Ein Invariantenring - Poincaredualitätsalgebren, Koinvarianten und Wu-Klassen

In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass der QuotientringU/ _n ein Invari-antenring ist. Wir k¨onnen sogar die Gruppe angeben, unter deren Opera-tionen seine Elemente invariant sind.

LEMMA5.3.1 LEMMA5.3.1 LEMMA5.3.1

LLEMMAEMMA5.3.15.3.1:Der QuotientringU/ _n ist isomorph zu einer Polynom-algebra innUnbestimmten vom Gradi(p−1)f ¨uri= 1, . . . , n, das heißt,

U/ _n ≅ [u1, . . . , u_n].

BEWEIS

BBEWEISEWEIS:In Abschnitt 5.1 wurde gesagt, dassUeine Polynomalgebra in unendlich vielen Ver¨anderlichenu_i vom Grad deg(u_i) = i(p−1) ist,

U≅ [u1, u2, . . .].

Adams beweist es in [1] als Theorem 1. Teilen wir aus einer solchen un-endlichen Polynomalgebra das Ideal heraus, das aus allen Variablen ab einem bestimmten Index aufw¨arts besteht, bleibt eine Polynomalgebra in endlich vielen Ver¨anderlichen ¨ubrig, hier also

U/ _n ≅ [u1, u2, , . . . , un, u_n+1, . . .]

(u_n+1, un+2, . . .) ≅ [u1, . . . , u_n].

DamitU/ _nein Invariantenring sein kann, muss es eine instabile Algebra

uber der Steenrod-Algebra sein. Das haben wir im Grunde im vorigen Abschnitt gezeigt.

LEMMA5.3.2 LEMMA5.3.2 LEMMA5.3.2

LLEMMAEMMA5.3.25.3.2:Der Polynomring

U/ _n ≅ [u1, . . . , un],

deg(u_i) =i(p−1), ist eine instabile Algebra ¨uber der Steenrod-Algebra.

BEWEIS

BBEWEISEWEIS:Der PolynomringUist als instabileP^∗-Algebra konstruiert, das Ideal _n ist nach Theorem 5.2.3P^∗-abgeschlossen. Wird also _n aus U herausgeteilt, so bleibt der Quotient eine instabile Algebra ¨uber der

Steenrod-Algebra.

Nun soll die Hauptaussage dieses Kapitels formuliert werden.

THEOREM5.3.3 THEOREM5.3.3 THEOREM5.3.3

TTHEOREMHEOREM5.3.35.3.3:Der QuotientringU/ _n ist isomorph zu den Invari-anten unter der Operation des Kranzprodukts vonΣn mit /(p−1), das heißt,

U/ _n ≅ [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1).

Um dieses Theorem zu beweisen, soll zun¨achst in einem eigenen Lemma gezeigt werden, wie der Invariantenring vonΣn /(p−1) aussieht.

§3] EIN INVARIANTENRING 83 LEMMA5.3.4

LEMMA5.3.4 LEMMA5.3.4 LLEMMAEMMA5.3.45.3.4:Es ist

[z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1) ≅ [e1(z₁^p−1, . . . , z_n^p−1), . . . , e_n(z₁^p−1, . . . , z_n^p−1)], wobei e_i(z₁^p−1, . . . , z_n^p−1) das i-te elementarsymmetrische Polynom in z₁^p−1, . . . , z_n^p−1 bezeichnet.

BEWEIS

BBEWEISEWEIS:Das KranzproduktΣ_n /(p−1) ist eine Abk ¨urzung f ¨ur das semidirekte ProduktΣ_n ( /(p−1))ⁿ. Daher gilt:

[z1, . . . , zn]^Σⁿ ^/(^p−1)= [z1, . . . , zn]^Σⁿ ⁽ ^/(^p−1))ⁿ

= ( [z1, . . . , zn]⁽ ^/(p−1))ⁿ)^Σⁿ

= ( [z1] ^/(p−1)⊗· · ·⊗ [z_n] ^/(p−1))^Σⁿ,

wobei der zweite Schritt direkt aus der Definition des semidirekten Pro-dukts kommt und die letzte Gleichheit nach [27], Proposition 1.5.2, gilt.

Da z_i^p−1 invariant unter der Operation der zyklischen Gruppe mit p−1 Elementen ist, ergibt sich, wenn wir das Tensorprodukt wieder zusam-menfassen,

[z1, . . . , zn]^Σⁿ ^/(^p−1)= [z₁^p−1, . . . , z^p−1_n ]^Σⁿ

= [e1(z₁^p−1, . . . , z_n^p−1), . . . , e_n(z₁^p−1, . . . , z_n^p−1)],

womit die Behauptung bewiesen ist.

