Faasisiirded uuritavas mudelis

Enne gravitatsioonilainete uurimist vaatleme, millised faasisiirded võiksid antud mudelis teki-tada ka GL-id. Selleks kasutame efektiivset potentsiaali kõrge temperatuuri lähendis (1.14), mis

ei anna küll täpseid tulemusi FS karakteristikute kohta, nagu nukleatsiooni temperatuuri väärtus, kuid võimaldab analüütiliselt hinnata võimalike FS-te toimumist. Täpsed ühe-silmuse paran-did võivad muuta FS-te struktuuri ja tekitada juurde ka uusi võimalike faase või muuta 2. järku siirded 1. järku siireteks, kuid üldjuhul on need nõrgalt 1. järku.

Lähtudes eelnevalt tehtud kitsendusest vaadata miinimume, kusχ = 0, jääb võimalikuks neli faasi O, H, S, HS. Kasutades termilisi parandeid kõrge temperatuuri lähendis (1.14) saab kirjutada efektiivse potentsiaali, tehes massiparameetrite asendusedµ²_H,S →µ²_H,S(T), kus

µ²_S(T) =µ²_S+c_sT², µ²_H(T) = µ²_H +c_hT². (2.25) µ²_Sjaµ²_H on algsed massiparameetridT = 0juures ning

c_s = 1

3λ_S+1

6λ_SH, c_h = 1

48(9g²+ 3g⁰²+ 12y_t²+ 24λ_H + 4λ_SH). (2.26) g, g⁰ jaytliikmed tulevadW^±jaZ bosonite ning t-kvargi panustest, mille massid ja vabadus-astmed on antud [16]

M_W² ± = 1

4(g²+g⁰²)h², M_Z² = 1

4g²h², M_t² = 1

2y_t²h², (2.27) n²_W± = 6, n²_Z = 3, n²_t = 12, (2.28) kusg = 0,64754jag⁰ = 0,35940on vastavalt nõrga vastastikmõju isospinni ja hüperlaengu seo-sekonstandid ningy_t = 0,95096on SM t-kvargi Yukawa seosekonstant. Kergematest osakestest tulevad parandid on tühised ning neid siinkohal ei arvesta.

FS-te puhul on üheks põhiliseks parameetriks kriitiline temperatuurT_k, mis on defineeritud kui temperatuur, kus potentsiaal kahes ekstreemumis on võrdne. Analüütiliselt leitavad kriitilised temperatuurid on

T_k²(O ↔ H) =−µ²_H

c_h , T_k²(O ↔ S) = µ²₃−4λSµ²_S

4c_sλ_S , T_k²(H ↔ HS) = λ²_Hµ²₃−DHS

4λ₂λ₄ , T_k²(S ↔ HS)≈ −9c_hλ_SHµ²₃+λ₃(8λ_SHµ²_S−16λ_Sµ²_H) + 3λ_SHµ₃^q9c²_hµ²₃+ 16∆µ²λ₃

8λ²₃ ,

(2.29) kus tähistame

λ₂ =c_hλ_SH−2c_sλ_H, λ₃ = 2c_hλ_S−c_sλ_SH, λ₄ = 4λ_Hλ_S−λ²_SH, ∆µ² =c_sµ²_H −c_hµ²_S, (2.30) mida kasutame ka edaspidi. Viimane lähendus kehtib piirkonnas, kus faasisiire on ligilähedaselt teist järku, sest see on täpne võrrand temperatuuri jaoks, kui VEV-id S ja HS ekstreemumis on võrdsed. Esimest järku faasisiirde jaoks leiame kriitilise temperatuuri numbriliselt nagu ka O ↔ HS jaH ↔ S jaoks.

EkstreemumidS−jaHS−ei saa miinimumidena realiseeruda kaT 6= 0juhul, kuna nende mas-simaatriksi omaväärtuste hulgas on kaks, mis vahetavad samaaegselt märki, kuid vastupidiselt, mis tähendab, et alati on üks massimaatriksi omaväärtus negatiivne.

