600 325 250 200 160
|A|[µm/Step] 120
40
|ˆaAkt.|[Step]
80
x [mm]
10 1
0.01 0.1 0.1 1
Abb. 2.8:Betrag des Aktuator¨ubertragungsfaktors|A|als Funktion der Stromabposition x mit Hystereseinvertierung (gestrichelt) und ohne Hystereseinvertierung. Der Parameter Ak-tuatoramplitude |ˆaAkt.| wird durch die seitliche Farbskala den Farben der Kurven zugeordnet.
Strouhalzahl Srd = 0.73.
werden die Grenzen der Teilintervalle so verschoben, dass die H¨aufigkeitsdichte ¨uber dem Pixel-Intervall konstant wird; dies geschieht allerdings nur, wenn die Gesamth¨aufigkeiten in dem be-trachteten und den beiden benachbarten Pixel-Intervallen nur um maximal 10% differieren.
So kann man relativ sicher sein, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Tintenfadens in dem betrachteten Pixel-Intervall tats¨achlich gleichverteilt ist. Als Maß f¨ur die Sicherheit der Sch¨atzung der Verteilung wird hier aus Rechenzeitgr¨unden einfach eine bestimmte Anzahl von Treffern (30-60) im mittleren Teilintervall des mittleren Pixel-Intervalls benutzt. Andere Maße wie die
”Gl¨atte der Verteilung“ oder die
”Gesamtanzahl der Treffer“ k¨onnen nicht ohne zus¨ atz-liche zeitintensive Rechenoperationen abgefragt werden. Bei der Invertierung werden den alten 100 Teilintervallen gleichverteilte 20 neue Teilintervalle zugeordnet. Anschließend werden die 20 wieder auf 100 linear interpoliert, so dass eine m¨oglichst glatte Inverse entsteht. Als Beispiel f¨ur eine Invertierung ist in Abb. 2.7 ohne und mit Online-Invertierung gemessen worden.
2.4 Hysterese der Aktuatoranregung
Bei Messungen mit sehr kleinen Aktuatoramplituden (siehe Abschnitt5.3.3) wurde festgestellt, dass das Verh¨altnis zwischen der Streichlinienauslenkung (Messsignal) und dem verursachenden Aktuatorsignal sehr klein wird, was zur Instabilit¨at einer adaptiven Regelung f¨uhren kann.
Daher wird die Beziehung zwischen Aktuatorsignal und Streichlinienauslenkung hier detailliert untersucht.
Der in Abb. 2.8 aufgetragene Betrag des Aktuator¨ubertragungsfunktion |A|:
A(x,aˆAkt.) := η(x,ˆ ˆaAkt.) ˆ aAkt.
, (2.8)
nimmt f¨ur kleinere Aktuatoramplituden |ˆaAkt.| deutlich ab. Die Aktuatorauslenkung ist da-bei die Eingangsgr¨oße des Schrittmotors und wird in Steps gemessen (siehe Anhang C.1). Der Schrittmotor bewegt ¨uber eine Pumpe die Membranen, deren Auslenkung bzw. verdr¨angtes Vo-lumen soll m¨oglichst genau proportional zur Aktuatorauslenkung sein. Dies ist jedoch nur f¨ur gr¨oßere Aktuatoramplituden der Fall. Da eine direkte Messung der Membranauslenkung, bzw.
des von ihr verdr¨angten Volumens nicht m¨oglich ist, soll die erzeugte Streichlinienauslenkung als direktes Maß f¨ur die Membranauslenkung genutzt werden. Die Streichlinienauslenkungsam-plitude ˆη(x,ˆaAkt.) setzt sich zum einen aus dem direkt von den Membranen induzierten Feld und zum anderen aus der Entwicklung der Instabilit¨atswelle zusammen. Als charakteristische Mess-gr¨oße der Membranbewegung, die durch die effektive Aktuatorbewegung erzeugt wird, kann ˆ
η nur im D¨usennahbereich dienen, da dort der nichtlinear von ˆaAkt. abh¨angige Anteil der In-stabilit¨atswelle vernachl¨assigbar ist (AbschnittB.1.2). Daher zeigen die zu verschiedenen ˆaAkt.
gemessenen A(x,ˆaAkt.) eine im wesentlichen identische x-Abh¨angigkeit. F¨ur verschiedene An-regungsfrequenzen und Str¨omungsgeschwindigkeiten erh¨alt man ¨ahnliche Abh¨angigkeiten des mittleren ¨Ubertragungsfaktors hAix<1.2mm von der Aktuatorauslenkung (siehe Abb. 2.9).
