Finite-Elemente-Methode

Die Finite-Elemente-Methode, kurz FEM, ist ein numerisches Lösungsverfahren von partiellen Differentialgleichungen. Die Methode der Finiten Elemente hat verschiedene Einsatzbereiche und wird in der Regel mit leistungsstarken Computern durchgeführt. Eine Verwendung für Handrechnungen ist zwar prinzipiell möglich, jedoch ist dies nur bei kleineren und einfachen Geometrien sinnvoll, da der Rechenaufwand sonst für Handrechnungen nicht mehr überschaubar ist.

Bei der Finiten-Elemente-Methode wird ein Bauteil in viele kleine, endliche (finite) Elemente zerlegt, welche miteinander verbunden sind. Je nach Problemstellung können verschiedene Elementtypen verwendet werden.

Die Rechenergebnisse, die bei einer Berechnung mittels der FEM erreicht werden, sind keine exakten Lösungen, sondern stellen lediglich eine Näherung der partiellen Differentialgleichungen dar. Des Weiteren ist es oft zwingend notwendig, Geometrien zu vereinfachen um den Rechenaufwand gering zu halten.

Die Genauigkeit der Ergebnisse können dadurch beeinflusst werden, dass das Netz der Modelgeometrie verfeinert oder vergröbert wird. Wichtig hierbei ist es, das Netz nicht zu fein oder grob zu gestalten. Es gilt also der Grundsatz: „So grob wie möglich und so fein wie nötig“, da bei einem feineren Netz auch der Rechenaufwand ansteigt.

Abbildung 31: reales und idealisiertes Modell [Klein, 2010]

3.4.1 FEM als Hilfsmittel

Um ein Bauteil mittels der Finiten-Elemente-Methode näher zu untersuchen, ist es erforderlich, ein Modell von jenem entweder direkt oder mittels einer neutralen Schnittstelle, meistens ein neutrales Dateiformat wie IGES oder STEP, in den Pre-Prozesser zu laden.

Hier treten die Haupttätigkeiten des Ingenieurs auf:

• Welche Geometrien können eventuell vernachlässigt werden, ohne die Ergebnisse stark zu verfälschen?

• Können Symmetrien im Bauteil genutzt werden?

• Welche Randbedingungen herrschen vor, um die wahren Begebenheiten möglichst realitätsnah darzustellen?

• Und letztlich: Wie kann das Modell vernetzt werden, ohne dass der Rechenaufwand zu groß wird, aber die Ergebnisse trotzdem möglichst genau bleiben?

Die Arbeiten im Pre-Prozessor sind die zeitaufwändigsten einer Berechnung mittels FEM und erfordern neben fachspezifischen Wissen und Erfahrung mit den entsprechenden Programmen manchmal auch viel Geduld. Da die heutigen Computer immer leistungsfähiger werden und sich somit der Einsatz der FEM-Berechnung immer mehr lohnt, ist der Beruf des Berechnungsingenieurs immer weiter verbreitet, welcher sich fast ausschließlich mit diesen Aufgaben befasst.

Nach dem das FEM-Modell aufbereitet wurde, kann dieses im Solver gelöst werden und es folgt die Auswertung im Prozessor und die Validierung der Ergebnisse. Im Post-Prozessor können die Ergebnisse meist grafisch dargestellt werden. Nachdem z.B.

auftretende Spannungen, Verformungen etc. festgestellt wurden, müssen diese aber zwingend auf ihre Plausibilität überprüft werden um sicher zu stellen, dass bei der Modellierung im Pre-Prozessor keine Fehler, wie falsche Randbedingungen oder ein schlechtes Netz, vorherrschen. Falls Fehler auftreten, ist es erforderlich, das Modell zu ändern und erneut berechnen zu lassen, bis das Ergebnis die Validierung besteht.

Abbildung 32: Ablauf einer

FEM-Berechnung [Klein, 2010] Abbildung 33: Verteilung der Arbeitsschritte [Klein, 2010]

3.4.2 Elementtypen

Grundsätzlich gibt es zig verschiedene Elemente, welche in der FEM Verwendung finden.

