Faserdicken und die scheingeometrische Fundamentalgruppe 34

Bevor wir uns mit der scheingeometrischen Fundamentalgruppe befassen, geben wir an, welche Folgen die Berechnungen des letzten Abschnitts auf die Ver¨ ande-rung der Faserdicken von f: X→ S beim ¨Ubergang zu X^K˜l → S^˜l haben, wobei

˜l ⊂ k¯ eine endliche separable K¨orpererweiterung von k ist. Die folgenden Lem-mata erhalten wir direkt mit den Berechnungen in Abschnitt 2.2.2.

Lemma 2.2.14. Sei ˜l ⊂k¯ eine endliche Erweiterung von k, so dass S^˜l/S ´etale ist. Sei s∈S ein abgeschlossener Punkt und s˜∈S^˜l ein Punkt ¨uber s. Dann gilt

D(X^K_˜s^˜l) = D(X_s).

Mit anderen Worten: Beim ¨Ubergang zu einer ´etalen Erweiterung von S ¨andert sich die Faserdicke nicht.

Nach Bemerkung 2.1.5 ist die scheingeometrische Fundamentalgruppe vonX ge-nau dann nicht trivial, wenn es eine endliche Erweiterung ˜l ⊂ k¯ von k gibt, so dassS^˜l/S verzweigt und X^K˜l/X´etale ist. Inwiefern sich die Faserdicken in genau dieser Situation von X→S zu X^K˜l →S^˜l ver¨andern, wird nun angegeben:

Lemma 2.2.15. Sei ˜l ⊂ ¯k eine endliche Galoissche Erweiterung von k vom Primzahlgrad p, so dass S^˜l/S verzweigt und X^K˜l/X ´etale ist. Sei ˜s1 ∈ S^˜l ein abgeschlossener Punkt im Verzweigungsort von S^˜l/S und s₁ ∈ S der Punkt, der unterhalb s˜₁ liegt. Dann gilt

ν_p(D(X^K_s˜1^˜l)) = ν_p(D(X_s1))−1 und f¨ur alle Primzahlen q6=p erhalten wir:

ν_q(D(X^K_˜s1^˜l)) =ν_q(D(X_s1)).

Sei s˜₂ ∈ S^˜l ein abgeschlossener Punkt, der nicht im Verzweigungsort von S^˜l/S liegt und s₂ ∈S der Punkt, der unterhalb s˜₂ liegt. Dann gilt

D(X^K_˜s2^˜l) =D(X_s2).

Die Faserdicke ver¨andert sich also nur bei den Punkten im Verzweigungsort.

Lemma 2.2.16. Sei ˜l⊂k¯ eine endliche Erweiterung vonk, so dassX^K˜l/X´etale ist. Sei s˜∈S^˜l ein abgeschlossener Punkt und s ∈S der Punkt, der unters˜liegt.

Sei P das maximale Ideal von O_S^˜l,˜s und e der Verzweigungsindex von P ¨uber k.

Dann gilt

D(X^K_s˜^˜l) =D(X_s) :e.

Lemma 2.2.17. Sei l die maximale Erweiterung von k in k, so dass¯ S^l/S un-verzweigt ist. Gehen wir von der Grundsituationf: X→S zuf˜: X^Kl →S^l ¨uber, so erhalten wir f¨ur einen Punkt s˜∈S^l und sein Bild s∈S:

D(X^Kl_˜s ) = D(X_s).

Nun haben wir alle Vorbereitungen getroffen, um die Trivialit¨at der scheingeo-metrischen Fundamentalgruppe in dem Fall zu beweisen, wenn alle Faserdicken in der Grundsituation gleich Eins sind.

