Kl. 8-13
Aufgabe 776. Untersuchungen am Trapez
Ein Trapez mit einer Grundseite der L ¨ange a und einer Oberseite der L ¨angeb werde durch eine Streckes paral-lel zur Grundseite in zwei Teiltrapeze zerlegt.
a) In welchem Verh ¨altnis unterteilt s die Fl ¨ache des
Trapezes, wenn sdie Mittelparallele ist?
a b s
Berechne in diesem Fall den Prozentanteil des unteren Trapezes an der Gesamt-fl ¨ache, wenn a 5cm undb 3cm ist!
b) Welche L ¨ange hat die Strecke s, wenn sie so gelegt wird, dass beide Teiltrapeze fl ¨achengleich sind? (Tipp: Erg ¨anze das Trapez zu einem Dreieck!) (H. F.) L ¨osung:
a) Die Mittelparallele eines Trapezes, dessen Grundseite die L ¨ange a und dessen Oberseite die L ¨ange b hat, ist bekanntlich a b
2 lang. Somit hat das Gesamttra-pez die Fl ¨ache F a b
2 h, wennhdie H ¨ohe des Trapezes ist.
Die Fl ¨ache des oberen Trapezes ist dementsprechend Foben 1
2 b a b Durch einfache Umformungen erh ¨alt man:
Foben 1
Setzen wir die Gesamtfl ¨ache gleich100%, so hat das untere Trapez daran einen Anteil von 100 9h
16h 900
16 56, 25 % .
b) Zun ¨achst erg ¨anze man das Trapez zu einem Dreieck.
Bezeichnet man die L ¨ange der Strecke s mit x und die Fl ¨achen der Dreiecke mit den Grundkantenl ¨angen a,x,b der Reihe nach mitFa,Fx,Fb, dann gilt:
Aus 3 folgt mit 2 zun ¨achst:
Fx 1 2
a2Fb
b2
b2Fb
b2 1 2
Fb
b2 a2 b2 Wegen 1 gilt dann:
x2 Fb
b2 1 2
Fb
b2 a2 b2 x2 1
2 a2 b2
Somit istx 12 a2 b2
Ubrigens: Die Zahl¨ xheißt der quadratische Mittelwert aus aundb.
Aufgabe 777.
Zu bestimmen sind alle reellen Zahlenpaare x;y , die das Gleichungssystem erf ¨ullen:
x y 1 und x5 y5 211 (MM)
Hinweis: Setze s : x y und p : x y und versuche, x5 y5 durch s und p aus-zudr ¨ucken! Wenn dir dies zu schwer erscheint, versuche dich an der reduzierten Pro-blemstellung, indem du alle ganzen Zahlenpaare x;y bestimmst, die das Gleichungs-system erf ¨ullen.
L ¨osung: Wie man mit Hilfe der Summes : x yund des Produktes p: x yrekursiv alle reellen L ¨osungspaare x;y bestimmen kann, steht im Artikel ”Summen von der FormSn xn yn mitn N ” auf Seite 6.
Wenn wir zun ¨achst nur nach ganzzahligen L ¨osungen x;y suchen, k ¨onnen wir oBdA (ohne Beschr ¨ankung der Allgemeinheit) x 1und y 1 x 0annehmen. Es gilt:
211 x5 y5 x5 1 x 5 5x4 10x3 10x2 5x 1,
somit nach Subtraktion von1auf beiden Seiten und anschließender Division durch 5:
x4 2x3 2x2 x 42.
Wegen x x3 2x2 2x 1 42 ist x ein Teiler und f x : x3 2x2 2x 1 der zugeh ¨orige Komplement ¨arteiler von42.
Die zu untersuchenden Teilerkombinationen sind x; f x 2; 21 , 3; 14 oder 6; 7 . F ¨ur welche Teiler x von 42 ist f x der entsprechende Komplement ¨arteiler? Nur f ¨ur x 3; dann ist f x 14 und y 2.
Wegen der Symmetrie der Aufgabenstellung in den Unbekanntenxundyist mit 3; 2 auch 2; 3 ein ganzzahliges L ¨osungspaar. Damit haben wir bereits zwei L ¨osungen x1 3,x2 2der Gleichung
x4 2x3 2x2 x 42 0.
