eingestellt. Dies stimmt nicht mit der Arbeit von Kohnen, Rueger und Sommer-feld (1994) ¨uberein, nach der deutlich mehr Iterationen f¨ur eine korrekte 4-Wege-Kopplung ben¨otigt werden. Diese Aussage geht jedoch davon aus, dass zu Beginn der Kopplung die Quellterme unbekannt sind. Durch die in Gleichung (2.85) beschrie-bene Unterrelaxation erreichen die eingekoppelten Quellterme dabei die korrekten Gr¨oßenordnungen erst sehr sp¨at. Bei Verwendung des quasi-instation¨aren Modells werden jedoch in der jeweils ersten Kopplung eines Eulerschen Zeitschrittes die PSTs der letzten Kopplung des vorhergehenden Zeitschrittes verwendet. Aufgrund der rela-tiv kleinen ¨Anderung des Partikelfeldes zwischen zwei Eulerschen Zeitschritten kann mit Hilfe dieser Sch¨atzung die Anzahl der Kopplungen drastisch reduziert werden.
3.2.1. Lagrange-Rechnungen auf der Basis von Large-Eddy-Simulationen
Im Gegensatz zu den in Abschnitt 2.2.1 beschriebenen station¨aren Verfahren zur Fluidsimulation mit Turbulenzmodellen nach dem RANS-Ansatz sind Large-Eddy-Simulationen (LES) (siehe Abschnitt 2.2.1) immer instation¨ar. Daher wurde im Rah-men dieser Arbeit f¨ur die auf LES-Daten basierenden Lagrange-Rechnungen das in Abschnitt 3.1.2 beschriebene quasi-instation¨are Euler/Lagrange-Verfahren verwen-det. Weiterhin wird in LES-Rechnungen statt eines Turbulenzmodells ein vereinfach-tes Subgrid-Scale-Modell (SGS) verwendet, welches den Einfluss der nicht aufgel¨osten Skalen auf die Fluidbewegung wiedergibt. F¨ur eine erfolgreiche Kopplung von LES und Partikelverfolgung mussten sowohl die turbulente Partikeldispersion als auch die R¨uckkopplung der dispersen Phase auf das SGS-Modell neu implementiert werden.
Partikeldispersion durch nicht aufgel¨oste Turbulenzskalen
Die turbulente Partikeldiffusion basiert im Rahmen von RANS-Simulationen auf der nicht aufgel¨osten turbulenten Fluidbewegung. Diese Bewegung wird in einer LES-Rechnung zum Teil aufgel¨ost, zum Teil durch das SGS-Modell abgebildet (sie-he Abschnitt 2.2.1). Die durch den aufgel¨osten Anteil der Turbulenz verursachte Partikeldiffusion wird folglich auch vom Lagrangeschen Tracking korrekt wiedergege-ben. Es muss also nur noch die vom SGS-Anteil der Turbulenz verursachte Partikel-diffusion modelliert werden. Dazu wurde nach Lilly (1967) die in den nicht aufgel¨osten Skalen enthaltene turbulente kinetische Energie kSGS abgesch¨atzt als
kSGS = η2SGS
(0,094∆)2. (3.5)
Die bei der Verwendung des im Rahmen der Fluidsimulation eingesetzten dynami-schen Ansatzes nach Germano u. a. (1991) auftretenden r¨aumlichen und zeitlichen Schwankungen der turbulenten Viskosit¨atηSGS f¨uhrten in einigen Str¨omungsregionen zu extrem kleinen Lagrangeschen Zeitschritten. Daher wurde das im Rahmen der Partikelsimulation verwendete ηSGS nach dem klassischen Ansatz von Smagorinsky (1963) mit einem konstanten Faktor von CS = 0,1 berechnet:
ηSGS = (CS∆)2 q
2 ¯SijS¯ij. (3.6) Die zur Modellierung ben¨otigte Dissipationsrate wurde nach
= Ck2SGS/3
∆ (3.7)
mit C = 0,7 berechnet (Deardorff, 1980).
Abbildung 3.4.: Dimensionierung der Querstromgeometrie mit W = 0,1 m.
Einfluss der dispersen Phase auf die Large-Eddy-Simulation
Um die R¨uckwirkung der dispersen Phase auf das Fluid wiederzugeben, wurden f¨ur die Geschwindigkeiten ebenso wie in der RANS-Modellierung die Partikelquellterme nach Gouesbet und Berlemont (1998) verwendet (siehe Gleichung (2.86)). Um den Einfluss der Partikelbewegung auf die SGS wiederzugeben, wurde ein Quellterm f¨ur die turbulente kinetische EnergiekSGS in diesen Skalen nach
SkSGS =viSu¯i −u¯iS¯ui (3.8) berechnet und anschließend nach Gleichung (3.6) in eine Quelle f¨ur die turbulente Viskosit¨at der Subgrid-Skalen umgewandelt.
Vergleich zwischen RANS- und LES-Rechnungen
Ein Vergleich zwischen RANS-basierten und hochaufgel¨osten Euler/Lagrange-Simu-lationen wurde der Vermischung zweier Lufttr¨ome in der in Abbildung 3.4 darge-stellten Geometrie durchgef¨uhrt. W¨ahrend der horizontal verlaufende Hauptstrom partikelfrei ist, tr¨agt der von unten einm¨undende Sekund¨arstrom Partikel in einem Gr¨oßenbereich vondP = [20µm; 200µm]. Als mittlere Einlassgeschwindigkeiten wur-den dabeiui1 = 2,0ms bzw. ui2 = 1,0ms gew¨ahlt.
