Einfluss der Dephasierung

das Modul rksuite_90 [167, 168] in der Version 1.2 vom Dezember 1995 ersetzt.

Laufzeitvergleiche zeigten, dass beide ähnlich effizient arbeiteten.

Das Programm erlaubt Pulse mit einem linearen Chirp zu versehen. Die spektrale Breite des Pulses wird dabei konstant gehalten. Das heißt, dass sich die Angabe der Halbwertsdauer_∆t eines Pulses bei der Parametereingabe immer auf die Einhüllende seiner Intensität ohne Chirp bezieht. Der Chirp wird durch den Parametera in der folgenden Gleichung beschrieben. Das elektrische Feld der AmplitudeA wird im ruhenden Bezugssystem berechnet als

E(t) =X

Pulse

E₀(t−t₀)cosωL(t−t₀) (6.13) mit E₀(t) =Ae^−t

2

2τ2cosa t²

2τ², (6.14)

τ=

r1₊a²

4ln2^∆t. (6.15)

Wenn die Näherung rotierender Wellen verwendet wird, dann wird das elek-trische Feld eines Pulses für alle Übergänge identisch null gesetzt, die zu weit von der Resonanz des entsprechenden Pulses entfernt liegen. Dies geschieht mit einer entsprechenden Matrix, um Schleifen im Programm zu vermeiden.

Um ein Energiespektrum zu simulieren, wird üblicherweise die Liouville-von-Neumann-Gleichung für zahlreiche Systeme mit verschiedenen Endzustands-energien simuliert. Diese Endzustände stellen die emittierten freien Elektronen dar. Natürlich wäre es auch möglich, ein System mit einem diskretisierten Kontinuum an Endzuständen zu simulieren. Da der Rechenaufwand jedoch quadratisch mit der Anzahl der Zustände steigt, bedeutet dies einen erhebli-chen Mehraufwand, der sich nicht auszahlt. Durch dieses Vorgehen werden alle Effekte vernachlässigt, die durch die Kopplung der freien Elektronen in den Endzuständen entstehen. Dieser Fehler liegt unter der numerischen Rechenge-nauigkeit.

0,0 0,1 0,2 0,3 1 fs

2 fs

5 fs 10 fs 20 fs 50 fs 100 fs 200 fs 500 fs 1000 fs

∞

Energy (eV)

2PPE-Signal

ħω^L ε

Abbildung 6.9:Einfluss der DephasierungszeitT2^∗ auf das 2PPE-Signal. Ein Schema des simulierten Systems ist am rechten Rand gezeigt. Links sind die berechneten Spektren für unterschiedliche Dephasierungen gezeigt. Die Spek-tren sind vertikal gegeneinander verschoben und die jeweiligeT2^∗-Zeit ist am linken Rand angegeben. Die gestrichelte Linie markiert die Energie 2ħω^Lüber dem Grundzustand. Die durchgezogene Linie markiert die Energie ħω^L über dem angeregten Zustand. Ein Puls mit 50 fs Halbwertsdauer dient gleichzeitig als Anrege- und Abfragepuls.

vernachlässigt werden (T₂^∗_,e→ ∞). Dagegen dephasieren Grundzustand_"gund angeregter Zustand_"1.

Abbildung 6.9 zeigt die Auswirkung der Dephasierung auf ein solches Drei-Niveau-System. Bei sehr schneller Dephasierung ist nur der nicht resonant angeregte Zwischenzustand zu sehen. Wird die Dephasierungszeit länger, steigt das Signal erst an und verschiebt sich in Richtung des direkten Zweiphotonen-signals, während es schwächer wird. Ohne Dephasierung ist nur das Signal des Zweiphotonenprozesses sichtbar. Dieses ist leicht in Richtung des

Zwischenzu-stands verschoben.

Dieses Beispiel zeigt, dass man mit der 2PPE ohne Zeitversatz zwischen Anrege- und Abfragepuls im Allgemeinen nicht zuverlässig die Bindungsener-gien von unbesetzten Zuständen bestimmen kann. Besitzen die Zustände eine messbare Lebensdauer, lässt sich dieses Problem durch einen Zeitversatz zwi-schen Anrege- und Abfragepuls umgehen. Bei der (100)-Oberfläche von Alumi-nium tritt dieses Problem so nicht auf, da nicht aus einem diskreten Zustand, sondern aus einem Zustandskontinuum heraus angeregt wird. Dennoch können auch hier Matrixelementeffekte zu leichten Verschiebungen der Energien führen.

Der Einfluss der unbesetzten Zustände auf die direkte Zweiphotonen-Photo-emission wird besonders deutlich, wenn zwei solcher Zustände dicht beieinander liegen. Wie aus Abbildung 6.10 deutlich wird, ist die direkte Photoemission im Energiebereich zwischen den Zuständen unterdrückt. Dort ist die Verstimmung der Lichtfrequenz gegenüber den Übergängen für beide Zustände gleich groß, jedoch mit unterschiedlichem Vorzeichen. Dadurch interferieren die Beiträge beider Zustände destruktiv. Gibt es anstelle eines einzelnen Grundzustands ein Kontinuum an Zuständen, aus denen heraus angeregt wird, entspricht das entstehende 2PPE-Signal dem Integral entlang der Grundzustandsenergieachse des Konturdiagramms. Ein Schema dieses Systems ist in Abbildung 2.14 rechts gezeigt. Das Resultat der Integration ist in Abbildung 6.10 unten gezeigt. Auch hier ist zu sehen, dass das Signal zwischen den beiden Zuständen unterdrückt wird.