Indem wir von der linken Seite durch Polynomdivision die Linearfaktoren x 3 und x 2 , also zweckm ¨aßiger Weise gleich ihr Produkt x 3 x 2 x2 x 6 ab-spalten, erhalten wir x 3 x 2 x2 x 7 0.
Da das quadratische Polynom x2 x 7keine reelle Nullstelle hat, gibt es auch keine weiteren reellen L ¨osungspaare x;y .
Aufgabe 778. Diophantisches Gleichungssystem Gegeben sind die Gleichungen:
I a b c d 11;
II a b c d 33;
III a2 b2 c2 d2 343.
Mit a,b,c,d INunda b c d.
1. Bestimme die (eindeutige) L ¨osung!
2. Welchen Wert hat im L ¨osungsfall das Produkta b c d? (Helmut R ¨ossler) L ¨osung: I II liefertc 11. Reduziertes System:
II a b d 22 III a2 b2 d2 222
Da d c 11 sein muss, gen ¨ugt es, ausgehend von III, die folgenden drei F ¨alle f ¨ur d2 zu untersuchen:
d2 222 d2 a2 b2 a b d a b d Bemerkung
196 26 1 25 1 5 14 20 20 22
169 53 4 49 2 7 13 22 L ¨osung
144 78
Also ista 2,b 7,c 11,d 13die eindeutig bestimmte L ¨osung.
F ¨ur sie ista b c d 2 7 11 13 2002die aktuelle Jahreszahl mit ihrer Primfak-torzerlegung.
Merkw ¨urdig ist, dass die konstanten Glieder in I,II,III,II und III, sowie das Pro-dukt, also11, 33, 343, 22, 222und2002ausnahmslos Palindrome sind! (Ziffernfolge von links und rechts gelesen ist dieselbe.)
Aufgabe 779.
Ein Mathematiker, der sich die 5-ziffrige Geheimzahl g seiner Scheckkarte nicht mer-ken kann, zugleich aber g nicht auf einem Zettel notiert dauernd mit sich f ¨uhren will, benutzt eine bemerkenswerte Beziehung zwischen gund der Zahlh 40 391, die ihm bei der Kenntnis von hjederzeit gzu berechnen gestattet, n ¨amlich:
Die Summe der Zahlen 1, 2, 3, . . . ,h 1 stimmt ¨uberein mit der Summe der Zahlen h 1,h 2, . . . ,g.
a) Wie geht der Mathematiker, der hauf seine Scheckkarte geschrieben hat, bei der Berechnung von gvor und wie lautetg?
Hinweis: Es gilt 1 2 3 x 12x x 1 .
b) Der Mathematiker braucht nicht einmal hzu kennen, um gzu berechnen!
Begr ¨unde dies f ¨ur den Fall, dass geine 3-ziffrige Geheimzahl ist.
(H.F.) L ¨osung:
1 h −1 h h +1 g
Es sei S1 1 2 h 1 und S2 h 1 h 2 g 1 2
g 1 2 h .
Also ist S1 S2 gleichwertig zu 12 h 1 h 12g g 1 12h h 1 oder nach Umfor-mungen: g2 g 2h2 0;
folglich gilt: g 12 1 1 8h2 1
a) Weil h 40 391 bekannt ist und1 8h2 114 2432 ist folgt: g 57 121.
b) Wenn hunbekannt ist, dann schließt man aus (1):
hmuss gerade sein, damit1 8h2eine ungerade Quadratzahl ist, f ¨ur die 1 1 8h2 durch2teilbar ist;
ferner folgt aus (1): g 12 8h2 – also g h 2 – womit aus 100 g 999 noch 70 h 706 folgt. Mit einem Computer findet man nur die Zahl h 204, die alle Bedingungen erf ¨ullt.
Dann ist g 288die gesuchte Zahl.
Aufgabe 780.
