Grundgleichungen der Asynchronmaschine

Abbildung 4.1 zeigt den Querschnitt der Asynchronmaschine. In Stator und Rotor sind je-weils die Ersatzschaltbilder der einzelnen Wicklungen abgebildet. Diese sind symmetrisch um 120^◦zueinander angeordnet.

4. Die doppelt gespeiste Asynchronmaschine 32

ψ_R1

R_R i_R1

u_R1

ψ_R2

R_R

i_R2 u_R2 ψ_R3 R_R i_R3

u_R3 ψ_S1

R_S

i_S1

u_S1

ψ_S2 R_S i_S2 u_S2

ψ_S3

R_S i_S3

u_S3

Stator Rotor

ε

δ

Abbildung 4.1.: Querschnitt des Maschinenmodells

Im dreiphasigen Originalsystem beschreiben Spannungsgleichungen des Ständers und des Rotors das elektrische Verhalten der Asynchronmaschine in Form von Differentialgleichun-gen. Dabei gelten für Abbildung 4.1:

u_Si(t) =R_S·i_Si+d~ψ_Si

dt (4.1)

u_Ri(t) =R_R·i_Ri+d~ψ_Ri

dt (4.2)

miti=1,2,3.

Durch die Einführung von komplexen Spannungs- und Stromvektoren (Raumzeiger) anstel-le der skalaren Größen können die Spannungsganstel-leichungen des Ständers (4.1) und des Rotors

4. Die doppelt gespeiste Asynchronmaschine 33

(4.2) übersichtlicher dargestellt werden:

~u_S=R_S·~i_S+d~ψ_S

dt (4.3)

~u_R=R_R·~i_R+d~ψ_R

dt (4.4)

dω_m dt = 1

Θ(M_el−M_W) (4.5)

dε

dt =ω_m (4.6)

Neben den Differentialgleichungen, die das elektrische Verhalten beschreiben, sind hier die Differentialgleichungen angegeben, die das mechanische Verhalten beschreiben (4.5 und 4.6). Die Gleichungen sind im Verbraucher-Zählpfeilsystem aufgestellt. Weiterhin ergeben sich die Spannungs- und Stromvektoren in den Gleichungen aus den jeweiligen drei Größen in den einzelnen Wicklungen. Für den komplexen Stator- und Rotorstrom gilt z. B.:

~i_S(t) =i_S1(t) +i_S2(t)·e^j2π3 +i_S3(t)·e^j4π3 (4.7)

~i_R(t) =i_R1(t) +i_R2(t)·e^j2π3 +i_R3(t)·e^j4π3 (4.8)

e^j2π3

e^j4π3

i_S1(t) i_S2(t)·e^j2π3

i_S3(t)·e^j4π3

~i_S(t)

2π 3

ξ

1

Abbildung 4.2.: Komplexer Stromvektor

Abbildung 4.2 zeigt die Konstruktion des komplexen Statorstromvektors~i_S(t). Betrag und Winkel variieren jeweils mit der Zeit gemäß:

~i_S(t) =|i_S(t)| ·e^jξ(t) (4.9) Für den komplexen verketteten Flussvektor in Ständer und Rotor gilt:

ψ~S(t) =L_S·~i_S(t) +M·~i_R(t)·e^jε (4.10)

~ψR(t) =L_R·~i_R(t) +M·~i_S(t)·e^−jε (4.11)

4. Die doppelt gespeiste Asynchronmaschine 34 L_S und L_R sind hierbei die Eigeninduktivitäten der Stator- bzw. Rotorwicklung, M kenn-zeichnet die Gegeninduktivität von Stator- zur Rotorwicklung und ε den resultierenden Winkel zwischen der ersten Stator- zur ersten Rotorachse.

Aus den Gleichungen lässt sich zudem ein Schaltbild konstruieren. Dieses entspricht einem Transformator:

R_S

~i_S

L_S L_R

R_R ~i_R

~u_S ~u_R

M

Abbildung 4.3.: Elektrisches Schaltbild der Maschine Für die Statorinduktivitäten gilt dabei:

L_S=L_hS+L_σS (4.12)

L_S= (1+σ_S)·L_hS (4.13)

σ_S= L_S

L_hS−1 (4.14)

L_hS ist die Drehfeldinduktivität,L_σSdie ständerseitige Streuinduktiviät. Zusammen ergeben beide die Eigeninduktivität des Stators.σ_S kennzeichnet die Ständerstreuziffer.