Satz 2.2.18. Sei S ein exzellentes eindimensionales Dedekindschema mit voll-kommenen Restklassenk¨orpern und Funktionenk¨orperkund Xein zusammenh¨ an-gendes regul¨ares S-Schema, so dass der Strukturmorphismus surjektiv und von endlichem Typ mit zusammenh¨angender geometrischer generischer Faser X×_Sk¯ ist. Sei s¯ein geometrischer Punkt von X×_Sk. Sind alle Faserdicken von¯ X ¨uber S gleich Eins, dann ist die Folge ´etaler Fundamentalgruppen

π₁(Xk¯,s)¯ →π₁(X,¯s)→π₁(S,s)¯ →1 exakt.

Beweis. Nach Definition ist die Folge (∗) genau dann exakt, wenn die scheingeo-metrische Fundamentalgruppe von X trivial ist. Dies ist nach Bemerkung 2.1.5

¨

aquivalent dazu, dass X^K˜l/X f¨ur alle endlichen separablen K¨orpererweiterungen

˜l⊂k¯ von k verzweigt sobald S^˜l/S verzweigt.

Angenommenπ₁^sch.geo(X,s) w¨¯ are nicht trivial. Dann gibt es eine endliche Galois-sche Erweiterung ˜l⊂k¯ von k, so dassS^˜l/S verzweigt und X^K˜l/X´etale ist.

Sei ˜k ⊆˜l die maximale Erweiterung vonk, so dassS^k˜/S´etale ist. Gehen wir von der Grundsituationf: X→S zu ˜f: X^K˜k→S^˜k ¨uber, so erhalten wir die folgende Situation:

• S^k˜ ist ein eindimensionales Dedekindschema.

• Das Schema X^K˜k ist ein regul¨ares Schema.

• Der Morphismus ˜f ist surjektiv, flach und von endlichem Typ mit zusam-menh¨angender geometrischer generischer Faser.

• Sei s⁰ ∈ S^k˜ ein abgeschlossener Punkt und s ∈ S der darunterliegen-de Punkt. Dann gilt mit Lemma 2.2.14, dass sich die Faserdicken nicht ver¨andern, das heißt

D(X^K_s0^˜k) =D(X_s).

Sei nun ˜k₂ ⊂ ˜l eine nicht-triviale (nach Voraussetzung verzweigte) Erweiterung von ˜k. Sei ˜t ∈ S^k˜2 ein Punkt im Verzweigungsort der Erweiterung S^˜k2/S^˜k und t der unterliegende Punkt in S^˜k. Der lokale Ring von S^˜k2 bei ˜t ist ein diskreter Bewertungsring, der den lokalen Ring vonS^˜k bei t dominiert. Sei e der Verzwei-gungsindex des maximalen Ideals vonO_S˜k2,˜t uber ˜¨ k. Da ˜t ein Punkt im Verzwei-gungsort ist, gilte 6= 1. Mit Lemma 2.2.16 erhalten wir dann

D(X^K_˜t ^˜k2) =D(X^K_t ^˜k) :e.

Insbesondere muss die Faserdicke von X^K_˜t ^k˜2 ein Vielfaches von e sein.

Dies aber steht im Widerspruch zur Annahme, dass die Faserdicken vonX^Kk˜ ¨uber S^k˜ (= Faserdicken von X ¨uberS) gleich Eins sind.

Lemma 2.2.19. Sei S ein exzellentes eindimensionales Dedekindschema mit vollkommenen Restklassenk¨orpern und Funktionenk¨orper k und X ein zusam-menh¨angendes regul¨ares S-Schema, so dass der Strukturmorphismus surjektiv und von endlichem Typ mit zusammenh¨angender geometrischer generischer Fa-ser X×_Sk¯ ist. Sei s¯ein geometrischer Punkt von X×_S ¯k. Sind alle Fasern des Morphismusf reduziert, dann ist die Folge

π₁(Xk¯,s)¯ →π₁(X,¯s)→π₁(S,s)¯ →1 exakt.

Beweis. Dies folgt mit Satz 2.2.18 sofort aus der Tatsache, dass alle Faserdicken nach Bemerkung 2.2.5 gleich Eins sind, falls alle Fasern reduziert sind.