In einem Quadrat der Seitenl ¨ange n findet man leichtn2Quadrate der Seitenl ¨ange 1.
a) Wieviele gleichseitige Dreiecke der Seitenl ¨ange 1 findet man in einem gleichsei-tigen Dreieck der Seitenl ¨ange n?
b) Wieviele regelm ¨aßige Sechsecke der Seitenl ¨ange 1 findet man in einem
regel-m ¨aßigen Sechseck der Seitenl ¨ange n? (WJB)
L ¨osung:
zu a):
1. L ¨osungsweg: Die Streifen enthalten 1, 3, 5, 7, . . . , 2n 1 Dreiecke. Somit ergibt sich die Anzahl1 3 5 7 2n 1 n2.
2. L ¨osungsweg: Die Fl ¨ache des großen Dreiecks ist n2 mal der Fl ¨ache des kleinen Dreiecks. Es wird also in n2 solcher Dreiecke zerlegt.
zu b):
Wir denken uns das große Sechseck von innen her aufgebaut.
Beim ersten Schritt entstehen zus ¨atzlich zum vorhandenen Sechseck 6 neue. Beim 2. Schritt entstehen 12 neue Sechsecke, deren Mittelpunkte die in der Skizze markierten ”Randpunkte”
sind.
So geht das weiter, bis im Schritt von der Seitenl ¨ange n 1 zur Seitenl ¨ange n gerade 6 n 1 bisherige Randpunkte zum Mittelpunkt kleiner Sechsecke werden. Die L ¨osung ist also:
1 6 2 6 n 1 6 1 6n n 1
2 1 3n n 1 .
Aufgabe 781. Eine schwierige Knobelei (f ¨ur die Sommerferien) Streckenz ¨uge und Potenzen im Quadrat
L ¨osung:
Vorweg zwei Abk ¨urzungen: AZ : Anfangsziffer,EZ : Endziffer.
Zun ¨achst sollte man die 5 Potenzen, die alle die gleiche Basis n, 2 n 9, haben, herausfinden.
F ¨ur die17-ziffrige Potenznx gilt bei der Beachtung von 5 :
(a) 1016 nx 1017 und AZ 5oderEZ 5.
Mit einem Taschenrechner ermittelt man, welche Potenzen nx, 2 n 9, die Unglei-chung a erf ¨ullen.
nx 254 255 256 334 335 427 428 523 524 621 719 720 818 917
AZ 1 3 7 1 5 1 7 1 5 2 1 7 1 1
EZ 4 8 6 9 7 4 6 5 5 6 3 1 4 9
In der 2. und 3. Zeile der Tabelle sind die AZ und EZ der betrachteten Potenzen auf-gelistet. Danach erf ¨ullen nur335,523 und524 die Bedingung a . Daraus folgt:
Die Basis der f ¨unf gesuchten Potenzen ist entweder 3oder5.
F ¨ur die16-ziffrige Potenzny,n 3odern 5, gilt bei Beachtung von 1 : (b) 1015 ny 1016 undny hat AZ 1oderEZ 1.
Die Ungleichung b wird nur erf ¨ullt vonny 332, 333 und522. Nun gilt:
332 hat AZ 1, EZ 1;333 hat AZ 5,EZ 3und522 hat AZ 2, EZ 5.
Also erf ¨ullt nur ny 332 beide Bedingungen von b . Daher ist332 die L ¨osung f ¨ur 1 .
Mit der L ¨osung f ¨ur 1 schließt man aus a , dass nx 335 die L ¨osung von 5 ist.
Nun gilt f ¨ur die L ¨osung von 5 :335 hat AZ 5, aberEZ 7.
Damit ist nach Voraussetzung klar:
Die in 1 – 5 vorkommenden Ziffern sind die AZ der f ¨unf zu bestimmenden Poten-zen.
Ubrigens hat die L ¨osung¨ 332 von 1 wie verlangt AZ 1.
Die drei fehlenden Potenzen sind bei bekannter Anfangsziffer und vorgegebener Stel-lenzahl leicht zu bestimmen; sie sind326,322 und314.
Zusammenfassung:
Streckenzug einzutragende Zahl
1 1 A E 332 1 853 020 188 851 841 mit A 2
2 2 F G 326 2 541 865 828 321
3 3 B H 322 31 381 059 609 mit B 0
4 4 D J 314 4 782 969 mit D 2
5 5 C K 335 50 031 545 098 999 707 mit C 0 Die Zahl ABCDlautet2 002.
Die Streckenz ¨uge 1 – 5 , l ¨angs denen die gefundenen Potenzen von 3 Ziffer um Ziffer einzutragen sind, sind z. B.
B
3 2 A
D
1 4 5
C