Gauß-Absch¨ atzungen f¨ ur Divergenzform-Operatoren

1. Das Dunford-Pettis-Theorem

Definition 1.1. Es sei Ω⊆R^d offen und 1≤p≤ ∞. Wir bezeichnen mit L^p(Ω)₊:={f ∈L^p(Ω) :f ≥0 fast ¨uberall}

den Kegel der positiven L^p-Funktionen.

Weiter heißt ein Operator B ∈ L(L^p(Ω)) positiv, falls Bf ≥ 0 f¨ur alle f ∈L^p(Ω)₊ gilt. Wir schreiben dann B≥0.

Gilt f¨ur zwei Operatoren A, B ∈ L(L^p(Ω)) die Beziehung B −A ≥ 0, so schreiben wir auch A≤B.

Man beachte, dass A ≤ B genau dann gilt, wenn f ≥ 0 die Ungleichung Af ≤Bf impliziert.

Wir untersuchen wieder Kernoperatoren, erneut mit einem etwas anderen Schwerpunkt. Wir betrachten brave L^∞-Kerne, geben daf¨ur allerdings die Faltungsstruktur auf. Das h¨angt damit zusammen, dass wir im Folgenden auf offenen Teilmengen Ω des R^d arbeiten wollen und Kernoperatoren dort offensichtlich keine Faltungsstruktur haben k¨onnen, da f¨ur x, y ∈ Ω der Vektor x−y nicht in Ω zu liegen braucht.

Lemma 1.2. Es sei Ω ⊆R^d offen. F¨ur k∈ L^∞(Ω×Ω) betrachten wir den Operator mit

(46) (B_kf)(x) :=

Z

Ω

k(x, y)f(y) dy, f ∈L¹(Ω).

Dann gilt B_k ∈ L(L¹(Ω), L^∞(Ω)).

Beweis. Nach der H¨olderschen Ungleichung mitp= 1 und q =∞ gilt

|B_kf(x)|= Z

Ω

k(x, y)f(y) dy

≤ kk(x,·)kL^∞(Ω)kfkL¹(Ω) f¨ur alle x∈Ω.

Also ist kB_kfkL^∞(Ω) ≤ kkkL^∞(Ω×Ω)kfkL¹(Ω) und die Behauptung bewiesen.

Interessant ist, dass auch die Umkehrung gilt.

96

1. DAS DUNFORD-PETTIS-THEOREM 97

Theorem 1.3 (Dunford-Pettis). Es sei Ω⊆R^d offen. Die Abbildung Φ :

(L^∞(Ω×Ω) → L(L¹(Ω), L^∞(Ω))

k 7→B_k,

wobei B_k mit Hilfe von k wie in (46) definiert ist, ist ein isometrischer Isomorphismus.

Weiter gilt B_k≥0 ⇐⇒ k≥0 fast ¨uberall.

Beweis. F¨urf, g∈L¹(Ω), betrachten wir die Funktionf⊗g: Ω×Ω→ Rmit (f⊗g)(x, y) :=f(x)g(y) (Tensor-Schreibweise). Dann gilt offensicht-lich

kf⊗gkL¹(Ω×Ω)=kfkL¹(Ω)kgkL¹(Ω). Außerdem ist die Menge der Treppenfunktionen

F :=

XN j=1

c_j1_Ej⊗1_Fj

N ∈N, c_j ∈R, E_j, F_j ⊆Ω messbar, |E_j|,|F_j|<∞

dicht in L¹(Ω×Ω).

In Lemma 1.2 haben wir bereits gesehen, dass Φ ein stetiger, linearer Ope-rator mit OpeOpe-ratornorm h¨ochstens eins ist. Es bleibt also zu zeigen, dass Φ surjektiv und isometrisch ist. Sei dazu B ∈ L(L¹(Ω), L^∞(Ω)) gegeben. Wir definieren dann f¨ur u= PN

j=1cj1Ej ⊗1Fj ∈ F das Funktional ϕ:F → R durch

ϕ(u) :=

XN j=1

c_j Z

Ω

(B1_Ej)(y)1_Fj(y) dy.

Diese Definition ist unabh¨angig von der spezifischen Wahl der Repr¨asentation der Funktion u.

Sei nunu∈ F. Dann k¨onnen wir eine Darstellung vonu=P_N

j=1c_j1_Ej⊗1_Fj insbesondere so w¨ahlen, dass

(E_j×F_j)∩(E_k×F_k) =∅ f¨ur alle j6=k

gilt, denn sollte das nicht der Fall sein, k¨onnen wir alle Schnittmengen als separate Blocks in die Zerlegung mit aufnehmen.