Satz 2.2.20. Sei S ein exzellentes eindimensionales Dedekindschema mit voll-kommenen Restklassenk¨orpern und Funktionenk¨orper k und X ein zusammen-h¨angendes regul¨ares S-Schema, so dass der Strukturmorphismus surjektiv und von endlichem Typ mit zusammenh¨angender geometrischer generischer Faser X×_S ¯k ist. Sei s¯ ein geometrischer Punkt von X×_S ¯k. Sind alle Fasern von X ¨uber S teilerfremd zu einer Primzahl p, dann ist die Folge der maximalen pro-p-Faktorgruppen

(∗) π₁(X¯k,s)(p)¯ →π₁(X,s)(p)¯ →π₁(S,s)(p)¯ →1 exakt.

Beweis. Sei ˜l ⊂¯keine endliche Galoissche Erweiterung von k vomp-Potenzgrad, so dassX^K˜l/X ´etale ist. Es gen¨ugt zu zeigen, dass S^˜l/S ´etale ist.

AngenommenS^˜l/S w¨are verzweigt. Gehen wir vonf:X→S zu ˜f: X^K˜l →S^˜l

¨uber, so erhalten wir mit Lemma 2.2.15 und Lemma 2.2.13, dass die Faserdicke vonX^K˜k ¨uber einem Verzweigungspunkt durch einep-Potenz geteilt wird. Insbe-sondere muss die Faserdicke auf Niveauf:X→S ein Vielfaches von psein. Dies aber widerspricht der Annahme, dass die Faserdicken teilerfremd zup sind.

Satz 2.2.21. Sei S ein exzellentes eindimensionales Dedekindschema mit voll-kommenen Restklassenk¨orpern und Funktionenk¨orperkund Xein zusammenh¨ an-gendes regul¨ares S-Schema, so dass der Strukturmorphismus surjektiv und von endlichem Typ mit zusammenh¨angender geometrischer generischer Faser X×_Sk¯ ist. Sei l⁰ die maximale Erweiterung von k in k, so dass¯ X^K˜l/X ´etale ist. Dann existiert eine endliche Erweiterung ˜l von k in l⁰, so dass

π₁(X_k¯^K˜l,s)¯ →π₁(X^K˜l,s)¯ →π₁(S^˜l,s)¯ →1 exakt ist, wobeis¯einen geometrischen Punkt von X_k¯^K˜l bezeichne.

Beweis. Angenommen es existiert keine Galoiserweiterung ˜l/k, so dass S^˜l/S ver-zweigt und X^K˜l/X´etale ist, so ist bereits die Folge

π₁(Xk¯,s)¯ →π₁(X,¯s)→π₁(S,s)¯ →1 exakt und wir sind fertig.

Sei ansonsten ˜k ⊂k¯ eine Galoissche Erweiterung von k, so dass S^˜k/S verzweigt undX^K˜k/X´etale ist. Gehen wir vonf: X→S zu ˜f:X^K˜k →S^k˜ ¨uber, so erhalten wir f¨ur die Faserdicken folgende Ver¨anderungen:

Sei ˜s ∈ S^k˜ ein Punkt, der nicht im Verzweigungsort des Morphismus S^˜k → S liegt und seis∈S der unterliegende Punkt. Dann gilt mit Lemma 2.2.16

D(X^K_s˜^˜k) =D(X_s).

Sei ˜s ∈S^k˜ ein Punkt, der im Verzweigungsort des MorphismusS^˜k→S liegt und seis ∈S der unterliegende Punkt. Sei P das maximale Ideal des lokalen Ringes vonS^˜k bei ˜sund e:=p^e₁¹· · ·p^e_nⁿ die Zerlegung des Tr¨agheitsgrades von Puber¨ k in Primfaktoren. Dann gilt mit Lemma 2.2.16

ν_pi(D(X^K_s˜^˜k)) =ν_pi(D(X_s))−e_i f¨uri∈ {1, . . . , n} und

ν_p(D(X^K_˜s ^˜k)) = ν_p(D(X_s)) f¨ur alle Primzahlen p6∈ {p1, . . . , pn}.

