F¨ur die folgende grafische Interpretation wird das lineare Modell (3.1) vorausgesetzt. F¨ur jedes Individuum werden die Periodenunterschiede, d.h. die Differenzen pro Individuum von Zeitpunkt 1 zu Zeitpunkt 2 (y-Achse), gegen die Individuumssummen (x-Achse)
ge-geneinander aufgetragen. Je gr¨oßer die Differenz beider Gruppen bez¨uglich der beiden Individuumssummen ist, desto eher kann auf einen Residualeffekt geschlossen werden.
Wenn kein Residualeffekt vorhanden ist, so gilt: Je gr¨oßer der Unterschied zwischen den Individuumsdifferenzen der beiden Gruppen, desto eher kann auf einen Behandlungsef-fekt geschlossen werden. Bei vorhandenem ResidualefBehandlungsef-fekt wird entsprechend mit diesem Vorgang versucht, die Entscheidung ¨uber einen Cross-Over-Effekt zu treffen.
In Grafik5.1sind f¨ur die Asthma-Studie II die Summen und Differenzen der Messwerte pro Individuum aufgetragen. W¨are ein deutlicher Unterschied der beiden Gruppen auf der x-Achse zu beobachten, so deutet dies darauf hin, dass ein Residualeffekt vorhanden ist.
In diesem Fall ist eine leichte Verschiebung auf derx-Achse zu beobachten, die jedoch in erster Linie auf einen großen Wert zur¨uckzuf¨uhren ist. Daher w¨urde man sich hier wohl nicht f¨ur einen Residualeffekt entscheiden. Ferner ist der Unterschied der Summen im Vergleich zum Unterschied in den Differenzen klein. Bez¨uglich dery-Achse ist ein deut-licher Unterschied sichtbar, weshalb man sich f¨ur einen Unterschied in den Behandlungen aussprechen k¨onnte. Man beachte die ¨Aquivalenz dieser Ergebnisse zu den Testergebnis-sen in Abschnitt4.3.1auf Seite43.
Mit Hilfe dieser Vorgehensweise h¨atte jedoch die Asthma-Studie I nicht behandelt wer-den k¨onnen. Das liegt daran, dass Summen und Differenzen dieser ordinalen Daten nicht sinnvoll gebildet werden k¨onnen, und daher die Grundlage dieser Analyse nicht gegeben ist. Jedoch kann man diese Art der Analyse genauso auf die nichtparametrischen Effekte
¨ubertragen. Dazu erst einmal ein paar S¨atze zur grunds¨atzlichen Vorgehensweise. Warum betrachtet man bei der Untersuchung auf einen Residualeffekt die Individuumssummen bzw. bei der Untersuchung auf einen Cross-Over-Effekt die Periodenunterschiede? Im Abschnitt4.2.3wird gezeigt, dass der Sch¨atzer f¨ur den Residualunterschied aus der Dif-ferenz des Mittelwertes der Individuumssummen pro Gruppe zu berechnen ist. Entspre-chendes gilt f¨ur den Cross-Over-Effekt. Da bei der Bildung der Teststatistik diese Sch¨atzer im Z¨ahler stehen, wird die Teststatistik (bei gleichbleibender Varianz) gr¨oßer, wenn die jeweiligen Differenzen zwischen den beiden Gruppen gr¨oßer werden. Und je gr¨oßer die Teststatistik, desto eher kann auf einen entsprechenden Effekt geschlossen werden. Und genau diese Vorgehensweise wird beim zuvor erl¨auterten grafischen Verfahren angewen-det. Um das grafische Verfahren nun auf das nichtparametrische Modell zu ¨ubertragen, werden die Pendants zu den Individuumssummen und Periodenenunterschieden ben¨otigt.
Die Effekte werden ¨uber den Kontrast cpbgebildet, d.h. f¨ur den Residualeffekt ¨aquiva-lent mit bp1. −bp2. und f¨ur den Cross-Over-Effekt mit pb11 +pb22 −pb12 −bp21. Bezeichne des weiteren Ybiks die AHRT als Sch¨atzer vonYiks aus Abschnitt4.2.5vonXiks, und sei Ybik. =Ybik1+Ybik2. Der TermYbik.ist das Analogon zu den Individuumssummensik, denn:
SUMME
DIFFERENZ
-0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
Gruppe 1 Gruppe 2
Abbildung 5.2: Differenzen - Summen Plot ¨uber die Rangtransformationen f¨ur die Asthma-Studie II
und mit der Differenz pro Gruppe der gemitteltenYbik.wird die Teststatistik gebildet. Mit den gleichen ¨Uberlegungen erh¨alt man das Analogon zu den Periodenunterschiedenpik, um den Cross-Over-Effekt zu testen:Ybik.DIF F =Ybik1−Ybik2. Die weitere Analyse verl¨auft wie beim linearen Modell. Auf der y-Achse werden die YbikDIF F’s aufgetragen und auf derx-Achse die Summe der AHRT’s ¨uber beide PeriodenYbik.. Es ergibt sich die Grafik 5.2. Diese Darstellung ist f¨ur ordinale Daten geeignet, da die geplotteten Werte invariant unter monotonen Transformationen sind, also lediglich die Anordnung der Daten in dieser Grafik ber¨ucksichtigt wird.
Die Interpretation verl¨auft dann ebenfalls analog. Der Unterschied der beiden Gruppen bzgl. der Rangtransformationssummen ist zwar sichtbar, jedoch nicht gravierend und
¨ahnelt stark den Relationen aus Grafik 5.1. Daher wird diese leichte Verschiebung eher nicht als unterschiedlicher Nacheffekt in beiden Gruppen interpretiert werden. Bei den Differenzen ist der Unterschied der beiden Gruppen schon sehr viel deutlicher. Jedoch ist dieser Effekt nicht so ausgepr¨agt wie in Grafik 5.1. Und genau das war ja auch in der Auswertung des Beispiels in Abschnitt 4.3.1 der Fall. Bei Annahme des linearen Mo-dells mit Normalverteilung ergab sich ein Cross-Over-Effekt, w¨ahrend bei Anwendung des nichtparametrischen Modells nicht auf einen Nacheffekt geschlossen werden konnte.
Bei diesen Beobachtungen geht es nicht nur um die Illustration von Tatsachen, die man auch mit einem Test aufdecken kann, sondern in erster Linie um eine ¨Ubersicht ¨uber das Datenmaterial. Nach KENWARD UND JONES (1989) sollte diese Erg¨anzung zur rechnerischen Analyse der Daten routinem¨aßig bei der Auswertung von 2 × 2-Cross-Over-Designs verwendet werden. Ferner k¨onnen diese ¨Uberlegungen unter Umst¨anden den Test auf einen Residualeffekt ersetzen, ¨ahnlich wie es in der Praxis h¨aufig bei der Normalverteilung geschieht. Es wird in der Regel kein Test darauf gemacht, ob Daten normalverteilt sind oder nicht, sondern man betrachtet die Daten deskriptiv, z.B. in Form eines Histogramms oder Box-Plots und entscheidet sich dann f¨ur einen entsprechenden Test mit oder ohne Normalverteilungsannahme.
VORTEST:
Test auf einen Residual- Unterschied im COP
Hypothese verw
erf en
Hyp othese
nicht verw
erfen
Test auf einen Cross-Over-Effekt im COP Zwei-Stichproben-Test unter
Verwendung der Daten aus der 1. Periode
Abbildung 5.3: GRIZZLE’S Vortestmethode