2.2.1 Faasisiirete järk ja toimumine

TJFS jaoks peavad mõlema miinimumi VEV-id olema samadT =T_kjuures, vastasel juhul on toimub EJFS.

ÜleminekuO ⇔ H puhul on mõlemas ekstreemumishhi_O,H(T_k) = 0, mis tähendab TJFS-t.

Siirde toimumiseks peavadOjaHolema miinimumid kuiT =T_k, mis annab tingimuse µ²_S > c_sµ²_H

c_h . (2.31)

O ⇔ S puhul onS VEVhsi_S(T_k) = − µ3

√2λ_S kuidhsi_O(T_k) = 0ning toimub EJFS. Siirde toimumiseks peavad aga kehtima veel

µ²_H > c_h(4λ_Sµ²_S−µ²₃)

4c_sλ_S − λ_SHµ²₃

16λ²_S , µ²_H > c_h(4λ_Sµ²_S−µ²₃)

4c_sλ_S , (2.32)

mis tagavad massimaatriksite omaväärtuste positiivsuse.

H ⇔ HS puhul on HS miinimumis hsi_HS(T_k) = −

√2λ_Hµ₃

λ₄ , mis tähendab EJFS-t, kuna hsi_H(T_k) = 0. Siirdeks peab lisaks vähemalt kehtima tingimus

4λ_Hc_hλ_Hµ²₃+∆µ²λ₄

λ₂λ₄ >0 (2.33)

mis tuleb lihtsaimast massimaatriksi omaväärtustest.

2.2.2 Kõrge temperatuuri miinimum

Sõltuvaltc_hjac_smärgist on võimalikud kõrge temperatuuri miinimumid (KTM), kasO, Hvõi S. Seda saab näha massimaatriksi omaväärtustest vastavas miinimumis. Vaatame konkreetselt O miinimumi juhtu, kus massimaatriksi omaväärtused on

M_hh² (T) =T²c_h+µ²_H, M_ss²(T) =T²c_s+µ²_S. (2.34) Kõrge temperatuuri lähendis onµ²_H jaµ²_S tühised ja seega kuic_h <0võic_s <0, siisO ei saa olla KTM.

Hmiinimumi puhul annavadM² omaväärtused tingimusteks

a) c_h <0, b) 2λ_Hc_s−λ_SHc_h >0. (2.35) Viies tingimused vastavusse mudeli parameetritega, saame

c_h <0^(2.26)→ λ_SH <0^(2.16c)→ M_h2 ≷M_h1, kuiθ ≷0, (2.36) kus kaks viimast tingimust on tarvilikud, kuid mitte piisavad, etc_h <0.

Kuiλ_SH < 0, siisc_s võib olla nii positiivne kui ka negatiivne. Kuic_s < 0, siis ei saa (2.35b) kunagi kehtida. Seega peab kehtimac_s>0, mille puhul tuleb aga vaadata ka täpsemalt (2.35b) liikmete omavahelisi suhteid. Võttes, et parameetrid rahuldavad UP piiranguid (2.18), siis ei saa korraga kehtida c_h < 0ja c_s > 0, sest c_h < 0kehtimiseks peab olema λ_SH . −2,39π, kui λ_H = 0. Teine tingimus,c_s > 0, aga nõuab λ_SH > −³₂λ_S, mis annab nõrgimaks piiranguks λ_SH >−³₂π. See on aga vastuolus eelmise tingimusega ningHei saa olla KTM.

S miinimumi puhul on tingimused üpriski sarnased eelmisele juhule

a) c_s <0, b) 2λ_Sc_h−λ_SHc_s>0, (2.37) c_s<0^(2.26)→ λ_SH <0^(2.16c)→ M_h2 ≷M_h1, kuiθ≷0, (2.38) mis jällegi on ainult tarvilikud tingimused. Kuna peab kehtimaλ_SH <0, siis tingimusest (2.37b) lähtuvalt peab kehtima kac_h >0.