Bei allen Punkten im Verzweigungsort verringert sich also die Faserdicke. Liegt ein Punkt nicht im Verzweigungsort, so bleibt die Faserdicke beim ¨Ubergang kon-stant.

Nun k¨onnen wir erneut fragen, ob die scheingeometrische Fundamentalgruppe von X^K˜k trivial ist. Falls ja, dann sind wir fertig. Ansonsten f¨uhren wir obigen Schritt erneut aus und erhalten bei jedem ¨Ubergang zu einer nicht-trivialen Erweiterung

˜k wie oben Faserdicken im Verzweigungsort, die sich verringern. Alle anderen Faserdicken bleiben konstant. Da nach Lemma 2.2.6 nur endlich viele Faserdicken von Eins verschieden und die Faserdicken endlich sind, k¨onnen wir nach endlich vielen Iterationsschritten annehmen, dass es keine Erweiterung ˜l₁ von ˜l gibt, so dass S^l˜1/S verzweigt und X^Kl˜1/X^˜l unverzweigt ist.

Daf¨ur gibt es zwei M¨oglichkeiten:

1. Die Faserdicken sind nach endlich vielen Schritten alle gleich Eins.

2. Nach ¨Ubergang zuX^Kk˜ →S^˜k ist die scheingeometrische Fundamentalgrup-pe von X^K˜k trivial, obwohl die Faserdicken nicht alle gleich Eins sind.

Beide M¨oglichkeiten liefern das gew¨unschte Ergebnis.

Bemerkung 2.2.22. Der Satz 2.2.21 liefert nicht die Endlichkeit der scheingeo-metrischen Fundamentalgruppe vonX, denn:

Der ¨Ubergang von f: X→S zu ˜f: X^K˜l→S^˜l wie im Beweis von Satz 2.2.21 lie-fert ”nur” die Trivialit¨at der scheingeometrischen Fundamentalgruppe von X^K˜l, macht jedoch keine Aussagen ¨uber die arithmetische Fundamentalgruppe von X^K˜l. Genau das ist der Punkt: Auch die arithmetische Fundamentalgruppe von X^K˜l kann ein

”Teil” der scheingeometrischen Fundamentalgruppe von Xsein.

Lemma 2.2.23. Sei s⁰ ∈ S^l0 ein abgeschlossener Punkt und P das maximale Ideal vonO_Sl0

,s⁰. Dann ist die Tr¨agheitsgruppe von P uber¨ k endlich.

Beweis. Sei s das Bild von s⁰ in S. Liegts⁰ nicht im Verzweigungsort vonS^l0/S, so ist die Tr¨agheitsgruppe von P ¨uber k trivial. Sei nun s⁰ ∈ S^l0 ein Punkt im Verzweigungsort von S^l0/S. Sei ˜l ⊂ l⁰ eine endliche Erweiterung von k. Wir bezeichnen das Bild vons⁰ inS^˜lmit ˜s. Angenommen ˜sw¨urde im Verzweigungsort von S^˜l/S liegen. Beim ¨Ubergang von f: X → S zu ˜f: X^K˜l → S^˜l verringert sich nach Satz 2.2.9 die Faserdicke vonX^K˜luber ˜¨ s. Da die Faserdicke endlich ist, muss der Prozess nach endlich vielen Schritten abbrechen. Damit folgt die Endlichkeit der Tr¨agheitsgruppe von P ¨uberk.

Lemma 2.2.24. Es gibt nur endlich viele Punkte s⁰₁, . . . , s⁰_n ∈ S^l0, so dass die Tr¨agheitsgruppe des maximalen Ideals P_i von O_Sl0

,s⁰_i, i∈ {1, . . . , n} ¨uber k nicht trivial ist.

Beweis. Sei s ∈ S ein Punkt, so dass die Faserdicke von X_s gleich Eins ist.