Nun kann das Theorem bewiesen werden.

B^{EWEIS VON}T^HEOREM5.3.3 B^{EWEIS VON}T^HEOREM5.3.3 BEWEIS VONTHEOREM5.3.3 BBEWEIS VON^{EWEIS VON}TTHEOREM^HEOREM5.3.35.3.3:Sei

H(s) := [z1, . . . , z_n] (z₁^p^s⁻¹, . . . , zn^p^s⁻¹).

Wir bedienen uns der AbbildungΘ_H(s): U H(s), die in 5.1 eingef ¨uhrt wurde und zeigen, dass sie ¨uberU/ n faktorisiert, dass also das folgende Diagramm kommutiert:

U ^Θ^H(s) H(s)

U/ n

Da es sich bei den beteiligten Abbildungen um Algebra-Homomorphismen handelt brauchen wir nur zu pr ¨ufen, was auf den Erzeugern vonU, also auf u1, u2, . . .passiert. Der senkrechte Pfeil ist lediglich eine Projektion, nennen wir sie _n, die uj f ¨ur j> n auf 0 abbildet, und bei j≤n nichts

andert. Nach Lemma 5.1.1 bildet aber auchΘH(s)dieuj f ¨urj>nauf 0 ab, weshalb die induzierte AbbildungΘ_H(s): U/ n H(s) auf u1, . . . , un

einfach nur das Gleiche tut wie Θ_H(s). Das ist auch der Grund daf ¨ur, dassΘ_H(s) mit den Steenrod-Operationen kommutiert, dennΘ_H(s) ist in 5.1 mit dieser Eigenschaft definiert worden. Also kommutiert das oben angegebene Diagram undΘ_H(s) faktorisiert ¨uberU/ _n.

Welche Eigenschaften hat also die induzierte AbbildungΘ_H(s)? (1) ΘH(s)(u_j) =ej(z₁^p−1, . . . , zn^p−1).

(2) Θ_H(s)=Θ_H(s+1) in den kleinen Graden bis q^s−1.

(3) Θ_H(s) kommutiert mit den Steenrod-Operationen.

Das heißt, dass wir einenP^∗-Algebra-Homomorphismus

Θ : [u1, . . . , u_n] [z1, . . . , z_n] (♠) definieren k¨onnen, durch

Θ(u) =ΘH(s)(u) : s>>0

so, dass q^s −1>deg(u), und diese Abbildung ist dank Eigenschaft (2) eindeutig, und da jedesu [u1, . . . , un] endlichen Grad hat, gibt es f ¨ur jedes solche u ein s>>0 so, dassΘ_H(s)(u) definiert ist und Θ(u) damit eindeutig festgelegt ist. Dabei wird

Θ(uj) =ej(z₁^p−1, . . . , z_n^p−1) [z1, . . . , zn]^Σⁿ ^/(p−1), das heißt,

Im(Θ) = [e1(z₁^p−1, . . . , z_n^p−1), . . . , e_n(z₁^p−1, . . . , z^p−1_n )] = [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1). e1(X1, . . . , X_n), . . . , e_n(X1, . . . , X_n), die elementarsymmetrischen Poly-nome, sind algebraisch unabh¨angig (siehe dazu zum Beispiel [27], Theo-rem 1.1.2). Dann sind

e1(z₁^p−1, . . . , z_n^p−1), . . . , en(z₁^p−1, . . . , z_n^p−1)

auch algebraisch unabh¨angig. Daher ist die AbbildungΘ injektiv.

Insgesamt erhalten wir also, dass die Abbildung

Θ : [u1, . . . , u_n] Im(Θ) = [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1)

ein Isomorphismus von Algebren ist und das Theorem ist bewiesen.

Diese Aussage kann noch auf das Objekt U ubertragen werden. Dazu¨ erinnern wir uns zun¨achst daran, wie (inverse) Limites und das notwen-dige Beiwerk dazu definiert sind.

Sei eine kleine Kategorie, das heißt, Obj( ) ist eine Menge. Sei {B_i} Obj( ) eine Teilmenge, die wir ohne Notations ¨anderung als Un-terkategorie von betrachten wollen, indem Obj({B_i}) ={B_i} ist und Mor({B_i}) ={ Mor( ) : bildet zwischen 2 Objekten aus Obj({B_i}) ab}.