2.2.3 T = 0 miinimum

T = 0juures otsime globaalset miinimumi. Parametriseeringu (2.16) definitsiooni kohaselt on HS alati miinimumT = 0juures, kuid ei pruugi olla globaalne. Seega on lihtsaim vaadata kuna teised miinimumid on globaalsed. Kõigepealt peavad miinimumi eksisteerimiseks massimaar-tiksi omaväärtused olema positiivsed ning VEV-id reaalsed. See annab väga lihtsad tingimused O eksisteerimiseks:µ²_H > 0, µ²_S > 0, kus esimese kehtimiseks on tarvilikM_h2 ≷ M_h1, kui θ ≷0.

HjaSjaoks aga

H: µ²_H <0, µ²_S > λ_SHµ²_H 2λH

ja S : µ²_H >−λ_SHhsi²

2 , µ²_S < 9µ²₃ 32λS

, (2.39) kus tingimusi on ainult kaks, sestOjaHpuhul on üks omaväärtus kahekordne ningSpuhul on kaks omaväärtust alati positiivsed, kuihsion reaalne, millest tuleb viimane tingimus.

Kuna meile on oluline, et lõppfaas oleksHS, siis toome tingimused, et viimane oleks globaalne:

V(HS)< V(O)⇒µ²_S <−v_s³(λ_Sv_s+√

2µ₃) +v_h²(λ_Hv_h²+λ_SHv_s²+ 2µ²_H)

2v_s² (2.40a)

V(HS)< V(H)⇒µ²_S < 2λ²_Hµ²₃+ 4λ_Hλ_Sλ_SHµ²_H −λ³_SHµ²_H

2λ_Hλ₄ , (2.40b)

V(HS)< V(S)⇒µ²_H < −λ³_Sv²_hλ_Hv_h² +λ_SHv_s²−λ³_Sv²_sλ_Sv_s²+√

2µ₃v_s+ 2µ²_S−λ²_Sµ⁴_S 2λ³_Sv²_h

+ 16λ_Sµ3µ²_S9µ₃−2√ DS

+ 9µ³₃−3µ3+√ DS

256λ³_Sv_h² , (2.40c)

kusD_S on antud valemiga (2.5) ning iga tingimust tuleb kontrollida ainult piirkonnas, kus

vas-tavaltO, HvõiS on miinimum.

Neist tingimustest teine (2.40b) annab lihtsa kuju parametriseeringus (2.16):

M_χ² < 9M_h²

1M_h²

2

M_h²

1cos²(θ) +M_h²

2sin²(θ), (2.41)

mis piirjuhulθ → 0annab tingimuseM_χ < 3M_h2. Seda võib vaadata kui jämedat hinnangut, kuna onHS globaalne miinimum ja seega seab ülemise piiri ka lubatud tumeaine massileM_χ. Ka joonistelt 3 ja 4 on näha, et saadud tingimus päris hea hinnangu, kui M_h2 jaθ ei lähe väga suureks.

Lõplikud tulemused esitame graafiliseltM_χ−v_s tasandil, kus oleme fikseerinudM_h2 ningθ ja on näidatud ka peatükis 2.1.2 toodud UP ja HNL piirangute poolt keelatud piirkonnad.

Joonis 3: Kõrge ja madala temperatuuri miinimumide eksisteerimise piirkonnadMχ−vstasandil. Täppidega piir-kond on keelatud UP ja viirutatud HNL poolt.Vasakul:Kõrge temperatuuri miinimum.Paremal:T = 0globaalne miinimum.

2.2.4 Faasisiirded

Lähtuvalt ainult eelnevalt leitud alg- ja lõppfaasidest on võimalike FS-te spekter juba üpriski rikkalik ning täpsem analüüs avaldab väga palju erinevaid FS-deid, kuid ka piirkondi ilma ühegi faasisiirdeta.