Sei s⁰ ∈ S^l0 ein Punkt, der ¨uber s ∈ S liegt. Dann ist die Tr¨agheitsgruppe des maximalen Ideals von O_Sl0

,s⁰ trivial. Es k¨onnen also nur die maximalen Ideale der lokalen Ringe bei den endlich vielen Punktens⁰ ∈S⁰ uber den endlich vielen¨ Punkten s ∈ S, so dass die Faserdicke von Xs von Eins verschieden ist, eine nicht-triviale Tr¨agheitsgruppe haben.

Korollar 2.2.25. Gal(l⁰/l) ist in Gal(l⁰/k) als Normalteiler von endlich vielen endlichen Tr¨agheitsgruppen erzeugt.

Fordern wir in der Grundsituation zus¨atzlich, dass das Schema S das Spektrum eines henselschen lokalen Ringes ist, so k¨onnen wir die scheingeometrische ´etale Fundamentalgruppe besser charakterisieren:

Definition 2.2.26. ([NSW], Def. 1.1.5 und Def. 1.1.6) 1. Eine ¨ubernat¨urliche Zahl ist ein formales Produkt

Y

p

p^np,

wobeipalle Primzahlen durchl¨auft und f¨ur jedespist der Exponentn_p eine nicht-negative ganze Zahl oder das Symbol ∞.

2. Sei Geine proendliche Gruppe. Die Ordnung von Gist definiert als

#G:=kgV(#(G/U))_U,

wobei U alle offenen normalen Untergruppen von G durchl¨auft.

Lemma 2.2.27. Sei A ein henselscher diskreter Bewertungsring mit perfektem Restklassenk¨orper und perfektem Quotientenk¨orperk. SeiS := Spec(A)undXein zusammenh¨angendes regul¨ares S-Schema, so dass der Strukturmorphismus sur-jektiv und von endlichem Typ mit zusammenh¨angender geometrischer generischer FaserX×S¯k ist. Sein die Faserdicke von X¨uber dem abgeschlossenen Punkt von S. Dann ist die Ordnung der scheingeometrischen ´etalen Fundamentalgruppe ein Teiler von n.

Beweis. Sei ˜l ⊂ k¯ eine endliche separable Erweiterung von k, so dass S^˜l/S ver-zweigt undX^K˜l/X´etale ist; das heißt, dassX^K˜leine scheingeometrische ¨ Uberlage-rung vonXist. Seipdas maximale Ideal des lokalen Ringes vonS^˜lim abgeschlos-senen Punkt vonS^˜l. Nach Lemma 2.2.16 ist die Ordnunge der Tr¨agheitsgruppe vonp uber¨ k ein Teiler von n. SeiT_p der Tr¨agheitsk¨orper von p ¨uberk. Dann ist X^KTp eine arithmetische ¨Uberlagerung von X und e ein Teiler der Gruppenord-nung vonπ₁^sch.geo(X,s).¯

Sei nun S ein exzellentes eindimensionales Dedekindschema mit vollkomme-nen Restklassenk¨orpern und Funktionenk¨orperk undXein zusammenh¨angendes regul¨aresS-Schema, so dass der Strukturmorphismus von endlichem Typ mit zu-sammenh¨angender geometrischer generischer FaserX×_Sk¯ist. SeiU ⊆Sdas Bild von X inS und ¯s ein geometrischer Punkt von X×_S ¯k.

Wir k¨onnen von der Folge

π₁(X¯k,s)¯ →^g π₁(X,s)¯ →^h π₁(S,s)¯ zur Folge der maximal abelschen Faktorgruppen

π₁^ab(Xk¯,s)¯ →^˜g π₁^ab(X,s)¯ →^h˜ π₁^ab(S,s)¯

¨ubergehen.

Korollar 2.2.28. Die Faktorgruppe ker(˜h)/im(˜g) ist endlich.

Beweis. Sei l^ab die maximale abelsche Erweiterung von k, so dass U^lab/U ´etale ist undl^0ab die maximale abelsche Erweiterung vonk, so dassX^Kl

0ab

/X´etale ist.

