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EINE KLEINE WIEDERHOLUNG

Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung

GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN

Definition

Zwei MengenAundBheißengleichmächtig, wenn eine bijektive Funktionf:A→Bexistiert.

Definition

Eine MengeA heißt abzählbar, wenn Sie entweder endlich ist oder wennNgleichmächtig wieAist.

Intuitiv bedeutetAbzählbarkeit, dass die Menge in einer Tabelle angeordnet werden kann (1. Element,2. Element, usw.). Als Informatiker kann man sich vorstellen, dass eine abzählbare Menge in einem (unendlichen) Array gespeichert werden kann.

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GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN

Definition

Zwei MengenAundBheißengleichmächtig, wenn eine bijektive Funktionf:A→Bexistiert.

Definition

Eine MengeA heißtabzählbar, wenn Sie entweder endlich ist oder wennNgleichmächtig wieAist.

Intuitiv bedeutetAbzählbarkeit, dass die Menge in einer Tabelle angeordnet werden kann (1. Element,2. Element, usw.). Als Informatiker kann man sich vorstellen, dass eine abzählbare Menge in einem (unendlichen) Array gespeichert werden kann.

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GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN

Definition

Zwei MengenAundBheißengleichmächtig, wenn eine bijektive Funktionf:A→Bexistiert.

Definition

Eine MengeA heißtabzählbar, wenn Sie entweder endlich ist oder wennNgleichmächtig wieAist.

Intuitiv bedeutetAbzählbarkeit, dass die Menge in einer Tabelle angeordnet werden kann (1. Element,2. Element, usw.).

Als Informatiker kann man sich vorstellen, dass eine abzählbare Menge in einem (unendlichen) Array gespeichert werden kann.

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GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN

Definition

Zwei MengenAundBheißengleichmächtig, wenn eine bijektive Funktionf:A→Bexistiert.

Definition

Eine MengeA heißtabzählbar, wenn Sie entweder endlich ist oder wennNgleichmächtig wieAist.

Intuitiv bedeutetAbzählbarkeit, dass die Menge in einer Tabelle angeordnet werden kann (1. Element,2. Element, usw.). Als Informatiker kann man sich vorstellen, dass eine abzählbare Menge in einem (unendlichen) Array gespeichert werden kann.

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EIN BEISPIEL

Beispiel

ZundNsind gleichmächtig vermöge der Funktionf:NZmit

f(n) =

{ n2, wennngerade

n+1

2 , sonst.

Dies sieht man leicht ein, mit

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .

f(n) 0 1 1 2 2 3 3 4 4 . . .

Damit gibt es genauso viele ganze Zahlen wie natürliche Zahlen!

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NOCH EIN BEISPIEL

Beispiel

Ordnet man die rationalen Zahlen wie folgt an:

1

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NOCH EIN BEISPIEL(II)

Beispiel (Fort.)

Man kann die notwendige bijektive Funktion in Tabellenform auf-schreiben:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

f(n) 11 21 12 13 22 31 41 32 23

τ(x, y) = 12(x2+ 2xy+y2+ 3x+y)

Diese Technik ist alserstes cantorsches Diagonalargument bekannt.

Damit stellt sich die Frage, ob überhaupt Mengen existieren, die nicht abzählbar sind!

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NOCH EIN BEISPIEL(II)

Beispiel (Fort.)

Man kann die notwendige bijektive Funktion in Tabellenform auf-schreiben:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

f(n) 11 21 12 13 22 31 41 32 23

τ(x, y) = 12(x2+ 2xy+y2+ 3x+y)

Diese Technik ist alserstes cantorsches Diagonalargument bekannt.

Damit stellt sich die Frage, ob überhaupt Mengen existieren, die nicht abzählbar sind!

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NOCH EIN BEISPIEL(II)

Beispiel (Fort.)

Man kann die notwendige bijektive Funktion in Tabellenform auf-schreiben:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

f(n) 11 21 12 13 22 31 41 32 23

τ(x, y) = 12(x2+ 2xy+y2+ 3x+y)

Diese Technik ist alserstes cantorsches Diagonalargument bekannt.

Damit stellt sich die Frage, ob überhaupt Mengen existieren, die nicht abzählbar sind!

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DIE POTENZMENGE VONN

Nimmt man an, dassP(N)abzählbar ist, so muss es eine bijektive Funktionf:N→ P(N)geben.

”Negiert“man die Diagonale, so ergibt sich folgendes Bild:

n f(n) 0 1 2 3 4 5 . . . 0 f(0) ∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . . 1 f(1) ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . . 2 f(2) ̸∈ ∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ . . . 3 f(3) ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ . . . 4 f(4) ∈ ∈ ̸∈ ∈ ∈ ∈ . . . 5 f(5) ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . .

... ... ... ... ... ... ... ...

n0 f(n0) ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ . . . ? ... ... ... ... ... ... ... ...

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DIE POTENZMENGE VONN

Nimmt man an, dassP(N)abzählbar ist, so muss es eine bijektive Funktionf:N→ P(N)geben.

”Negiert“man die Diagonale, so ergibt sich folgendes Bild:

n f(n) 0 1 2 3 4 5 . . . 0 f(0) ∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . . 1 f(1) ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . . 2 f(2) ̸∈ ∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ . . . 3 f(3) ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ . . . 4 f(4) ∈ ∈ ̸∈ ∈ ∈ ∈ . . . 5 f(5) ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . .

... ... ... ... ... ... ... ...

n0 f(n0) ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ . . . ? ... ... ... ... ... ... ... ...

