J fassen wir symbolisch die drei Erzeugenden Jx, Jy und Jz (selbst Matrizen) zu einem Vektor zusammen.
4.7 Energieerhaltung
Aus den Lagrange-Gleichungen folgt dL
Falls also die Variable t in L nicht explizit vorkommt, so ist
∂L
∂t = 0 −→
X
α
pαq˙α −L erhalten.
Man kann diesen Erhaltungssatz auch mit dem Satz von Noether in Zusam-menhang bringen, indem man mit t = q0 die Zeit als zus¨atzliche Variable be-trachtet und die Invarianz der Lagrange-Funktion unter Translationen in der
Zeit betrachtet. Falls also die Lagrange-Funktion von der Wahl des Zeitnull-punktes unabh¨angig ist, dann ist die verallgemeinerte Energie P
αpαq˙α −L erhalten.
Beispiel
Wir betrachten eine Lagrange-Funktion der Form L = T(q, ˙q) −V(q) = 1
2 X
αβ
gαβ(q)q˙αq˙β − V(q) ,
wobei die kinetische Energie also eine homogene, quadratische Form in ˙q1. . . ˙qf ist (allgemeiner Fall). Also ist
X
α
pαq˙α = X
α
∂T
∂q˙αq˙α = 2T, und unsere Erhaltungsgr¨oße ist die Gesamtenergie:
X
α
pαq˙α −L = 2T − (T −V) = T +V Beispiel
F¨ur ein Teilchen in einem statischen ¨außeren elektromagnetischen Feld Gl. (4.13)
ist X
α
pαq˙α −L = m 2
˙
*x2 +eφ(*x)
die erhaltene Gesamtenergie. Fragen: Warum kommt in der Gesamtenergie das Magnetfeld B*, bzw. das Vektorpotential A* nicht vor? Wie lautet der generalisierte Impuls *p = ∂L
∂*x˙?
4.8 10 Erhaltungsgr¨oßen des abgeschlossenen konservativen Systems F¨ur ein abgeschlossenes System, dessen Kr¨afte ein Potential besitzen und das unter Galileitransformationen invariant ist, hatten wir 10 Erhaltungsgr¨oßen notiert (Kap. 1.7 ). Jetzt sind wir in der Lage, diese Erhaltungsgr¨oßen auf die 10 kontinuierlichen Parameter der Galileigruppe zur¨uckzuf¨uhren und damit formal herzuleiten.
Wegen der Galileiinvarianz hat die Lagrangefunktion eines solchen Systems die Form
L(*x| {z }1, . . . ,*xN
x
;*x1, . . . ,*xN) = XN
i=1
mi
2 −V(*x1, . . . ,*xN) ≡ T −V ,
mit
V(R*x1 +b*, . . . ,R*xN +*b) = V(*x1, . . . ,*xN) ∀R∈ SO(3),*b ∈ R. Die Impulse sind dann
*pi = ∂L
∂*x˙i = mi*x˙i
a) Zeittranslationen f¨uhren, wie bereits besprochen, zur Erhaltung der Ener-gie E = T +V.
b) R¨aumliche Translationen: L ist invariant unter der gemeinsamen Trans-lation
φλ(*x1, . . . ,*xN) = (*x1 +λb*, . . . ,*xN +λb)* Das zugeh¨orige Vektorfeld ist v(x) = (*b, . . . ,
*
b). Die zugeh¨orige Erhal-tungsgr¨oße ist
hp,v(x)i = XN
i=1
mi*x˙i·b* ≡ *P·b* Da
*
b beliebig ist, ist der Gesamtimpuls
*
P erhalten.
c) Drehungen: L ist invariant unter Drehungen
φλ(*x1, . . . ,*xN) = (R(*e,λ)*x1, . . . ,R(*e,λ)*xN)
wobei R(*e,λ) die Drehung um einen Winkel λ um die Achse *e ist. Das zugeh¨orige Vektorfeld ist
v(*x1, . . . ,*xN) = (*e×*x1, . . . ,*e×*xN), und die Erhaltungsgr¨oße ist daher
hp,v(x)i = XN
i=1
mi*x˙i·(*e×*xi) = *e· XN
i=1
mi*xi ×*x˙i
| {z }
*
Li
≡*e·*L
Da *e beliebig gew¨ahlt werden kann, bedeutet das die Erhaltung des Gesamtdrehimpulses
*
L.