Analog zum nicht-abelschen Fall wird die Galoisgruppe Gal(l^0ab/l^ab) in Gal(l^0ab/k) von endlich vielen endlichen Tr¨agheitsgruppen erzeugt. Da die Tr¨agheitsgruppen abelsch sind, folgt die Endlichkeit von Gal(l^0ab/l^ab).

Bemerkung 2.2.29. Ist der Morphismus f:X → S surjektiv und S das Spek-trum des Ringes der ganzen Zahlen eines Zahlk¨orpers, so folgt die Endlichkeit von ker(˜h)/im(˜g) sofort aus der Endlichkeit von π^ab₁ (X,¯s), die A. Schmidt in [Sch], Theorem 3.1 gezeigt hat.

Kapitel 3 Beispiele

Das BasisschemaS im zweiten Kapitel ist ein exzellentes eindimensionales Dede-kindschema mit vollkommenen Restklassenk¨orpern. Der Funktionenk¨orper von S wird mit k bezeichnet. F¨ur ein zusammenh¨angendes regul¨ares S-Schema X, so dass der Strukturmorphismus surjektiv und von endlichem Typ mit zusam-menh¨angender geometrischer generischer Faser ist, haben wir die scheingeometri-sche Fundamentalgruppe eingef¨uhrt. Es wurden Voraussetzungen angef¨uhrt und herausgearbeitet, in denen die scheingeometrische Fundamentalgruppe trivial ist, was ¨aquivalent dazu war, dass f¨ur einen geometrischen Punkt ¯sder geometrischen generischen FaserX×_S¯k die Folge ´etaler Fundamentalgruppen

π₁(X×_S¯k,¯s)→π₁(X,s)¯ →π₁(S,s)¯ →1 exakt ist.

In diesem Kapitel sollen nun Schemata X wie in der Grundsituation mit nicht-trivialer scheingeometrischer Fundamentalgruppe konstruiert werden. Wie wir bereits in Kapitel 2 gesehen haben, ist die scheingeometrische Fundamentalgrup-pe eines S-Schemas X wie in der Grundsituation in Kapitel 2 trivial, falls alle Faserdicken gleich Eins sind. Um ein SchemaXmit nicht-trivialer scheingeometri-scher Fundamentalgruppe zu konstruieren, ist es also notwendig, dass mindestens eine Faserdicke von Eins verschieden ist.

Im zweiten Abschnitt (Beispiel 1) ist das BasisschemaS das Spektrum des Ringes der ganzen Zahlen eines lokalen K¨orpers. Sei p die Charakteristik des Restklas-senk¨orpers von O_k. Zur Konstruktion des gew¨unschten S-Schemas mit nicht-trivialer scheingeometrischer Fundamentalgruppe ben¨otigen wir im ersten Bei-spiel die Theorie elliptischer Kurven ¨uber einem lokalen K¨orper k. Das SchemaX mit nicht-trivialer scheingeometrischer Fundamentalgruppe ist dann ein regul¨ares Modell eines bestimmten Twists einer elliptischen Kurve ¨uberk.

Die spezielle Faser von X hat nur Komponenten, deren Vielfachheiten p-Potenzen sind.

F¨ur das zweite Beispiel in diesem Kapitel hat J.-L. Colliot-Th´el`ene den Hinweis gegeben, dass die Komponenten der speziellen Faser eines regul¨aren Modells von

Proj (Qp[x, y, z]/(x³+py³+p²z³))→Spec(Qp)

¨uber Spec(Zp) nur Vielfachheiten haben, die durch drei teilbar sind. Ein regul¨ares Modell daf¨ur wird im zweiten Abschnitt dieses Kapitels durch Aufblasungen und Normalisierung konstruiert.

In den folgenden beiden Beispielen f¨ur Schemata mit nicht-trivialer scheingeome-trischer Fundamentalgruppe ben¨otigen wir die Theorie der Modelle von Kurven.

Daher werden wir im folgenden Abschnitt die S¨atze und Definitionen angeben, die f¨ur uns relevant sind.

