Smith und Wessel (1990) schlagen zur Interpolation ein Rastern über kontinuierliche Splines vor. Diese Methode ist z. B. im Softwarepaket GMT (Generic Mapping Tool, Wes-sel und Smith (2007)) mit der Funktionsurf aceimplementiert. Diese Methode wurde in vorliegender Arbeit alternativ zum Kriging verwendet, wobei mit dem ParameterT (ten-sion) das Maß der Glättung definiert wird und bei einem Wertebereich von 0 bis 1 mit T=0,25 empfohlen wird. Das Rastern über kontinuierliche Splines bietet sich im Bereich der marinen Gravimetrie an, da die Gravitation verursachenden Massen durch die Was-sersäule gedämpft sind und sich die resultierende Schwere an der Meeresoberfläche gleichsam glatt und kontinuierlich darstellt. Die Überlegungen zum Glätten der Linien (Kapitel 5.2.7) wurden hierbei auch zur Bestimmung der Rasterweite herangezogen, die mit 0,2/0,4 Minuten in Zeilen- und Spaltenrichtung (ca. 371×400 Meter) gewählt wurde.
Für weitere Berechnungen wurde das Grid der Schwere entsprechend dem der Bathy-metrie mit Hilfe einer Mercatorprojektion auf ein 100×100-Meter-Raster abgebildet. Die Differenzen zum Grid, das über Kriging berechnet wurde, betrugen durchschnittlich we-niger als ein mGal und zeigten allein in den extrapolierten Randbereichen signifikante Unterschiede.
Abbildung 5.14 zeigt das Ergebnisgrid der Freiluftanomalien für das Bearbeitungsgebiet.
5.3 Geoidberechnung
Die geodätische Nutzung der Gravimetrie besteht unter anderem darin, das Geoid als Datum eines Höhenbezugsystems zu berechnen. Das Geoid ist eine Äquipotenti-alfläche, die definitionsgemäß mit dem mittleren Meeresspiegel zusammenfällt. Im Fall der marinen Gravimetrie kann die auf dem Schiff registrierte Schwere folglich in guter Näherung als auf dem Geoid gemessen angenommen werden, indes die Abweichungen des Geoids von der Meeresoberfläche auf dem offenen Meer in der Regel weniger als zwei Meter betragen, so dass der Höhenfehler bzw. eine Höhenreduktion zu kleiner als 1 mGal abgeschätzt werden kann und sich damit innerhalb der Messgenauigkeit des Seegravimeters befindet.
Die aus der Schiffsgravimetrie berechnete Geoidundulation (N) kann mit den aus Satellitenaltimetrie registrierten Meeresoberflächenhöhen (SSH - sea surface heights) verglichen werden, wobei die Abweichungen der beiden Flächen (SST - sea surface topography ) z. B. auf Strömungen oder Unterschiede in Temperatur und Salzgehalt zu-rückzuführen sind. Im globalen Maßstab werden hierzu auch globale Geoidmodelle her-angezogen, die aber erst mit den Satellitenmissionen CHAMP und GRACE die nötigen Genauigkeiten besitzen.
Abb. 5.14: Gemessene Freiluftanomalien im Eltanin-Einschlagsgebiet.
5.3 Geoidberechnung
Der klassische Ansatz zur Berechnung des Geoids erfolgt nach Torge (2001) über die Stokesche Formel
wobei der IntegralkernS(ψ)berechnet wird zu S(ψ) = ∞
l=2
2l+ 1
l−1 Pl(cosψ) (5.8)
mitPl(cosψ), dem Legendre Polynom (Wenzel, 1976) und der sphärischen Distanz ψ.
