Ertragsmodelle auf Basis von Stammzahlhäufigkeiten

Der Zustand und die Entwicklung der Stärkeklassenstruktur, die durch die Durchmesservertei-lung eines Bestandes definiert wird, sind von entscheidender Bedeutung für die Planung eines nachhaltigen Managementsystems eines Bestandes. Um Aussagen über die Stammzahlfre-quenz einzelner Stärkeklassen machen zu können, wurde seit Beginn der 60er-Jahre des 20.

Jahrhunderts an der Entwicklung von Ertragsmodellen auf der Basis von Stammzahlhäufig-keiten gearbeitet, die PRETZSCH (2001, S. 119 ff.) in drei Gruppen, die Differentialglei-chungsmodelle, die Verteilungsfortschreibungsmodelle und die stochastischen Evolutionsmo-delle unterteilt. Die MoEvolutionsmo-delle basieren alle auf der Beschreibung der zeitlichen Entwicklung von Merkmalsverteilungen. Da zur Darstellung von Verteilungen einzelner Merkmalsausprä-gungen Klassen gebildet werden, die den zugehörigen einzelnen Individuen die Merk-malsausprägung der jeweiligen Klassenmitte zuordnen, werden die unterschiedlichen Indivi-duen der einzelnen Klasse, durch einen einheitlichen Repräsentativbaum dargestellt. GADOW

(2002) fasst die im Folgenden beschriebenen Modelltypen daher auch als Repräsentativ-baummodelle zusammen.

Differentialgleichungsmodelle wie sie z.B. von CLUTTER (1963), LEARY (1970), P IE-NAAR u. TURNBULL (1973) und MOSER (1974) entwickelt wurden, formulieren die zeitlichen

Veränderung der Ertragselemente in Abhängigkeit ihrer Ausgangszustände über ein System von Differentialgleichungen, die durch nummerische Integration gelöst werden (vgl. auch.

SÁNCHEZ-OROIS et al. 2003; TRINCADO et al., 2003).

Im Fall des Durchmesserklassenmodells von MOSER (1974), das zur Fortschreibung von Zuckerahornbeständen konstruiert wurde, wird die Veränderung der Stammzahl, der Grund-fläche und der Vorräte für unterschiedliche Stärkeklassen durch ein Differentialgleichungs-system bestimmt. Ausgehend von ihren Ausgangswerten zu Beginn des Prognosezeitraums, werden die Veränderungen der Durchmesserklassen durch einen Basissatz von Differential-gleichungen als Funktion der Eingangsraten aus geringeren Stärkeklassen, der Ausgangsrate in höhere Stärkeklassen, der Mortalität und des Zuwachses der innerhalb der Durchmesser-klasse verbleibenden Bäume beschrieben. Die für die Basisfunktionen benötigten Eingangs-, Ausgangs-, und Mortalitätsraten, sowie die Zuwächse innerhalb der Durchmesserklasse wer-den durch einen zweiten Satz von Differentialgleichungen gesteuert. Dabei erfolgt die Be-rechnung der Einwuchsraten in die unterste Stärkeklasse in Abhängigkeit von der aktuellen Bestandesgrundfläche, so dass die Einwuchsraten mit steigender Bestockungsdichte abneh-men. Für die höheren Stärkeklassen berechnen sich die Einwuchsraten als Funktion der Be-setzung der darunter liegenden Klasse und des klassenspezifischen Wachstums. Die Zuwäch-se und die Mortalitätsraten werden ebenfalls in Abhängigkeit von der Bestockungsdichte, anhand der aktuellen Stammzahl und Grundfläche des Bestandes bestimmt. Durch schrittwei-se nummerische Integration, der für einjährige Zeitschritte berechneten Änderungsraten, kann dann die Durchmesserentwicklung für den gewünschten Zeitraum beschrieben werden.

Eine weitere effektive Methode zur Ertragsmodellierung auf Basis von Stammzahlhäu-figkeiten stellt der ursprünglich von CLUTTER und BENNET (1965) entwickelte Ansatz zur Fortschreibung der Durchmesser- und Höhenverteilungen eines Bestandes dar.