3.1 Modelle

Wir f¨uhren die Theorie der gefaserten Fl¨achen und der Modelle nach [Liu], Kapitel 8-10 ein.

Definition 3.1.1. Sei S ein Dedekindschema.

1. Ein integres, projektives, flaches zweidimensionales S-SchemaC → S heißt eine gefaserte Fl¨ache ¨uber S.

2. Die gefaserte Fl¨acheC heißt normal, falls C normal ist.

3. Eine regul¨are gefaserte Fl¨ache ¨uber einem eindimensionalen Dedekindsche-ma heißt eine arithmetische Fl¨ache.

Definition 3.1.2. Sei S ein eindimensionales Dedekindschema mit Funktio-nenk¨orper k und C eine normale, zusammenh¨angende projektive Kurve ¨uberk.

1. Wir nennen eine normale gefaserte Fl¨ache C → S zusammen mit einem Isomorphismus C_k :=C ×_Sk ∼=C ein Modell von C ¨uber S.

2. Das Modell C heißt regul¨ar, falls C regul¨ar ist.

3. Ein Morphismus C → C⁰ von zwei Modellen ¨uber C ist ein Morphismus von S-Schemata, der kompatibel ist mit den Isomorphismen C_k ∼= C und C_k⁰ ∼=C.

Desingularisierung

Definition 3.1.3. Sei X ein reduziertes Schema. Ein eigentlicher birationaler Morphismus f: Z → X, wobei Z ein regul¨ares Schema ist, heißt eine Desingu-larisierung von X. Istf ein Isomorphismus ¨uber jedem regul¨aren Punkt vonX, so heißtZ eine Desingularisierung im starken Sinn.

Satz 3.1.4. ([Liu], 8, Cor. 3.51) Sei S ein eindimensionales Dedekindschema und X →S eine gefaserte Fl¨ache mit glatter generischer Faser. Dann erlaubtX eine Desingularisierung im starken Sinn.

Das bedeutet, dass folgende Folge endlich ist:

· · ·X_n+1 →X_n→ · · · →X₁ →X,

wobei X₁ die Normalisierung von X ist und f¨ur alle i ≥ 1 ist X_i+1 → X_i das Kompositum der AufblasungX_i⁰ →Xi im singul¨aren Ort von Xi und der Norma-lisierung X_i+1 →X_i⁰. Die Folge endet bei m, falls X_m regul¨ar ist.

Korollar 3.1.5. Sei S ein eindimensionales Dedekindschema und X → S eine normale gefaserte Fl¨ache mit glatter generischer Faser und X^reg eine Desingula-risierung vonX im starken Sinn. Sei s∈S und X_s^reg die Faser ¨uber s. Hat X_s^reg nur irreduzible Komponenten der Vielfachheit Eins, so auch die Faser X_s.

Minimale regul¨are Modelle

Definition 3.1.6. Sei X →S eine regul¨are gefaserte Fl¨ache.

1. Sei E eine Menge von integren projektiven Kurven auf X. Eine normale gefaserte Fl¨ache Y → S zusammen mit einem projektiven birationalen Morphismus f : X → Y, so dass f¨ur jede integre vertikale Kurve E auf X die Menge f(E) genau dann ein Punkt ist, wenn E ∈ E gilt, heißt eine Kontraktion der Kurven E ∈ E.

2. Ein Primdivisor E auf X heißt ein exzeptioneller Divisor, falls folgendes gilt:

Es existiert eine regul¨are gefaserte Fl¨ache Y → S und ein Morphismus f: X → Y von S-Schemata, so dass f(E) auf einen Punkt reduziert ist und f: X\E →Y \f(E) ein Isomorphismus ist. Ein exzeptioneller Divisor E ist also eine integre Kurve zusammen mit einer Kontraktion zu einem regul¨aren Punktf(E).

Theorem 3.1.7. (Faktorisierungssatz, [Liu], 9, Theorem 2.2) Sei S ein Dede-kindschema undf: X →Y ein birationaler Morphismus von regul¨aren gefaserten Fl¨achen ¨uber S. Dann ist f eine endliche Folge von Aufblasungen in abgeschlos-senen Punkten.