Nun gilt dank dieser Wahl kukL¹(Ω×Ω)=

Z

Ω×Ω

XN j=1

c_j1_Ej(x)1_Fj(y) dxdy

= Z

Ω×Ω

XN j=1

|c_j|1_Ej(x)1_Fj(y) dxdy = XN j=1

|c_j||E_j||F_j|.

1. DAS DUNFORD-PETTIS-THEOREM 98

Das liefert mit Lemma 1.2

|ϕ(u)| ≤

Damit haben wir einen Kandidaten f¨urk. Wir zeigen, dass dieses der rich-tige ist. Seien dazu f, g ∈ L¹(Ω) Treppenfunktionen. Dann gilt nach der Definition von ϕ

Dag eine beliebige Treppenfunktion war, haben wir damit Φ(k)f =Bf f¨ur alle Treppenfunktionenf. Damit gilt selbiges nach einem Dichteschluss f¨ur alle f ∈L¹(Ω) und wir haben B=B_k= Φ(k), d.h. Φ ist surjektiv.

2. DIE W ¨ARMELEITUNGSGLEICHUNG INL²(Ω) 99

Mengen E₁, E₂ ⊆ Ω, |E₁|,|E₂|> 0, |E₁| <∞ und E₁×E₂ ⊆E. Dann ist 1_E1 ∈L¹(Ω)₊ und wie oben erhalten wir

(B_k1_E1)(x) = Z

E1

k(x, y) dy <0

und damit einen Widerspruch.

Korollar 1.4. Es sei 1 ≤ p < ∞ und B ∈ L(L^p(Ω)) mit kBfkL^∞(Ω) ≤ Ckfk1 f¨ur allef ∈L¹(Ω)∩L^p(Ω)gegeben. Dann gibt es eink∈L^∞(Ω×Ω), so dass f¨ur alle f ∈L¹(Ω)∩L^p(Ω) gilt

(Bf)(x) = Z

Ω

k(x, y)f(y) dy f¨ur fast allex∈Ω.

Erf¨ullt ein Operator die Voraussetzungen von Korollar 1.4, so sagt man, er ist durch einenL^∞-Kern gegeben oder erhat einenL^∞-Kern.

Ein weiteres erstaunliches und sehr n¨utzliches Resultat folgt aus dem Dunford-Pettis-Theorem, n¨amlich die folgende Dominationseigenschaft.

Korollar1.5. Es sei1≤p <∞undΩ⊆R^doffen. Weiter seienB1, B2 ∈ L(L^p(Ω)) mit0≤B₁≤B₂ gegeben. Hat nun B₂ einenL^∞-Kern k₂, so hat auch B₁ einen L^∞-Kern k₁ und es gilt 0≤k₁ ≤k₂ fast ¨uberall.

2. Die W¨armeleitungsgleichung in L²(Ω)

Wir betrachten im folgenden auf einer beliebigen offenen Teilmenge Ω desR^d den Laplace-Operator mit Dirichlet-Randbedinungen ∆^D_Ω und mit Neumann-Randbedingungen ∆^N_Ω. Diese definieren wir ¨uber

D(∆^D_Ω) ={f ∈H₀¹(Ω)|∆f ∈L²(Ω) im schwachen Sinne}, ∆^D_Ωf = ∆f und

D(∆^N_Ω) =

f ∈H¹(Ω)

es gibt g∈L²(Ω) mit − Z

Ω

∇f∇ϕ= Z

Ω

gϕ

f¨ur alle ϕ∈H¹(Ω)

, ∆^N_Ωf = ∆f.

F¨ur diese Operatoren gilt der folgende Satz, der im Falle von Dirichlet-Randbedingungen in ¨Ubung 11 bewiesen wurde. Der Beweis f¨ur Neumann-Randbedingungen verl¨auft analog.

Satz2.1. Es seiΩ⊆R^doffen. Dann erzeugen∆^D_Ω und ∆^N_Ω C₀-Halbgruppen von Kontraktionen auf L²(Ω).

Man beachte, dass wir außer der Offenheit in diesem Satz keinerlei Voraus-setzungen an Ω gestellt haben, Ω kann also beispielsweise das Innere der Kochschen Schneeflocke sein. F¨ur diese Allgemeinheit m¨ussen wir nat¨urlich

2. DIE W ¨ARMELEITUNGSGLEICHUNG INL²(Ω) 100

einen Preis zahlen. Dieser besteht darin, dass wir den Definitionsbereich un-serer Operatoren nicht mehr gut kennen, insbesondere gilt im Allgemeinen nicht D(∆^D_Ω), D(∆^N_Ω)⊆H²(Ω)!