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DIE POTENZMENGE VONN(II) Einige Bemerkungen zur

”Cantors zweitem Diagonalargument“:

→ Dienegierte Diagonaleergibt sich, indem mandurch̸∈

und̸∈durchersetzt.

→ AmSchnittpunktder Diagonale und der negierten Diagonale (die ja als Zeilen0auftauchen muss) gibt es einen

Widerspruch. Damit war dieAnnahme der Existenz vonf falsch.

→ Man braucht noch nicht einmal eine Diagonale. Eine

”Gerade“, die alle Zeilen

”schneidet“reicht (Stichwort:

”verzögerte Diagonale“)

→ Es ist nur wichtig, dass sich die negierte Diagonalean allen Stellenvon der Diagonalenunterscheidet.

→ Die gleiche Technik funktioniert auch mitBit-Stringsoder Dezimalzahlen. Man überlegt sich nur eine geeignet Art die

”negierte“Diagonale zu bilden.

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DIE POTENZMENGE VONN(II) Einige Bemerkungen zur

”Cantors zweitem Diagonalargument“:

→ Dienegierte Diagonaleergibt sich, indem mandurch̸∈

und̸∈durchersetzt.

→ AmSchnittpunktder Diagonale und der negierten Diagonale (die ja als Zeilen0auftauchen muss) gibt es einen

Widerspruch. Damit war dieAnnahme der Existenz vonf falsch.

→ Man braucht noch nicht einmal eine Diagonale. Eine

”Gerade“, die alle Zeilen

”schneidet“reicht (Stichwort:

”verzögerte Diagonale“)

→ Es ist nur wichtig, dass sich die negierte Diagonalean allen Stellenvon der Diagonalenunterscheidet.

→ Die gleiche Technik funktioniert auch mitBit-Stringsoder Dezimalzahlen. Man überlegt sich nur eine geeignet Art die

”negierte“Diagonale zu bilden.

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DIE POTENZMENGE VONN(II) Einige Bemerkungen zur

”Cantors zweitem Diagonalargument“:

→ Dienegierte Diagonaleergibt sich, indem mandurch̸∈

und̸∈durchersetzt.

→ AmSchnittpunktder Diagonale und der negierten Diagonale (die ja als Zeilen0auftauchen muss) gibt es einen

Widerspruch. Damit war dieAnnahme der Existenz vonf falsch.

→ Man braucht noch nicht einmal eine Diagonale. Eine

”Gerade“, die alle Zeilen

”schneidet“reicht (Stichwort:

”verzögerte Diagonale“)

→ Es ist nur wichtig, dass sich die negierte Diagonalean allen Stellenvon der Diagonalenunterscheidet.

→ Die gleiche Technik funktioniert auch mitBit-Stringsoder Dezimalzahlen. Man überlegt sich nur eine geeignet Art die

”negierte“Diagonale zu bilden.

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DIE POTENZMENGE VONN(II) Einige Bemerkungen zur

”Cantors zweitem Diagonalargument“:

→ Dienegierte Diagonaleergibt sich, indem mandurch̸∈

und̸∈durchersetzt.

→ AmSchnittpunktder Diagonale und der negierten Diagonale (die ja als Zeilen0auftauchen muss) gibt es einen

Widerspruch. Damit war dieAnnahme der Existenz vonf falsch.

→ Man braucht noch nicht einmal eine Diagonale. Eine

”Gerade“, die alle Zeilen

”schneidet“reicht (Stichwort:

”verzögerte Diagonale“)

→ Es ist nur wichtig, dass sich die negierte Diagonalean allen Stellenvon der Diagonalenunterscheidet.

→ Die gleiche Technik funktioniert auch mitBit-Stringsoder Dezimalzahlen. Man überlegt sich nur eine geeignet Art die

”negierte“Diagonale zu bilden.

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DIE POTENZMENGE VONN(II) Einige Bemerkungen zur

”Cantors zweitem Diagonalargument“:

→ Dienegierte Diagonaleergibt sich, indem mandurch̸∈

und̸∈durchersetzt.

→ AmSchnittpunktder Diagonale und der negierten Diagonale (die ja als Zeilen0auftauchen muss) gibt es einen

Widerspruch. Damit war dieAnnahme der Existenz vonf falsch.

→ Man braucht noch nicht einmal eine Diagonale. Eine

”Gerade“, die alle Zeilen

”schneidet“reicht (Stichwort:

”verzögerte Diagonale“)

→ Es ist nur wichtig, dass sich die negierte Diagonalean allen Stellenvon der Diagonalenunterscheidet.

→ Die gleiche Technik funktioniert auch mitBit-Stringsoder Dezimalzahlen. Man überlegt sich nur eine geeignet Art die

”negierte“Diagonale zu bilden.

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DIE POTENZMENGE VONN(III)

Theorem

Die MengeP(N)ist überabzählbar.

Beweis.

Annahme:P(N)ist abzählbar, dann existiert eine bijektive Funk-tionf:N → P(N). SeiS =def {n N | n ̸∈ f(n)}. Nun soll untersucht werden, obn0 ∈S, wobein0die Nummer vonSist.

Falln0 ∈S: Wennn0 ∈Swäre, dann gilt nach Def. vonSdirekt n0̸∈f(n0) =S. Widerspruch!

Falln0 ̸∈S: Wennn0 ̸∈Sist, dann giltn0 ∈S, denn S=f(n0)̸∋n0. Widerspruch!

Damit existiertfnicht undP(N)ist nicht abzählbar.

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