In Analogie gilt für die Rotorinduktivitäten:

L_R=L_hR+L_σR (4.15)

L_R= (1+σ_R)·L_hR (4.16)

σ_R= L_R

L_hR−1 (4.17)

Aus diesen Größen kann die Gegeninduktivität von Stator- zur Rotorwicklung M und der Blondelscher Streukoeffizientσ bestimmt werden:

σ=1− 1

(1+σ_S)(1+σ_R) (4.18)

M=p

L_hS·L_hR (4.19)

Die Gegeninduktiviät M verhindert einen anschaulichen Überblick über das Verhalten der Maschine in Abbildung 4.3. Deshalb wird ein Ersatzschaltbild eingeführt, in dem die gal-vanische Trennung aufgehoben wird und das Verhalten trotzdem in allen Betriebsfällen der

4. Die doppelt gespeiste Asynchronmaschine 35 Originalschaltung entspricht. Hierzu wird üblicherweise die T-Schaltung benutzt. Die elek-trische Betrachtung der Asynchronmaschine in den Systemgleichungen erfolgt zweckmäßig

„statorseitig“. Deshalb werden alle elektrischen Größen und Parameter des Rotors bezogen auf den Stator mit Hilfe des Übersetzungsverhältnis ¨uumgerechnet.

Das Übersetzungsverhältnis bestimmt sich aus den wirksamen Windungszahlenwvon Sta-tor zu RoSta-tor:

¨ u= w_S

w_R (4.20)

Daraus ergeben sich folgende Zusammenhänge und Vereinfachungen:

~

u_R⁰(t) =u¨·~u_R(t) (4.21)

~i_R⁰(t) = 1

¨

u·~i_R(t) (4.22)

R_R⁰=u¨²·R_R (4.23)

L_R⁰=u¨²·L_R (4.24)

L_hR⁰=u¨²·L_hR=L_hS (4.25) M= 1

¨

u·L_hS (4.26)

Mit den Gleichungen (4.21) - (4.26) kann das Ersatzschaltbild in T-Schaltung aufgestellt werden:

~i_S R_S L_S L_R⁰ R_R⁰ ~i_R⁰

L_hS

~i_m

~u_S u~_R⁰

Abbildung 4.4.: T-Ersatzschaltbild

Durch das T-Ersatzschaltbild wird der Magnetisierungsstrom~i_m eingeführt. Dieser besteht nach dem 1. Kirchhoff’schen Gesetz (Knotenregel) aus Stator- und Rotorstrom.

4. Die doppelt gespeiste Asynchronmaschine 36

4.3. Einführung der Raumzeigerdarstellung im Zweiachsensystem

Die Raumzeigerdarstellung wird im allgemeinen in Dreiphasen-Systemen angewendet. Der Grundgedanke dieser Darstellung beruht darauf, dass die Nullbedingung erfüllt ist: In nem symmetrischen Dreiphasen-System ohne Neutralleiter ist die geometrische Summe ei-ner Größe, wie z. B. des Rotorstroms, gleich Null. Das heißt, durch die Kenntnis von zwei Signalen einer Größe kann das dritte Signal berechnet werden.

Durch Transformation können somit auch die dreiphasigen Größen in ein gleichwertiges zweiphasiges Koordinatensystem (α,β) als Zeiger überführt werden. Dabei ist es zweckmä-ßig, die Achse der ersten Ständergröße in Richtung derα-Achse auszurichten (s. Abbildung 4.5). Das Koordinatensystem wird auch als statorfest bezeichnet.