Wir wollen im Weiteren zeigen, dass die von ∆^D_Ω und ∆^N_Ω erzeugten Halb-gruppen durchL^∞-Kerne gegeben sind und diese monoton mit dem Gebiet wachsen.

Notation 2.2. SindΩ₁ ⊆Ω₂⊆R^doffen und1≤p≤ ∞, so betrachten wir im Folgenden L^p(Ω₁) als Unterraum von L^p(Ω₂), indem wir jede Funktion f ∈L^p(Ω1) mit ihrer Fortsetzung durch Null f˜∈L^p(Ω2) identifizieren.

Ist B ∈ L(L^p(Ω₁)), so fassen wir diesen Operator durch Bf˜ := ^

B(f|Ω1), f ∈L^p(Ω2),

auch als Element von L(L^p(Ω₂)) auf. Wenn keine Verwechslungsgefahr be-steht, lassen wir die Tilden weg.

Wir verwenden das folgende Lemma, vgl. ¨Ubung 2 (G3).

Lemma 2.3. Es seiΩ⊆R^d offen. Dann gilt

(a) f ∈H¹(Ω) =⇒ |f|, f⁺, f⁻∈H¹(Ω)und k |f| kH¹(Ω)=kfkH¹(Ω). (b) f ∈ H¹(Ω) =⇒ D_jf⁺=1_{f >0}D_jf und D_jf⁻ =−1_{f <0}D_jf f¨ur alle

j= 1, . . . , d.

(c) Die Abbildungen f 7→ |f|, f 7→ f⁺ und f 7→ f⁻ sind stetig von H¹(Ω)nach H¹(Ω).

(d) C_c^∞(Ω)+ ist dicht in H₀¹(Ω)+.

(e) Ist u∈H¹(Ω)mitsupp(u)⊂⊂Ω, so istu∈H₀¹(Ω).

Lemma2.4. SeienΩ⊆R^d offen,λ >0,u∈H₀¹(Ω)und 0≤v∈H¹(Ω). Ist dann

(47) Z

Ω

λuϕ+ Z

Ω

∇u∇ϕ≤ Z

Ω

λvϕ+ Z

Ω

∇v∇ϕ f¨ur alle ϕ∈C_c^∞(Ω)₊, so gilt u≤v.

Beweis. Da C_c^∞(Ω)₊ dicht in H₀¹(Ω)₊ ist (vgl. Lemma 2.3 (d)), gilt (47) mit einem Dichteschluss sogar f¨ur alle ϕ ∈ H₀¹(Ω)₊. Wir zeigen nun, dass die spezielle Funktion (u−v)⁺ ∈H₀¹(Ω)₊ ist.

Sei dazu (u_n)_n∈^N eine Folge in C_c^∞(Ω), die in H¹(Ω) gegen u konvergiert.

Eine solche Folge k¨onnen wir w¨ahlen, dau∈H₀¹(Ω) ist. Dann gilt supp (u_n−v)⁺

⊆supp(u_n),

da v ≥ 0 ist. Damit ist auch supp((u_n−v)⁺) kompakt in Ω. Nach Lem-ma 2.3 (e) ist damit (un−v)⁺ ∈ H₀¹(Ω) f¨ur jedes n ∈ N. Weiter ist nach Lemma 2.3 (c)

(u−v)⁺= lim

n→∞(un−v)⁺ inH¹(Ω).

DaH₀¹(Ω) inH¹(Ω) abgeschlossen ist, haben wir damit (u−v)⁺∈H₀¹(Ω).