Hier soll f¨ur die quantitative Beschreibung von A(ˆaAkt.) ein einfaches Modell einer statischen Hysterese angenommen werden: Die Aktuatoramplitude ˆaAkt. wird dazu in einen effektiven Anteil ˆaEff., der die Streichlinienauslenkung erzeugt, und einen sogenannten Hystereseanteil ˆ
aHyst., der den Freilauf bzw. die verminderte Effekitivit¨at des Aktuators bei kleinen Amplituden beschreibt, zerlegt:
ˆ
aAkt. = ˆaEff.+ ˆaHyst., (2.9)
wobei ˆaHyst. nicht notwendigerweise konstant ist, sondern durchaus von ˆaAkt. abh¨angen kann.
Erst mit gr¨oßer werdendem ˆaAkt. wird angenommen, dass der Freilauf vollst¨andig durchfahren ist, und somit ˆaHyst. konstant wird. Der effektive Anteil ˆaEff. erzeugt eine Streichlinienauslen-kung:
ˆ
η=Aasymp.·ˆaEff.(ˆaAkt.), (2.10)
die durch einen unbekannten ¨Ubertragungsfaktor Aasymp. gegeben ist. Da mit steigender Ak-tuatoramplitude – so das Modell – ˆaHyst. konstant wird, kann Aasymp. asymptotisch bestimmt werden:
Aasymp.:= lim
|ˆaAkt.|→∞
ˆ
η(ˆaEff.(ˆaAkt.)) ˆ
aAkt. . (2.11)
2.4. Hysterese der Aktuatoranregung 17
0 4 5
Srd
Aktuatoramplitude |ˆaAkt.| [Step]
100 200 300 400 500
x 10-2
Abb. 2.9: Aktuator¨ubertragungsfaktor gegen Aktuatorauslenkungsamplitude im D¨usennahbereich x < 1.2 mm gemittelt, f¨ur verschiedene Strouhalzahlen Srd. Die Messung mit Srd = 1.38 wurde durch eine sehr langsame Str¨omungsgeschwindigkeit realisiert, so dass sich dort die Farbstofflamelle stark verbreitert hat. Die kleinen Auslenkungen (< 1/100 mm) lassen sich nur mit Unsicherheit bestimmen.
Aus Gleichung 2.9 folgt dann, unter Vernachl¨assigung von Phasenunterschieden bei den ¨ Uber-tragungsfaktoren, f¨ur die Hysterese des Aktuators:
|ˆaHyst.(ˆaAkt.)| = |ˆaAkt.| − |ˆη/Aasymp.|=
Der in Abbildung 2.10 dargestellte Hystereseanteil ˆaHyst. als Funktion der gesamten Aktuator-amplitude ˆaAkt. steigt zun¨achst ann¨ahernd linear an und wird dann konstant. Somit k¨onnen zwei lineare Funktionen benutzt werden, um die Hysterese zu beschreiben. Bez¨uglich der Ak-tuatorauslenkung ergibt sich dann das Hysteresediagramm in Abb. 2.10.
Aus der gefundenen Hysterese kann ein invertiertes Signal ainvertiert(t) f¨ur den Schrittmo-tor berechnet werden, so dass der Ort der Membranen genau das Soll-Signal aSoll(t) er-reicht. Zur Berechnung wird die Soll-Position der letzten Umkehr aSoll(tUmkehr) und die dort zum Zeitpunkt tUmkehr addierte Korrektur aKorrektur(tUmkehr) gespeichert. Entsprechend
|aSoll(tUmkehr)−aSoll(t)| wird die Korrektur f¨ur den Schrittmotor durch die ermittelte Hysterese berechnet.
Abbildung 2.11 zeigt das invertierte Signal ainvertiert(t) f¨ur ein synthetisches Dreieckssignal
100 200 300 400 500 0 39
0 5 10 15 20 25
|ˆaHyst.|[Step]
Aktuatoramplitude |ˆaAkt.| [Step]
-100 0 100
100
0 aEff.(t)[Step]
aAkt.(t) [Step]
Interpolation 24
78
24 aus Messwerten
Abb. 2.10: Hysterese. Aus den Wechselamplituden bestimmte Hystereseamplitude (siehe Gl. (2.12)) und effektive Ausgangsauslenkung aEff. gegen die Eingangsauslenkung aAkt..
aSoll(t) Soll-Signal
50 150 200 250 300 350 400 450
-300 -200 -100 0 100 200
Aktuatorsignala(t)[Step]
Zeit t [1/fsampling] invertiertes Signal
ainvertiert(t)
Korrektur
0 100
Abb. 2.11: Hystereseinvertierung. Soll-Signal der Membranauslenkung und invertiertes Si-gnal zur Ansteuerung des Schrittmotors.
2.4. Hysterese der Aktuatoranregung 19 aSoll(t), das durch die Korrektur f¨ur den Schrittmotor aufgearbeitet wurde. Die in den Um-kehrpunkten benutzte Korrektur aKorrektur(tUmkehr) muss dabei ber¨ucksichtigt werden, da die Aktuatoren sonst an diesen Punkten einen Sprung machen w¨urden. Bei der Implementation wurde die aktuelle Aktuatorposition innerhalb des Freilaufs nicht ber¨ucksichtigt, so dass es bei kleinen asymetrischen Aktuatorauslenkungen zu einer langsamen Verschiebung der Nullpositi-on des Schrittmotors kommen kann; in Abb.2.11wird dies beit·fsampling = 350 deutlich. Daher wird die Korrektur durch einen nahe bei eins gelegenen Vergessensfaktor auf kontinuierlich Null hingef¨uhrt.
