten Reduktion der Leistung um etwa den Faktor 2.