µn(t) := R∞
−∞eht,xidµn(x) konvergiere auf Qka punktweise. Dann ist (µn)n
schwach konvergent gegen ein (eindeutig bestimmtes) endliches Maß µ.
Beweis. Sei 0< b < a. Das Integral Ln(z) :=R
Rkehz,xidµn(x) existiert aufSbk und ist dort gleichm¨aßig beschr¨ankt. Es gilt n¨amlich f¨ur z=u+iv∈Sbk
|Ln(z)|= Z
Rk
ehu+iv,xidµn(x) ≤
Z
Rk
ehu,xidµn(x). (371) Aus eux≤P
δ∈{−1,1}kehδb,xi folgt|Ln(z)| ≤P
δ∈{−1,1}kµ˜n(δb) und wegen der punktweisen Konvergenz von (˜µn)n istLn gleichm¨aßig beschr¨ankt aufSbk.
Wir zeigen, dass Ln auf Sak partiell komplex differenzierbar ist. F¨ur alle z ∈Sak−1 istλn(ζ) := R
Rkeh(ζ,z),xidµn(x) holomorph aufSa. Es gilt n¨amlich f¨ur alle kompakten Dreiecke△ ⊂Sa
Z
∂△
eh(ζ,z),xidz= 0, (372)
weil eh(ζ,z),xi f¨ur alle x∈ Rund z ∈ Sak−1 eine holomorphe Funktion inζ ist.
Der Satz von Tonelli liefert dann Z
∂△
λn(ζ)dζ = Z
∂△
Z
Rk
eh(ζ,z),xidµn(x)dζ
= Z
Rk
Z
∂△
eh(ζ,z),xidζ dµn(x) = 0,
(373)
d. h., λn ist holomorph. Wir haben gezeigt, dassLn nach der ersten Variablen partiell komplex differenzierbar ist. F¨ur die anderenk−1 Variablen verwenden wir dasselbe Argument und erhalten, dassLn aufSak partiell komplex differen-zierbar ist.
Die Folge (Ln)n ist auf dem Streifen Sbk partiell komplex differenzierbar und gleichm¨aßig beschr¨ankt. Ferner konvergiert sie auf Qkb. Nach Lemma 73 konvergiert (Ln)n dann gegen eine auf Sbk partiell komplex differenzierbare FunktionL.
Die Folge der Fourier-Transformierten ˆµn(t) =Ln(it) konvergiert demnach auf ganz Rk gegenL(it). Nach Satz 68 ist L(it) die Fourier-Transformierte eines eindeutig bestimmten endlichen Maßesµund die Folge (µn) konvergiert schwach gegenµ.
A.2 Hilfss¨ atze
Proposition 75. Seien B ⊆A6=∅ endliche Mengen und f :A→[1,∞[ eine Abbildung. Es gilt
X
x∈B
f(x)≤ |B|
|A|
1/2X
x∈A
f(x)2. (374)
Beweis. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung liefert
Ist zus¨atzlich q <1, so gilt:
X
und folglich die erste Behauptung. Ebenso gilt X
das liefert die zweite Behauptung.
Korollar 77. F¨ur ganze Zahlen 0≤m≤nmit n≥1 gilt:
Beweis. Ausmultiplizieren der Fakult¨aten f¨uhrt auf und Proposition 64 liefert die erste Ungleichung. Der Zusatz f¨urm=s−kfolgt unmittelbar durch Einsetzen. r≥1. Wir beginnen mit zwei Beobachtungen. Es ist erstens
f(j1, . . . , jn) = X
1≤l1<···<lr≤n
j1. . . jn
jl1. . . jlr
(384) eine symmetrische Funktion, f summiert n¨amlich ¨uber alle M¨oglichkeiten aus j1, . . . , jn jen−rFaktoren auszuw¨ahlen deren Produkte. Eine Permutation der
17Im Fall r = 0 besitzt die innere Summe genau einen Summanden, n¨amlich das leere Produkt. Sie ist also gleich 1. Im Falln= 0 gilt zus¨atzlich dasselbe f¨ur die ¨außere Summe.
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Herr Prof. Dr. Kriecherbauer hat in vielen Diskussionen maßgeblich zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen. Ich danke ihm f¨ur sein außergew¨ohnliches Engagement als Lehrer und als Betreuer auf das Herzlichste.