GADOW (1987) verwendet die Methode erfolgreich zur Wachstumsmodellierung südaf-rikanischer Kiefern- und Eukalyptus-Plantagen. Als Verteilungsfunktion zur Beschreibung der Stammzahl-Durchmesserverteilung und der Stammzahl-Höhenverteilung verwendet er die dreiparametrige Weibullfunktion, die anderen Verteilungsfunktionen aufgrund ihrer guten Anpassungsfähigkeit überlegen ist. Dabei werden zunächst die Verteilungen für die nach Alter, Bonitäten und Ausgangsstammzahlen sortierten, undurchforsteten Versuchsbestände beschrieben, die sozusagen als Referenz für die durchforsteten Bestände dienen. Die

jeweili-gen Lage-, Maßstabs- und Formparameter a, b und c der Weibullverteilung werden in Abhän-gigkeit vom Mittelwert, der Standardabweichung, des oberen und unteren Grenzwert des Durchmessers bzw. der Höhe, sowie der Stammzahl geschätzt. Über die aus dem Datenmate-rial regressionsanalytisch ermittelten Altersentwicklungen dieser fünf Werte, werden an-schließend die Altersentwicklungen der Parameter der Weibullverteilungsfunktion der Durchmesser und Höhenverteilung undurchforsteter Bestände, in Abhängigkeit ihrer Aus-gangsstammzahl abgeleitet. Auf ihrer Grundlage lassen sich für jedes Bestandesalter die Stammzahl- und Grundflächenentwicklungen des Gesamtbestandes, sowie die Stammzahlen der einzelnen Durchmesserklassen berechnen. Zur Ermittlung der Vorräte werden Schaft-formfunktionen zur Berechnung der Schaftvolumina verwendet, die auf der Ebene einzelner Durchmesserklassen oder des Gesamtbestandes aufsummiert werden können.

Zur Übertragung auf durchforstete Bestände wird zunächst der Einfluss verschiedener Behandlungsprogramme, die durch Stammzahlentnahmen pro Hektar, Mitteldurchmesser und Standardabweichung der Durchmesser vor und nach der Behandlung charakterisiert werden, auf die oben genannten Schätzgrößen zur Ermittlung der Weibullfunktionsparameter regressi-onsanalytisch untersucht und über Funktionsgleichungen beschrieben. Bei Kenntnis der Stär-ke und Intensität der Durchforstungen kann der Effekt auf die Veränderung der Weibullpara-meter aus den Funktionsgleichungen abgelesen und somit die behandlungsbedingte Verände-rung der Verteilungen berechnet werden.

Stochastische Evolutionsmodelle gehen im Wesentlichen auf die Arbeiten von SUZUKI

(1971) und SLOBODA (1976), der durch Erweiterungen des Modellansatzes von Suzuki ein Prognosemodell für Fichtenreinbestände entwickelt, zurück. Sie beschreiben die Wanderbe-wegung der Durchmesser und Höhenverteilungen in Form eines stochastischen Prozesses, der durch eine Folge aneinander gereihter Übergangswahrscheinlichkeiten die Wanderung der Merkmalsausprägung von der Ausgangsverteilung zum Zeitpunkt t0 bis zum Abtriebszeit-punkt τ beschreibt. Zur Schätzung der Übergangswahrscheinlichkeit p, mit der ein Baum ausgehend von einem Durchmesser x zum Zeitpunkt t0, den Durchmesser y zum Zeitpunkt τ erreicht, wird eine so genannte Übertragungsfunktion p(t0, x; τ, y) der Durchmesserverteilung verwendet. Die Übertragungsfunktion setzt sich wiederum aus der Driftfunktion β(τ, y), der Diffusionsfunktion α²(τ, y) und der Sterberate γ(τ, y) zusammen, die in der Regel mit Daten aus Bohrspanmaterial oder Beobachtungen über die zurückliegende Mittestammentwicklung des Bestandes parametrisiert werden (vgl. dazu PRETZSCH, 2001, S. 131 ff.). Die Driftfunktion

beschreibt die Veränderung der Durchmesserwerte y über die Zeit τ. Sie dient zur Definition des Richtungsfeldes der Alters-Durchmesser-Beziehung. Die Diffusionsfunktion beschreibt die Streuung der Einzelbaumwerte um das mittlere Richtungsfeld und definiert den Grad der Verschiebung der Einzelbäume innerhalb der Verteilung. Die Sterberate bestimmt den Anteil der absterbenden Bäume der Klasse y zum Zeitpunkt τ. Da sie während des Betrachtungszeit-raums konstant gehalten wird, nimmt sie im zeitlichen Verlauf exponentiell ab. Die Übertra-gungsfunktion ergibt sich letztendlich aus der Zusammenführung der Drift- und Diffusions-funktion, sowie der Sterberate in einer DichteDiffusions-funktion, die es erlaubt aus einer gegebenen Ausgangsverteilung die zu einem bestimmten Zeitpunkt zu erwartende Folgeverteilung zu schätzen.