d) Invarianz des Systems unter speziellen Galileitransformationen, die die Translation in ein mit gleichf¨ormiger Geschwindigkeit*v bewegtes Koor-dinatensystem beschreiben. Das entspricht der Schar
φλ(*x1, . . . ,*xN) = (*x1 +λ*vt, . . . ,*xN+λ*vt) τλ(t) = t
Das zugeh¨orige Vektorfeld ist
v(*x1, . . . ,*xN) = (*vt, . . . ,*vt),
Man hat hier den allgemeineren Fall, dass die transformierte Lagrange-funktion sich von der urspr¨unglichen um die totale Zeitableitung von
F(x,t,λ) =
unterscheidet. Man erh¨alt dann als Erhaltungsgr¨oße (Details siehe z.B.
[Goldstein]) das Schwerpunktintegral
Es gilt ¨ubrigens auch umgekehrt, dass jeder Erhaltungsgr¨oße zu einer kontinuierlichen Symmetrie f¨uhrt.
4.9 Prinzip von Euler-Maupertuis
Das Prinzip von Hamilton besagte, dass die Variation der Wirkung I[q(t)] = R(2)
(1)L dt f¨ur die physikalische Bahn q(t) verschwindet. Dabei waren f¨ur die Variation nur solche Bahnen zugelassen, f¨ur die bei festen Anfangs- und End-zeiten t(1),t(2) die Endpunkte der Bahn, q(1) = q(t(1)) und q(2) = q(t(2)) fest vorgegeben waren.
Variation der Endzeiten
Wir wollen nun die Klasse der zugelassenen Bahnen verallgemeinern: Der An-fangs/Endpunkt der Bahn,q1 und q2 sollen immer noch fest vorgegeben sein, doch dem System wird jetzt erlaubt, zu einer beliebigen Zeit t(1) zu starten und zu einer beliebigen Zeit t(2) anzukommen. Damit ist t(1) = t(1)(λ) und
Das (j) in q(j)α deutet hier die Abh¨angigkeit von den Anfangs- und Endzeiten an. Wir berechnen nun, analog zu Gl. (4.17), die Variation der Wirkung I[q]:
δ
wobei wir Gl. (4.26) verwendet haben, mit der Annahme, dass die Gesamt-energie E = P
αpαq˙α − L erhalten ist, und dass die Endpunkte der Bahn fest sind, also
∆qα(2) Dieses Zwischenergebnis wird jetzt n¨utzlicher, wenn man die Geometrie der Bahnkurve ins Spiel bringt.
Metrischer Tensor
Wir nehmen nun an, dass die kinetische Energie eine positiv definite quadra-tische Form ist, Im Konfigurationsraum definieren wir durch das Bogenelement ds mit
ds2 = X
αβ
gαβ(q)dqαdqβ (4.28)
eine (Riemannsche) Metrik. Im R3 ist das Bogenelement in kartesischen Ko-ordinaten durch ds2 = dx2 +dy2 +dz2 gegeben und der metrische Tensor ist gαβ = δαβ (mit α,β = x,y,z). Im R2 ist das Bogenelement in ebenen Polarkoordinaten durch ds2 = dr2+r2dφ2 gegeben und der metrische Ten-sor ist g =
1 0 0 r2
(mit q = (r,φ)). Zweck der Parametrisierung nach der Bogenl¨ange ist, die Zeit als Kurvenparameter im Konfigurationsraum zu ersetzen.
Geometrie der Bahnkurve
Die Bogenl¨ange einer Kurve q(t) ist durch ds
dt 2
= X
αβ
gαβ(q)dqα dt
dqβ
dt (4.29)
bestimmt. Also haben wir ds =
sX
αβ
gαβ(q)q˙αq˙βdt =
√
2T dt = p
2(E−V(q))dt. (4.30) Es gilt also allgemein: F¨ur eine Bewegung zu fester Energie E bestimmt die geometrische Gestalt der Bahnkurve im Konfigurationsraum via Gl. (4.30) auch den zeitlichen Durchlauf, denn dt = ds/p
2(E−V(q)) (Vergleiche auch Kap. 2.2 ).