α jβ

~i_S

i_Sβ i_Sα

ψ_S1 i_S1

u_S1 ψ_S2

i_S2

u_S2

ψ_S3

i_S3 u_S3

ω₀

Abbildung 4.5.: Statorfestes Koordinatensystem

Die Transformation wird als Clarke-Transformation bezeichnet. In Matrixschreibweise lau-tet sie:

i_α i_β

= 2 3

"

1 −¹₂ −¹₂ 0

√3

2 −

√3 2

#

 i₁ i₂ i₃



 (4.27)

4. Die doppelt gespeiste Asynchronmaschine 37 Der Raumzeiger rotiert in dem Koordinatensystem mit einer Kreisfrequenz. Diese ist im Fall der Ständerströme ω₀. Die transformierten Komponenten (i_α, i_β) bleiben weiterhin Wechselgrößen. Rotiert aber das Koordinatensystem mit der gleichen Kreisfrequenz, bleibt der Raumzeiger starr und besteht aus zeitlich konstanten Größen. Die Drehung erfolgt dabei durch eine Rotationsmatrix. Zusammengefasst mit der Clarke-Transformation wird diese auch als Park-Transformation bezeichnet. Allgemein ausgedrückt:

i_A i_B

=

cosϕ sinϕ

−sinϕ cosϕ i_α i_β

(4.28) Grundsätzlich ist es möglich das Koordinatensystem mit jedem beliebigen Winkel rotieren zu lassen. Üblicherweise orientiert sich die Rotation an dem Stator-/Rotorfluss. Die häufigs-te Bezeichnung der Achsen ist hierbeidundq(direct / quadrature axis). Auch ein rotorfestes Koordinatensystem (a,b) ist möglich.

α β

a b

d q

~i_mS

ε ζ µ

ω ω_mS

Abbildung 4.6.: Koordinatensysteme und Raumzeiger

In Abbildung 4.6 ist der „erweiterte Magnetisierungsstromvektor“~i_mS exemplarisch in die bisher genannten Koordinatensysteme eingezeichnet. Der Raumzeiger rotiert dabei genau-so wie das (d,q)-System mit der Kreisfrequenz ω_mS. Der Stromvektor ist zudem in Rich-tung derd-Achse ausgerichtet, sodass diese den Betrag des Vektors aufweist. Derq-Anteil beträgt somit Null. Die Hilfslinien zeigen die jeweiligen gleichwertigen Komponenten im rotorfesten und statorfesten Koordinatensystem.

Die geeignete Wahl des Koordinatensystems wird bei der Ableitung der Signal-flußpläne einen wesentlichen Einfluß auf die Komplexität der SignalSignal-flußpläne haben. [15]

4. Die doppelt gespeiste Asynchronmaschine 38 Die Transformation ist nicht nur auf die elektrischen Ströme beschränkt, sondern kann auch auf alle anderen elektrischen Größen wie Spannung oder Flussverkettung angewandt wer-den. Durch die Inversion der Transformationsmatrizen (4.27) und (4.28) können in analoger Weise die dreiphasigen Wechselgrößen aus den Komponenten des Raumzeigers berechnet werden. Die Inverse der Rotationsmatrix lautet:

i_α i_β

=

cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ

i_A i_B

(4.29) und die inverse Clarke-Transformation:



 i₁ i₂ i₃



=







1 0

−¹₂

√ 3 2

−¹₂ −

√ 3 2





 i_α

i_β

(4.30)

Die ständerbezogenen, komplexen Vektoren~u_S und~i_S können durch die Transformation in das ständerfeste Koordinatensystem (α, β) in Real- und Imaginärteil aufgespalten wer-den:

~u_S(t) =u_Sα+ju_Sβ = 3√ 2

2 U_S·e^−jω0t (4.31)

~i_S(t) =i_Sα+ji_Sβ (4.32)

Aufgrund der Annahme, dass zu jedem Zeitpunkt die Summe der drei Ständerströme null ist, lässt sich die Clarke-Transformation weiter vereinfachen. Dabei liegt die reelle Achse in Richtung der Ständerphase 1, es gilt dadurch für die einzelnen Stromkomponenten:

i_Sα = 3

2·i_S1(t) (4.33)

i_Sβ =

√3

2 ·i_S1(t) +√

3·i_S2(t) (4.34)

Ähnliche Beziehungen ergeben sich, wenn die Rotorgrößen in ein rotorfestes Koordinaten-system (a,b) transformiert werden. Auch hier fällt die reelle Achse des Koordinatensystems in Richtung der Rotorphase 1:

~u_R(t) =u_Ra+ju_Rb (4.35)

~i_R(t) =i_Rb+ji_Rb (4.36)

4. Die doppelt gespeiste Asynchronmaschine 39

Im Dokument Steuerung und Regelung einer Windenergie-Netzeinspeisung mit doppeltgespeistem Asynchrongenerator (Seite 31-39)