In Abbildung 6.10 wird entlang einer Achse die Grundzustandsenergie ge-ändert. Entsprechend ergibt sich für das Maximum des direkten Photoemissi-onssignals eine Gerade der Steigung 1. Experimentell würde nicht die Grundzu-standsenergie geändert werden, sondern die Photonenenergie. Dann würde sich die Steigung¹/2für die direkte Photoemission ergeben, da daran zwei Photonen beteiligt sind. Die Maxima aus den Zwischenzuständen würden die Steigung 1 aufweisen. Eine solche Simulation ist in Abbildung 6.11 gezeigt. An der Farbskala lässt sich erkennen, dass das Signal ein sehr großes Maximum besitzt, wenn die Photonenenergie resonant mit den Übergängen ist. Die Dephasierung wurde in beiden Fällen mitT₂^∗=50 fs für den Grundzustand angenommen. Die anderen Zustände dephasieren nicht.

Direkt sichtbar wird die Dephasierung in zeitabhängigen Messungen. Abbil-dung 6.12 zeigt die Zeitentwicklung des 2PPE-Signals eines Systems mit zwei eng beieinanderliegenden Zwischenzuständen. Für Anrege- und Abfragepuls wurden hier wieder Halbwertsdauern von 50 fs angenommen. Sowohl die Anregung

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,6 0,8 1 1,2 1,4

Energie des Endzustands (eV)

−9,4

−9,2

−9

−8,8

−8,6

EnergiedesGrundzustands(eV)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

2PPE-Signal

ħω^L ε

Abbildung 6.10:Berechnetes 2PPE-Signal eines Systems mit zwei unbesetzten Zuständen, wie es schematisch rechts dargestellt ist. Die normierte Signalstärke ist durch die Farbkodierung im Konturdiagramm angegeben, zusätzlich sind Isolinien bei 0,001, 0,01 und 0,1 eingezeichnet. Entlang der vertikalen Achse wird die Grundzustandsenergie variiert, entlang der horizontalen Achse die Energie des Endzustands. Die Photonenenergieħω^Ldes Laserpulses bleibt kon-stant. Die beiden senkrechten Linien markieren die Energien ħω^L über den unbesetzten Zuständen. Die gestrichelte Diagonale kennzeichnet den Verlauf des direkten Zweiphotonen-Übergangs. Horizontale Schnitte entsprechen den üblichen Energiespektren bei Anregung aus einem diskreten Grundzustand.

Im unteren Bereich ist das entlang der Grundzustandsenergieachse integrier-te 2PPE-Spektrum gezeigt. Dieses Spektrum wäre bei Anregung aus einem Grundzustandskontinuum zu erwarten.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,6 0,8 1 1,2 1,4

Energie des Endzustands (eV) 4,6

4,8 5 5,2 5,4

Photonenenergie(eV)

ħω^L ε

Abbildung 6.11:Konturdiagramm eines simulierten 2PPE-Signals wie in Ab-bildung 6.10, jedoch wird hier die Photonenenergie anstelle der Grundzustands-energie geändert.

als auch die Abfrage erfolgt energetisch zentriert zwischen beiden Zuständen.

Deutlich zu erkennen ist eine Quantenschwebung. Diese existiert nur so lange, wie die Kohärenz zwischen den Zuständen erhalten bleibt. Ohne Dephasierung geht das Signal periodisch auf null zurück.

Wenn beide Zustände nicht gleich stark angeregt werden oder die Abfrage nicht mittig zwischen beiden Zuständen erfolgt, ist die relative Amplitude der Oszillation kleiner, das heißt die Signalstärke geht nicht auf null zurück. Da Anrege- und Abfragepuls eine gewisse spektrale Breite besitzen, tragen solche Situationen ebenfalls zum Signal bei. Sie interferieren aber an den Oszillations-minima destruktiv, wodurch das Signal dort trotzdem vollständig verschwindet.

Wenn die Zustände aus einem Grundzustandskontinuum angeregt werden, geht die Signalstärke auch dann nicht auf 0 zurück, wenn die Abfrage mittig zwischen den Zuständen erfolgt. Dies ist in Abbildung 6.12 gestrichelt dargestellt. Dieses Restsignal ist keine Konsequenz davon, dass in den Simulationen über mehrere

0 200 400 600 800 Zeit (fs)

2PPE-Signal

Abbildung 6.12:2PPE-Signal eines Systems mit zwei Zwischenzuständen in Abhängigkeit von der Zeit zwischen Anrege- und Abfragepuls. Die beiden Zu-stände liegen 0,02 eV auseinander. Die entsprechende Oszillationsperiode ist durch gepunktete Geraden gekennzeichnet. Grundzustand und Endzustand de-phasieren nicht. Bei dem stark oszillierenden Graphen dede-phasieren auch die Zwischenzustände nicht, bei dem anderen beträgt die reine Dephasierungszeit dieser Zustände jeweilsT2^∗= 250 fs. Der gestrichelte Graph zeigt das System ohne Dephasierungszeiten bei Anregung aus einem Grundzustandskontinuum.

Systeme mit unterschiedlichen Grundzuständen summiert wird, um das Signal für ein Grundzustandskontinuum zu ermitteln. Für den gestrichelten Graphen in Abbildung 6.12 wurde ein vollständiges, diskretisiertes Kontinuum modelliert.

Ursache für die unvollständige destruktive Interferenz ist, dass unterschiedliche Ausgangsenergien für die Anregung zur Verfügung stehen.