Der Integralkern lässt sich auch in geschlossener Form durch die Stokes-Funktion dar-stellen Hinsichtlich der Singularität der Stokes-Funktion für die sphärische Distanz vonψ = 0 ist der Bereich um den Entwicklungspunkt gesondert zu betrachten
Ni = si
γm∆gP +. . . (5.10)
Da nach Formel 5.7 über die ganze Erde integriert werden muss, in vorliegender Arbeit die Schweremessungen jedoch nur für ein begrenztes Gebiet vorliegen, wird nach Wenzel (1981) von der gemessenen eine Referenzschwere∆gGM abgezogen und die Geoidundulation als Beitrag zu einer ReferenzundulationNGM berechnet:
N =NGM + R 4πγ
σ
(∆g−∆gGM)S(ψ)dσ (5.11) Die Referenzschwere und Referenzundulation werden aus Kugelflächenmodellen be-rechnet. Weil für globale Modelle hoher Auflösung meist keine flächendeckende marine Gravimetrie vorliegt, wird die Schwere aus Altimetermessungen abgeleitet (vgl. Kapitel 3.3.1). Aufgrund dieser Prozessierungsstrategie sind die Eingangsgrößen Meeresober-flächenhöhe (SSH) und die Zielgröße Geoidundulation (N) jedoch miteinander korre-liert und ggf. systematisch verfälscht. Um derartige Effekte abschätzen zu können, wird die folgende Geoidberechnung unter Verwendung der allein aus Satellitenbahnbeob-achtungen generierten (satellite-only-) Modelle CHAMP03S (GFZ Potsdam, 2006) und GRACE01S (GFZ Potsdam, 2007) sowie des Kombinationsmodells EGM 96 (GSFC, NI-MA und OSU, 2004) berechnet und den mittleren Meeresoberflächenhöhen gegenüber-gestellt.
Während die durch Altimetrie erfasste Meeresoberflächenhöhe aktuell in einer Auflösung als 1-Minuten-Grid verfügbar ist, sind die aus Satellitenbahnbeobachtungen abgeleiteten Geoidmodelle als Kugelflächenmodelle nur in sehr großen Skalen aufgelöst. Aufgrund
der geringen Ausdehnung des vorliegenden Arbeitsgebietes kann planar approximiert werden, wodurch sich obige Formeln wie folgt darstellen:
S(ψ)≈ 1
Im Fall der planaren Approximation kann die Geoidberechnung auch über eine Faltung im Frequenzbereich berechnet werden, was insbesondere bei der Rechenzeit enorme Vorteile bietet. Wird eine 2D-Fouriertransformation herangezogen, lautet die Formel ent-sprechend Forsberg u. a. (1997)
N(x, y) = 1
2πγF−12D{F2D{∆g} ·F2D{k}} (5.15) In Abbildung 5.15 sind die Schwere und Geoidundulation für die verschiedenen Modelle, die als Referenz dienen, für das Bearbeitungsgebiet gegenübergestellt. Wie zu sehen ist, unterscheiden sich die Modelle in der Gravimetrie ganz erheblich, wohingegen sich die Geoidundulationen zumindest im Groben ähneln.
Abbildung 5.16 stellt neben den drei Geoiden a) bis c), die durch die Berechnung unter Verwendung der drei Referenzmodelle entstanden sind, das Geoid von Smith und Sandwell d) dar sowie zwei Datensätze mittlerer Meeresoberflächenhöhen, nämlich das MSS 95a e) und das cls_shom98.2 f). Die Statistik der Raster ist in Tabelle 5.4 darge-stellt. In allen Abbildungen sind im Groben dieselben Strukturen zu erkennen, wobei die
MODELL Min Max ∆ Mittel St.Abw.
cls_shom98.2 -10,20 -7,96 2,24 -8,90 0,43
MSS 95a -10,37 -8,53 1,84 -9,17 0,36
Smith & Sandwell -9,74 -7,59 2,15 -8,55 0,41
EGM 96 + mess -9,82 -7,91 1,91 -8,61 0,39
CHAMP 03S + mess -9,53 -8,14 1,39 -8,75 0,33
GRACE 01S + mess -9,35 -7,95 1,40 -8,54 0,35
Tab. 5.4: Statistik der Raster der Geoide und Meeresoberflächenhöhen
Grids unterschiedliche Offsets zueinander haben, deren größte Abweichung 63 Zenti-meter beträgt. Auch hinsichtlich ihrer Extremwerte gibt es Unterschiede. So überdeckt
5.3 Geoidberechnung
Abb. 5.15: Schwere (links) und Geoidundulation (rechts) der Referenzmodelle CHAMP 03S (oben), GRACE 01S (mitte) und EGM 96 (unten) für das Untersuchungs-gebiet.
Abb. 5.16: Geoidhöhen der unter Verwendung der marinen Gravimetrie gerechneten Modelle von a) CHAMP 03S, b) GRACE 01S und c) EGM 96, d) der Geoidhöhen nach Smith und Sandwell sowie mittlere Meeresoberflächenhöhen der Modelle e) MSS 95a und f) cls_shom98.2 für das Untersuchungsgebiet.