Kokkuvõtvalt esitame tulemused graafiliseltMχ−vstasandil, kus on näidatud keelatud piirkond ning mustade punktidega korrektse tumeaine jääktiheduse andev riba, mille leidmise detailid on toodud järgmises peatükis. Vastavate graafikute saamiseks kombineeriti võrratused (2.31 - 2.40), keerulisemad tingimused H ⇒ HS jaS ⇒ HS üleminekute jaoks ning numbrilised arvutusedO ⇒ HS jaS ⇔ Hjaoks, ühiste piirkondade leidmiseks. SõltuvaltM_h2 väärtusest ja θ märgist on üldiselt eristatavad kolme liiki tulemusi teatud miinimumide eksisteerimise ja FS-te tekkimise läbi.

Joonis 4: Faasisiirete tüüpide piirkonnad M_χ−v_s tasandil fikseeritudM_h2 ja θjuures. Neli erinevat graafikut näitavad tüüpilisi piirkondi erinevate juhtude jaoks. Punased jooned näitavad UP ja HNL piiranguid ning mustad täpid korrektse tumeaine tihedusega punkte.45^onurga all viirutatud piirkonnas onHkõrge temperatuuri miinimum,

−45^onurga all viirutatud piirkonnasS.

a) NiiH, S kui kaO saavad olla KTM-id, kuidS ei oleT = 0juures globaalne. Joonis 4 kaks ülemist joonist.

Realiseerub kuiM_h1 < M_h2 .1000 GeV, kuiθ > 0ningM_h1 > M_h2, kuiθ < 0. Täpne ülemine piirθ >0puhul sõltubθväärtusest ja kasvab järsult kuiθ →0. Segunemisnurga vahemikus0,05≤θ ≤0,4on ülemine piir750 GeV< M_h2 <1250 GeV. SuuremaM_h2 puhul teostub võimalus c).

b) M_h2 ≶M_h1, kuiθ ≷0, kusO ei saa ollaT = 0miinimum aga on alati KTM. Lisaks on enamasti võimalik ka vaheetapina uus siireH ⇔ S. Joonis 4 all vasakul.

c) Suur M_h2 (suurem kui juhu a) ülemine piir) ja θ > 0, kus tekib võimalus H ⇒ O. . . tüüpi siireteks ning S võib olla lõppmiinimum. Nõudes aga UP piirangute rahuldamist tähendab see, et FS-ded läbiH ei ole enam võimalikud, kunaH saab olla ainult KTM, mis on aga keelatud UP poolt. Vaata joonis 4 all paremal.

Jooniselt 4 on näha, et kuigi erinevaid FS-te tüüpe on palju, siis võimalusi, et jõuda korrektsesse faasiHSja samal ajal rahuldada UP piiranguid, nii palju ei ole. Suures osas parameetrite ruumist

on olemas O ⇒ S ⇒ HS ja S ⇒ HS, kuid see nõuab siiski v_s & 100 GeV. Et faasisiire läbiksH-d, on tarvilik väiksemM_h2, mis lõdvendab UP piiri ning toob ka korrektse tumeaine jääktiheduse madalama vs juurde. Siis on võimalikud ka siirded O ⇒ H ⇒ HS. Mh2 ≶ M_h1, kuiθ ≷ 0puhul on võimalik vaheetapinaH ⇒ S. Samal ajal aga jätab väiksemM_h2 ka väiksema piirkonna, kusHS on globaalne, kus vastav piir on antud valemiga (2.41).

GL signaali perspektiivist vaadatuna ootame suures parameetrite ruumis tugevaimaid GL-eid FS-stO ⇒ S, kuna teine etappS ⇒ HSon üldiselt teist järku. Teatud piirkonnas võibS ⇒ HS anda ka EJFS-deid, kus vastav piirkond on suurem suuremaθjaM_h2 puhul. Suhteliselt väikese M_h2 (≈ M_h1) puhul ootame ka siirdeid läbiH, kus GL signaali võiks anda H ⇒ HS ja suure M_h2 (&1000 GeV) puhul väga tugevaid GL ei oota, kuna võimalik ainultS ⇒ HS.

Im Dokument Gravitatsioonilained Z3 (Seite 23-29)