2. DIE W ¨ARMELEITUNGSGLEICHUNG INL²(Ω) 101

Beweis. Im Falle des Dirichlet-Laplace folgt das sofort aus Lemma 2.4 mitv= 0 und u:=−R(λ,∆^D_Ω)f, denn dann ist f¨urϕ∈C_c^∞(Ω)₊

Wir betrachten also noch den Neumann-Laplace. Istu:=R(λ,∆^N_Ω)f, so gilt

−λku⁻k²L²(Ω) =−λ(u⁻|u⁻) = (λu|u⁻) = (λu−∆^N_Ωu|u⁻) + (∆^N_Ωu|u⁻)

= (f |u⁻) + (∆^N_Ωu|u⁻)≥(∆^N_Ωu|u⁻),

da u⁻ und f positive Funktionen sind. Nach der Definition des Neumann-Laplace-Operators haben wir weiter

2. DIE W ¨ARMELEITUNGSGLEICHUNG INL²(Ω) 102 nach Definition der Operatoren ∆^D_Ω und ∆^N_Ω, sowie Satz 2.5. Außerdem gilt dann f¨ur alle ϕ∈C_c^∞(Ω)₊ die Gleichheit

Insbesondere gilt hier also auch

”≤“, d.h. wir bekommen mit Lemma 2.4 u≤v und damit die Behauptung f¨ur die Resolventen.

Die entsprechende Ungleichung f¨ur die Halbgruppen folgt nun mit Hilfe von Satz 7.2.7. Demnach ist f¨ur jedesf ∈L²(Ω) und damit auf die Behauptung.

Zu (b): Es sei λ > 0,f ∈L²(Ω₁)₊ und ˜f die Fortsetzung von f mit Null

Insbesondere gilt hier also auch

”≤“, d.h. wir bekommen wieder mit Lem-ma 2.4 u≤v und damit die Behauptung f¨ur die Resolventen.

Die Halbgruppen kann man nun analog zum Beweis in (a) behandeln.

Setzen wir in Teil (b) dieses Theorems speziell Ω₂ =R^d, so erhalten wir die folgende Absch¨atzung durch den Gaußkern.

Korollar 2.7. Es sei Ω ⊆ R^d offen. Dann gilt f¨ur jedes t > 0 und alle

3. GAUSSABSCH ¨ATZUNGEN 103

der Gaußkern ist.

Diese hat weitreichende Konsequenzen, die wir im n¨achsten Abschnitt weiter beleuchten wollen. Wir bemerken zun¨achst nur das folgende Geschenk, das uns nun das Dunford-Pettis-Theorem, vgl. Korollar 1.5, macht.

Korollar2.8. Ist Ω⊆R^doffen, so sind die Operatoren derC₀-Halbgruppe e^t∆DΩ,t≥0, durchL^∞-Kernek_t: Ω×Ω→ Rgegeben, f¨ur die die Absch¨atzung

0≤k_t(x, y)≤G_t(x−y) f¨ur fast alle x, y∈Ω gilt.

Insbesondere gilt f¨ur alle f ∈L²(Ω)und alle t >0

|e^t∆DΩf| ≤G_t∗ |f˜|.

Beweis. Es bleibt nur die letzte Absch¨atzung zu beweisen. Sei alsot >0 und f ∈L²(Ω). Dann gilt

e^t∆DΩf(x)= Z

Ω

k_t(x, y)f(y) dy ≤

Z

Ω

k_t(x, y)|f(y)|dy

≤ Z

Ω

G_t(x−y)|f(y)|dy= Z

Rd

G_t(x−y)|f˜(y)|dy= (G_t∗ |f˜|)(x).

3. Gaußabsch¨atzungen

Wir machen aus dem Ergebnis des vorigen Abschnitts eine Definition.

Definition 3.1. Es sei Ω⊆R^d offen undT eine C0-Halbgruppe aufL²(Ω).

Dann erf¨ullt T (obere) Gaußabsch¨atzungen, falls es Konstanten M, b ≥ 0 und ω ∈R gibt mit

|T(t)f| ≤Me^ωtG_bt∗ |f˜| f¨ur allet >0 und alle f ∈L²(Ω).

Explizit bedeutet das, dass die Halbgruppe T f¨ur jedes t > 0 durch einen Kernk_t gegeben ist, der der Absch¨atzung

|k_t(x, y)| ≤Ce^ωtt^−d/2e^−|x−y|

2

ct f¨ur fast allex, y∈Ω mit Konstanten c, C ≥0 undω∈Rgen¨ugt.

Theorem 3.2. Es sei Ω⊆R^d offen und T eine C₀-Halbgruppe auf L²(Ω), die Gaußabsch¨atzungen mit Konstanten M, b und ω erf¨ullt. Dann existiert f¨ur jedes 1< p <∞ eineC₀-Halbgruppe T_p aufL^p(Ω), die mitT konsistent ist, d.h. es gilt

Tp(t)f =T(t)f f¨ur alle t≥0, f ∈L²(Ω)∩L^p(Ω).

Weiter gilt

(a) kTp(t)kL(L^p(Ω)) ≤Me^ωt f¨ur alle t≥0 und 1< p <∞. (b) Ist T(t) positiv, so ist auch T_p(t) positiv.