Abbildung 3.5 zeigt einen Vergleich der RANS- bzw. LES-basierten Rechnungen.
Dabei zeigen die hochaufgel¨osten Simulationen sowohl bei Betrachtung der Partikel-konzentration cM als auch bei Betrachtung des mittleren Partikeldurchmessers dP deutlich mehr Details wie z. B. die in Abbildung 3.5(b) erkennbare Str¨ahnenbildung oder die Segregation der Partikelfraktion (Abbildung 3.5(d)).
3.2.2. Sampling auf station¨ arem Tracking
In den hochaufl¨osenden, quasi-instation¨aren Simulationen des Kreisel-Zyklons zeigte sich, dass allein die Berechnung eines Einlaufvorgangs mehrere Monate Rechenzeit ben¨otigt h¨atte (siehe Abschnitt 4.2.3). Um diesen Vorgang abzuk¨urzen, wurde ein
(a) (b)
(c) (d)
Abbildung 3.5.: Vergleich volumengemittelter Ergebnisse aus RANS- und LES-basierten Euler/Lagrange-Simulationen einer einfachen Quer-str¨omung. (a) RANS, Partikelkonzentration cM; (b) LES, Partikel-konzentration cM; (c) RANS, mittlerer Partikeldurchmeser dP; (d) LES, mittlerer Partikeldurchmeser dP.
zus¨atzliches Modell entwickelt, welches Startzust¨ande f¨ur quasi-instation¨are Rech-nungen aus einer station¨aren Lagrange-Simulation ableiten kann.
Die Trajektorien der Parcel im station¨aren Tracking k¨onnen die Partikelbewegung im hochaufgel¨osten Str¨omungsfeld nicht vollkommen korrekt wiedergeben. Insbeson-dere kann die Bewegung der durch die LES aufgel¨osten Wirbel in einer station¨aren Simulation nicht ber¨ucksichtigt werden. Jedoch kann angenommen werden, dass die-se station¨are L¨osung als N¨aherung an das instation¨are Partikelfeld verwendet werden kann.
Daher wurde zun¨achst eine LES-Simulation ohne Partikelverfolgung durchgef¨uhrt.
Diese Berechnung wurde nach Abschluss der Einlaufzeit unterbrochen und ein in-stantanes Fluidfeld abgespeichert. Basierend auf diesem eingefrorenen Fluidfeld wur-de anschließend eine station¨are Lagrange-Simulation durchgef¨uhrt und w¨ahrend des Trackings die Eigenschaften der verfolgten Parcel in regelm¨aßigen Abst¨anden aufge-zeichnet. Jeder dieser Datens¨atze bildete sp¨ater den Injektionspunkt f¨ur ein Parcel, welches dann ¨uber dem nun wieder instation¨ar gerechneten Fluidfeld weiter verfolgt wurde.
Der zeitliche Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Samplings wurde mit∆tSp =
∆tE gleich dem in der Fluidsimulation verwendeten Zeitschritt gew¨ahlt. Um die Mas-senerhaltung zu gew¨ahrleisten, wurde die Anzahl der in einem Parcel vorhandenen Partikel durch Division durch die Samplingrate korrigiert.
3.2.3. Schwarmeffekte
Die bereits in Abschnitt 2.1.2 beschriebenen Schwarmeffekte treten auf, wenn auf-grund lokaler Konzentrationsspitzen die Bewegung benachbarter Partikel nicht l¨anger als unabh¨angig betrachtet werden kann. Die dabei entstehende Behinderung der Par-tikel kann durch eine Modifikation des Widerstandskoeffizienten in Abh¨angigkeit der lokalen Volumenkonzentration des FluidscV,F modelliert werden. Diese Abh¨angigkeit wurde mit dem aus der DEM-Simulation bekannten Modell nach Ergun (1955),Wen und Yu (1966) wiedergegeben. Nach diesem Ansatz wird der bisher verwendete Wi-derstandskoeffizient nach Gleichung (2.49) erweitert auf
CDS =
cV,F <0,2 :c−1,65V,F CD cV,F ≥0,2 : 150 c
2 V,FηF
(1−cV,F)d2P
+ 74cV,FρdF|v−u|
P , (3.9)
wobei die Partikelreynoldszahl im Schwarm ReP S ebenfalls nach
ReP S =cV,FReP (3.10)
modifiziert werden muss. Der ge¨anderte Widerstandskoeffizient f¨allt dabei f¨ur den FallϕF ≈1 in die Form von Gleichung (2.49) zur¨uck.
Dar¨uber hinaus wurde zus¨atzlich das Modell von Di Felice (1994) implementiert.
Dieser Ansatz enth¨alt keinen Modellwechsel bei einem bestimmten Fluidanteil (siehe Abbildung 3.6). Der Widerstandskoeffizient wird dabei berechnet nach
CDS =c−(1+χ)V,F CD (3.11)
χ= 3,7−0,65∗e−(
1,5−log10ReP S)2
2 (3.12)
mit der entsprechend Gleichung (3.10) modifizierten Partikelreynoldszahl ReP S.