Die geometrische Gestalt der Bahn l¨asst sich aus einem Variationsprinzip gewinnen, dem Prinzip von Euler-Maupertuis:
δ Z(2)
(1)
pE−V(q)ds = 0 , (4.31)
wobei wir Gleichungen (4.27) und (4.30) verwendet haben (denn 2T dt =
√
2T ds = p
2(E−V)ds). Die Variation ist hierbei bei festen Endpunkten der Bahn im Konfigurationsraum auszuf¨uhren. Dieses Variationsprinzip wird manchmal auch als Jacobi-Prinzip bezeichnet.
Anmerkung:
In Gl. (4.31) kommt die Zeit nicht mehr vor und ds ist durch Gl. (4.28) als Funktion der dqα gegeben. Die Variation betrifft also nur noch den r¨aumlichen Verlauf der Bahn im Konfigurationsraum. Alternativ kann man
hier s auch als Kurvenparameter auffassen, also qα = qα(s) betrachten, wobei s in der Metrik (Gl. (4.28)) die L¨ange der Kurve q(s) ist.
Beispiel: Geod¨atische Linien F¨ur V(q) = 0 ist δR(2)
(1) ds = 0, d.h. die Bahnen zu jeder Energie E sind durch die k¨urzeste Verbindung (geod¨atische Linien in der Metrik Gl. (4.28)) zwischen den beiden Punkten q(1) und q(2) gegeben. In anderen Worten, das System sucht sich die k¨urzeste Konfigurationslaufbahn. Die Bewegung findet also auf Geraden (im freien Raum) oder Großkreisen (auf einer Kugel) statt.
Fermatsches Prinzip
Die Lagrange-Funktion f¨ur ein Teilchen im einem Potential V(*x) ist L = m
2
˙
*x2 −V(*x).
Die Metrik Gl. (4.28) ist dann (bis auf unwesentliche Zahlenfaktoren) die gew¨ohnliche euklidische Metrik im R3 und das Variationsprinzip lautet
δ Z(2)
(1)
pE−V(*x)
| {z }
≡n(*x)
ds = 0. (4.32)
Fasst man n(*x) als Brechungsindex eines optisch inhomogenen Mediums auf, so ist dies das Fermatsche Prinzip f¨ur die Lichtstrahlen (das Prinzip des kleinsten Lichtwegs). Die Analogie wird plausibel, wenn man bedenkt, dass die optische Wegl¨ange durch
Lopt = Z
C
n(*x)ds
gegeben ist; mit der Identifikation n(*x) → p
E−V(*x) bedeutet die Varia-tion, dass wir mit δLopt = 0 einen extremalen Lichtweg suchen. Interessant ist das, weil wir jetzt die Methode der Euler-Lagrange-Gleichungen auf ein Problem der Optik ¨ubertragen k¨onnen.
Strahlengleichungen
Um die Variation von Gl. (4.32) ausf¨uhren zu k¨onnen, m¨ussen wir noch eine kleine Schwierigkeit ¨uberwinden, die darin besteht, dass das IntegralR
(. . .)ds keine festen Grenzen hat, da ja die geometrische L¨ange der Bahn ´a priori nicht festgelegt ist.
Wir f¨uhren nun einen Bahnparameterτein, so dass die Bahnqα(τ)die Damit wird Gl. (4.32) zu
δ
Die Differentialgleichungen f¨ur die gesuchten Extremalkurven sind nun nichts anderes als die Lagrange-Gleichungen zur Lagrange-Funktion L(*x, ˙*x), d.h.
d die Kurvenl¨ange s als Kurvenparameter ein, so erhalten wir mit √1
˙
Dies ist die Strahlengleichung der geometrischen Optik.
Ubergang zur Quantenmechanik¨
Also gibt es eine formale Analogie zwischen der Mechanik eines Massenpunk-tes in einem Potential V(*x) und der geometrischen Optik (Lichtwellen) in einem Medium mit dem Brechungsindex n(*x) = p
E−V(*x). Diese Ana-logie kann man als Ausgangspunkt f¨ur die Wellenmechanik von Schr¨odinger benutzen, in der die Massenpunkte zu Materiewellen werden (siehe die Quan-tenmechanik).
4.10 Variation mit Nebenbedingungen