3. GAUSSABSCH ¨ATZUNGEN 104

Beweis. Es sei 1≤p≤ ∞ und g∈L^p(Ω)∩L²(Ω). Dann gilt f¨ur jedes t >0 dank der Gaußabsch¨atzungen

kT(t)gk^p_Lp(Ω) = Z

Ω

|T(t)g|^p ≤M^pe^ωpt Z

Rd

(G_bt∗ |g˜|)^p

=M^pe^ωpt Z

Rd

G_bt∗ |g˜|^p=M^pe^ωptG_bt∗ |g˜|^p

L^p(Rd). Mit der Youngschen Ungleichung bekommen wir nun

(48) kT(t)gkL^p(Ω)≤Me^ωtkG_btkL¹(Rd)k˜gkL^p(Rd) =Me^ωtkgkL^p(Ω).

Also bildet T(t) den Raum L²(Ω)∩L^p(Ω) auf sich selbst ab und ist dort bez¨uglich der L^p-Norm beschr¨ankt. Weiter ist f¨ur 1 ≤ p < ∞ der Raum L²(Ω)∩L^p(Ω) in L^p(Ω) dicht. Wir definieren alsoT_p(t) als die (eindeutige) stetige Erweiterung vonT(t) nachL^p(Ω).

Nach dieser Konstruktion ist die Konsistenz von T_p mitT =T₂ offensicht-lich. Es bleibt zu zeigen, dass T_p wieder eine C₀-Halbgruppe auf L^p(Ω) ist, die (a) und (b) erf¨ullt.

Sei f ∈ L^p(Ω) und (f_n)_n∈N ⊆L²(Ω)∩L^p(Ω) eine Folge, die bez¨uglich der L^p-Norm gegen f konvergiert. Dann gilt

T_p(0)f =T_p(0)[ lim

n→∞f_n] = lim

n→∞T_p(0)f_n= lim

n→∞T(0)f_n= lim

n→∞f_n=f und

T_p(t+s)f = lim

n→∞T_p(t+s)f_n= lim

n→∞T(t+s)f_n= lim

n→∞T(t)T(s)f_n

= lim

n→∞T_p(t)T_p(s)f_n=T_p(t)T_p(s)f.

Der Nachweis der Starkstetigkeit ist der schwierigste Teil, denn diese folgt nicht aus der Konsistenz alleine, sondern man muss die Domination durch den Gaußkern mit einbeziehen.¹ Sei t₀ ∈ [0,∞) und t aus einer kleinen Umgebung vont₀ in [0,∞), sowie f ∈C_c^∞(Ω).

Wir betrachten zun¨achst den Fall 1< p <2 und w¨ahlen θ∈(0,1) so, dass 1/p= (1−θ)/1 +θ/2. Dann gilt mit Hilfe der H¨olderschen Ungleichung f¨ur g∈L²(Ω)∩L¹(Ω)∩L^p(Ω)

kgkL^p(Ω) =kg^1−θg^θkL^p(Ω)≤ kg^1−θk

L^1−θ1 (Ω)kg^θk_L²_θ(Ω)=kgk^1−θ_L1(Ω)kgk^θ_L²_(Ω) Also gilt

k(T_p(t)−T_p(t₀))fkL^p(Ω)≤ k(T(t)−T(t₀))fk^θ_L²_(Ω)k(T₁(t)−T₁(t₀))fk^1−θ_L¹_(Ω)

≤ k(T(t)−T(t₀))fk^θ_L²_(Ω) kT₁(t)fkL¹(Ω)+kT₁(t₀)fkL¹(Ω)

1−θ

≤ 2Me^ω2t0kfkL¹(Ω)

1−θ

k(T(t)−T(t₀))fk^θL²(Ω).

1An dieser Stelle ist auch der Fallp= 1 extra zu behandeln und wurde hier ausgespart

3. GAUSSABSCH ¨ATZUNGEN 105

Geht nun tgegen t₀, so strebtk(T(t)−T(t₀))fkL²(Ω) gegen Null nach Vor-aussetzung und mit obiger Absch¨atzung gilt dann auch T_p(t)f → T_p(t₀)f f¨urt→t0. F¨ur beliebiges f ∈L^p(Ω) erh¨alt man die Konvergenz wieder mit einem Dichteschluss (3-ε-Argument).