Satz 3.1.8.([Liu], 9, Prop. 2.5) SeiY eine regul¨are gefaserte Fl¨ache undf: X → Y die Aufblasung von Y in einem abgeschlossenen Punkt y ∈ Y_s. Sei E das Schema X_y. Dann gilt E ∼=P¹_κ(y).

Definition 3.1.9. Sei X →S eine regul¨are gefaserte Fl¨ache.

1. Die gefaserte Fl¨acheX heißt relativ minimal, falls sie keinen exzeptionellen Divisor enth¨alt.

2. Die gefaserte Fl¨acheX heißtminimal, falls jede birationale Abbildung von regul¨aren gefasertenS-Fl¨achen Y 99KX ein birationaler Morphismus ist.

Definition 3.1.10. Sei X →S eine normale gefaserte Fl¨ache.

1. Eine regul¨are gefaserte Fl¨ache Y → S zusammen mit einer birationalen Abbildung Y 99KX heißt Modell von X ¨uber S.

2. Ein Morphismus von zwei Modellen Y₁, Y₂ von X ist ein Morphismus gefa-serter S-Fl¨achen Y₁ → Y₂, der kompatibel ist mit den birationalen Abbil-dungen Y₁ 99KX und Y₂ 99KX .

3. Ein Modell Y von X heißt das minimale regul¨are Modell von X, falls Y minimal ist als regul¨are gefaserte Fl¨ache ¨uber S. Existiert das minimale regul¨are Modell, so ist es eindeutig.

Satz 3.1.11. ([Liu], 10, Prop. 1.8) Sei S ein affines Dedekindschema mit Funk-tionenk¨orper k und C eine glatte projektive Kurve vom Geschlecht ≥ 1 ¨uber k.

Dann existiert ein eindeutig bestimmtes minimales regul¨ares Modell vonC¨uberS.

Korollar 3.1.12. Sei S ein affines Dedekindschema mit Funktionenk¨orperk und C eine glatte projektive Kurve vom Geschlecht ≥ 1 ¨uber k. Sei C ein regul¨ares Modell von C ¨uber S und C_min das minimale regul¨are Modell von C ¨uber S. Sei s∈S ein abgeschlossener Punkt und C_min,s die Faser von C_min ¨ubers. Haben alle irreduziblen Komponenten von C_min,s die Vielfachheit Eins, so auch die irredu-ziblen Komponenten der Faser vonC ¨uber s.

Beweis. Dies folgt direkt aus Theorem 3.1.7 und Satz 3.1.8.

Reduktion

Sei S ein eindimensionales Dedekindschema mit Funktionenk¨orper k.

Definition 3.1.13. Sei C eine normale projektive Kurve ¨uber k. Wir fixieren einen abgeschlossenen Punkts ∈S.

1. Wir nennen die Faser C_s eines Modells C von C ¨uberS eine Reduktion von C bei s.

2. Die Kurve C hat gute Reduktion bei s ∈S, fallsC ein glattes Modell ¨uber Spec(O_S,s) erlaubt.

3. Die Kurve C hat gute Reduktion ¨uber S, falls sie gute Reduktion bei allen abgeschlossenen Punkten s∈S hat.

Satz 3.1.14.([Liu], 10, Prop. 1.21) SeiC eine glatte projektive Kurve ¨uberk vom Geschlecht g ≥ 1. Sei das Dedekindschema S affin. Dann hat C gute Reduktion

¨uber S genau dann, wenn das minimale regul¨are Modell von C ¨uber S glatt ist.

Korollar 3.1.15. Sei das Dedekindschema S affin und C eine glatte projektive Kurve ¨uberk vom Geschlecht g ≥1mit guter Reduktion. Dann haben alle irredu-ziblen Komponenten der Fasern des minimalen regul¨aren Modells die Vielfachheit Eins.

Im Dokument Die scheingeometrische ´etale Fundamentalgruppe (Seite 35-46)