Durch gezielte Anpassung der Elementtypen an das zu lösende Problem können so Berechnungen stark vereinfacht werden. In Abaqus wird in folgende Elementtypen unterschieden:

• Eindimensionale Elemente o Linien

• Zweidimensionale Elemente o Dreieckselemente o Viereckselemente

• Dreidimensionale Elemente o Tetraeder

o Prismen o Hexaeder

1-D 2-D 3-D

Unverformt

verformt

Tabelle 8: mögliche Elementtypen in Abaqus [SIMULIA, 2009]

Die eindimensionalen Elemente werden hauptsächlich für Tragwerke eingesetzt.

Zweidimensionale Elemente kommen vorwiegend bei dünnen Bauteilen und Faserverbunden mit einfacher Geometrie zum Einsatz.

Dreidimensionale Elemente kommen bei komplizierten Geometrien zum Einsatz.

Es können auch verschiedene Elementtypen kombiniert werden. Eine beliebige Kombination ist jedoch nicht möglich, da es notwendig ist, dass die einzelnen Knoten der Elemente kombiniert werden können.

3.4.3 Kontakt

Um Kontaktbedingungen zu simulieren gibt es verschiedenste Möglichkeiten. Zuerst gibt es unterschiedliche geometrische Kontaktvarianten die da wären:

• Knoten-zu-Oberfläche-Kontakt

• Punkt-zu-Oberfläche-Kontakt

• Oberfläche-zu-Oberfläche-Kontakt

Knoten-zu-Oberfläche-Kontakt

Bei einem Knoten-zu-Oberflächen-Kontakt wird überprüft, ob ein Knoten der Oberfläche 2 die Oberfläche 1 durchdringt. Die flächeninformationsliefernde Oberfläche wird auch Master genannt. Die Oberfläche 2, welche die entsprechenden Punkte liefert, wird als Slave

bezeichnet.

Abbildung 34: Knoten-zu-Oberfläche-Kontakt [Rust, 2011]

Abbildung 35: Knoten-zu-Oberflächen-Kontakt [Rust, 2011]

Punkt-zu-Oberflächen-Kontakt

Der Punkt-zu-Oberflächen-Kontakt verhält sich ähnlich wie der Knoten-zu-Oberflächen-Kontakt. Jedoch wird hier nicht überprüft ob ein Knoten die Oberfläche des Masters durchdringt, sondern andere Kontaktpunkte z.B. Integrationspunkte zwischen den Knoten.

Abbildung 36: Punkt-zu-Oberflächen-Kontakt [Rust, 2011]

Oberfläche-zu-Oberfläche-Kontakt

Beim Oberflächen-zu-Oberflächen-Kontakt, wird überprüft, ob ein Teil der Slave

Oberfläche die Oberfläche des Masters durchdringt. Dadurch wird sichergestellt, dass es keinerlei gegenseitige Durchdringung gibt, welche bei dem Punkt-zu-Oberfläche- und Knoten-zu-Oberfläche-Kontakt auftreten kann. Diese Variante ist zwar genauer, der Rechenaufwand aber entsprechend höher.

Abbildung 37: Oberfläche-zu-Oberfläche-Kontakt [Rust, 2011]

Grundsätzlich wird so eine gegenseitige Durchdringung mehr oder weniger genau verhindert.

Durch die Eingabe von Reibparametern zwischen verschiedenen Kontaktflächen können nun die auftretenden Kräfte, Verschiebungen und Spannungen recht genau ermittelt werden.

3.4.4 Aussagekraft einer FE-Analyse

Der häufigste Fehler, welchen gerade unerfahrene Berechnungsingenieure begehen, ist das Nicht-Hinterfragen der Ergebnisse, welche die FE-Berechnung liefert. Da die FE-Analyse stets nur eine Approximation der Differentialgleichung darstellt, ist diese keine genaue Lösung. Des Weiteren muss beachtet werden, dass die Modellgeometrie eventuell vereinfacht wurde und entsprechende Kerbwirkungen im Post-Prozessor deshalb nicht sichtbar sind.