Ist 2< p <∞ so sch¨atzt man in gleicher Weise mit 1/p= (1−θ)/∞+θ/2 ab und erh¨alt

k(T_p(t)−T_p(t₀))fkL^p(Ω)≤ k(T(t)−T(t₀))fk^θ_L²_(Ω)k(T(t)−T(t₀))fk^1−θ_L^∞_(Ω). Dann argumentiert man genau wie im Falle 1< p <2. Man beachte dazu, dass wir in (48) auch die Beschr¨anktheit von T₂ in der L^∞-Norm gezeigt haben.

Die Absch¨atzung in (a) ergibt sich direkt aus (48). Zum Nachweis von (b) verwenden wir, dass L²(Ω)₊∩L^p(Ω)₊ dicht in L^p(Ω)₊ ist, n¨ahern also ein gegebenes f ∈ L^p(Ω)₊ durch eine Folge von positiven Funktionen f_n ∈ L²(Ω)₊∩L^p(Ω)₊ und erhalten

T_p(t)f = lim

n→∞T_p(t)f_n= lim

n→∞T(t)f_n≥ lim

n→∞0 = 0.

dank der vorausgesetzten Positivit¨at vonT.

Bezeichnet man nun f¨ur jedes 1< p < ∞ den Erzeuger von T_p mitA_p, so erhalten wir auch die Konsistenz der Resolventen. Dazu ben¨otigen wir noch nicht einmal die Gaußabsch¨atzungen.

Satz 3.3. Ist T_p, 1 ≤ p < ∞, eine konsistente Familie von beschr¨ankten C₀-Halbgruppen aufL^p(Ω),1≤p <∞, und A_p der Erzeuger vonT_p, so gilt

R(λ, Ap)f =R(λ, Aq)f

f¨ur alle Re(λ)>0, alle 1≤p, q <∞ und alle f ∈L^p(Ω)∩L^q(Ω).

Beweis. Ist Re(λ) > 0, so existieren dank der Beschr¨anktheit von T_p und T_q die Laplace-Transformierten und wir erhalten f¨ur alle f ∈L^p(Ω)∩ L^q(Ω) dank der Konsistenz der Halbgruppen

R(λ, A_p)f = Z∞ 0

e^−λtT_p(t)f dt= Z∞

0

e^−λtT_q(t)f dt=R(λ, A_q)f.

Wir kehren nun zu unserem Spezialfall A₂ = ∆^D_Ω zur¨uck. Dieser Operator hat, wie wir in Korollar 2.7 gesehen haben, Gaußabsch¨atzungen mit M = b = 1 und ω = 0. Also gelten die Aussagen aus Theorem 3.2 f¨ur ∆^D_Ω. Bezeichnen wir den Generator der zu e^t∆DΩ konsistenten Halbgruppen auf L^p(Ω) f¨ur 1< p <∞ mit ∆^D_Ω,p, so haben wir folgendes Resultat.

Satz 3.4. F¨ur jedes f ∈D(∆^D_Ω,p) gilt ∆^D_Ω,pf = ∆f im schwachen Sinne.

4. DAVIES’ TRICK 106

Zum Abschluss dieses Abschnittes f¨uhren wir zur Information noch zwei wei-tere Konsequenzen von Gaußabsch¨atzungen an, die diese zu einem starken Hilfsmittel machen. Es sei also (A, D(A)) Erzeuger einerC₀-Halbgruppe T aufL²(Ω), die eine Gaußabsch¨atzung erf¨ullt, undA_p undT_p wie oben. Dann gilt

• IstT sogar holomorph vom Winkel θ, so ist auchT_p holomorph f¨ur alle 1≤p <∞ mit dem selben Winkel θ(M. Hieber, 1996).

• Das Spektrum vonA_p ist p-unabh¨angig, d.h. f¨ur jedes 1 ≤p <∞ gilt σ(A_p) =σ(A) (W. Arendt, 1994 und P.-C. Kunstmann, 1999).

4. Davies’ Trick – Ein Kriterium zum Nachweis von Gaußabsch¨atzungen

Wir wollen in diesem Abschnitt zeigen, dass Gaußabsch¨atzungen f¨ur eineC₀ -Halbgruppe ¨aquivalent zuL¹-L^∞-Absch¨atzungen f¨ur gewisse gest¨orte Halb-gruppen sind. Dazu definieren wir uns zun¨achst eine neue Metrik auf R^d. Sei

Im Dokument Partielle Differentialgleichungen I Matthias Geißert, Robert Haller-Dintelmann, Horst Heck (Seite 101-111)