21
Kapitel 3
Modellierung der konvektiven Instabilit¨ at
Die konvektive Instabilit¨at des Freistrahls f¨uhrt zusammen mit der Strahl-Kanten-Wechsel-wirkung zu der in Kap. 4 detailliert beschriebenen globalen Instabilit¨at. Die dort beschriebe-nen Wechselwirkungen basieren auf dem Geschwindigkeitsfeld der Freistrahlinstabilit¨at. Die gemessene Streichlinie integriert ¨uber dieses und f¨uhrt zu einer schwierigen Vermischung von Gleichstr¨omungsfeld und Instabilit¨atswellenfeld. In diesem Kapitel wird die konvektive Instabi-lit¨at und deren S¨attigung mit wachsender Anregungsamplitude modelliert. Durch Integration der Streichlinie kann unter anderem auch der experimentell gefundene Widerspruch aufgel¨osst werden, dass die Phasendrehung pro Laufl¨ange der Streichlinie mit wachsender Anregungsam-plitude abnimmt, w¨ahrend die der konvektiven Instabilit¨at zunimmt.
3.1 Rayleigh-Gleichung
Zun¨achst sei eine reine Parallelstr¨omung mit dem Hauptstr¨omungsprofilU(y) betrachtet. Wird die Parallelstr¨omung an einer Stelle zeitlich sinusf¨ormig mit der Kreisfrequenz ωs und mit in-finitesimaler Amplitude gest¨ort, so l¨asst sich im Sinne der klassischen Stabilit¨atstheorie die Stromfunktion Φ in gen¨ugendem Abstand stromab der St¨orstelle und in einem gewissen Fre-quenzbereich als Summe eines zeitlich gemittelten Teils
Φ = Z y
0
U(y0)dy0 (3.1)
und einer Welle mit der Wellenl¨ange 2π/Re{k} sowie der r¨aumlichen Anfachung Im{k} (in komplexer Schreibweise) darstellen:
Φ(x, y, t) = Φ(y) + ˜Φ(x, y, t) = Φ(y) + ˆΦ(y)·ei(ωst−kx). (3.2) Die zeitliche Entwicklung der Phase der Instabilit¨atswelle wird hier – wie in der Signaltheo-rie ¨ublich – durch e+iωst beschrieben, so dass ein positiver Imagin¨arteil der Wellenzahl eine
Pendelmode
Abb. 3.1: Pump- und Pendelmode f¨ur einen Freistrahl mit U(y) = U0/cosh(y/b)2-Profil.
(Srb= 2πf b/U0 ist die auf den Skalierungsfaktor b bezogene Strouhalzahl).
Anfachung darstellt. Durch die linearisierte Eulergleichung l¨asst sich f¨ur die Amplitude der Wechselstromfunktion ˆΦ(y) die Rayleigh-Gleichung [41] ableiten:
wobei als Randbedingung zu fordern ist, dass ˆΦ(y) f¨ury → ±∞ verschwindet; das gleiche gilt an den Kanalw¨anden, da dort die Normalschnelle ˆv =−∂∂xΦˆ =−ikΦ = 0. Die L¨ˆ osungen dieser Eigenwertgleichung liefern komplexe Dispersionsrelationen zwischen der eingebrachten reellen St¨orfrequenzωsund der komplexen Wellenzahlk(U , ωs). Oberhalb einer gewissen Grenzfrequenz ωgrenz findet jedoch keine Wellenausbreitung im Sinne des in Gl. (3.2) gemachten Exponential-ansatzes mehr statt, so dass die Dispersionsrelation f¨urω > ωgrenznicht definiert ist. Die daraus entstehenden Probleme sind in Kap. 3.7 beschrieben.
Analytische L¨osungen der Rayleigh-Gleichung3.3sind von S.Chandrasekhar[6] zusammen-getragen worden. Numerische Methoden sind bei A.Michalke [33], R.Betchow & W.O.
Criminale [2] zu finden. Hier wurde ein Ricatti Schießverfahren mit adaptiver Schrittweiten-steuerung [17] zur L¨osung der Rayleigh-Gleichung verwendet.
Das gemessene Gleichstr¨omungsprofil ist die Eingangsgr¨oße der Rayleighgleichung, aus der die zuωs geh¨orige Wellenzahl k berechnet wird. Die Messfehler des Gleichstr¨omungsprofils wirken sich nur dann besonders stark auf k aus, wenn die r¨aumliche Verteilung der Messfehler nach