Sei nunC Obj( ). EinMorphismusΨ: C {B_i}ist eine Sammlung {Ψi: C Bi,∀ Bi Obj({B_i})}, f ¨ur die gilt, dass f ¨ur alle Mor({B_i}),

§3] EIN INVARIANTENRING 85 B_k, Bs Obj({B_i}), das Diagramm

Ψ_k Ψs

B_k B_s kommutiert.

Der(inverse) Limesvon{B_i}, geschrieben lim {B_i}, ist ein A Obj( ) zusammen mit einem Morphismus Ψ : A {B_i}, der folgende uni-verselle Eigenschaft besitzt: F ¨ur jeden MorphismusΨ : A {B_i}gibt es genau einen Morphismus : A A, so dass

A A

Ψs Ψ_s

B_s kommutiert.

In unserem Fall betrachten wirP^∗−

Alg

, die Kategorie derP^∗-Algebren

uber , in derU und alleU_n :=U/ _n, n 0, liegen, wie wir ja bereits gesehen haben. Dann ist, wie eben allgemein konstruiert,{U_n}mit den entsprechenden Morphismen eine volle Unterkategorie vonP^∗−

Alg

. Sei :={ _k: k 0}die Familie folgender Projektionen:

n−1: [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1) [z1, . . . , zn−1]^Σⁿ⁻¹ ^/(p−1) e_i(z₁^p−1, . . . , z_n^p−1)

ei(z₁^p−1, . . . , z_n−1^p−1) : i≤n−1

0 : sonst

derP^∗-Algebra-Homomorphismus, der von der gew¨ohnlichen Projektion [z1, . . . , z_n] [z1, . . . , z_n−1], z_n 0, induziert wird.

Wir definieren nun eine geeignete Abbildung

Θ^U: U [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1),

die Sammlung{Θ^U_n: U [z1, . . . , zn]^Σⁿ ^/(p−1), ∀n 0}(die uns dann zum (inversen) Limes verhilft), indemΘ_n^U: U [z1, . . . , zn]^Σⁿ ^/(^p−1) auf den Erzeugernui wie folgt definiert wird:

Θ^U_n : U [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1) u_i

Θ(u_i) : i≤n

0 : i>n .

Θ ist der P^∗-Algebra-Homomorphismus, der im Beweis von Theorem 5.3.3 unter (♠) definiert wurde. Folgende Eigenschaften ergeben sich aus der Definition und den Eigenschaften vonΘ und und sind leicht einzusehen:

Eigenschaften vonΘ^U

(1) Θ^U_n ist surjektiv f ¨ur alle n 0. (2) (Θ^U_n)k(p−1) ist injektiv f ¨ur allek≤ n

(weil deg(u_n+1) = (n+ 1)(p−1) undu_n+1 das “kleinste” Element in ker(Θ^U_n) ist).

(3) Θ^U_n kommutiert mit den Steenrod-Operationen, das heißt,Θ_n^Uist einP^∗-Algebra-Homorphismus.

(4) Θ^U_n kommutiert mit n−1, das heißt, n−1°Θ^U_n =Θ^U_n−1, f ¨ur alle

n .

Diese Eigenschaften ben¨otigen wir zum Beweis des folgenden Satzes.

SATZ5.3.5 SATZ5.3.5 SATZ5.3.5

SSATZATZ5.3.55.3.5:Die AlgebraU Obj(P^∗−

Alg

)ist mit Θ^U: U [z1, . . . , zn]^Σⁿ ^/(p−1) der (inverse) Limes von{ [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1)}, das heißt,

U= lim { [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1)}.

BEWEIS

BBEWEISEWEIS:Es muss gezeigt werden, dass es f ¨ur alleT Obj(P^∗−

Alg

), zusammen mit einem MorphismusΨ : T { [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1)}, der mit kommutiert, genau einen P^∗-Algebra-Homomorphismus

: T U gibt, so dass f ¨ur alle n das Diagramm

T ^∃!

Ψn Θ_n^U

[z1, . . . , zn]^Σⁿ ^/(p−1)

kommutiert. Im Folgenden sei zur besseren ¨Ubersichtlichkeit f ¨ur alle n 0:

F_n := [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1), und

s:= k(p−1).

Wir betrachten das Ganze zun¨achst gradweise und f ¨ur n≥k. Dann ist, wie Eigenschaften (1) und (2) zeigen,

(Θ_n^U)_s: (U)_s ^≅ (F_n)_s ein Isomorphismus. Also l¨asst sich

( )_s:= (Θ_n^U)⁻¹_s °(Ψn)_s

§3] EIN INVARIANTENRING 87 definieren und bringt das Diagramm

(T)_s

(U)_s

(Ψn)s (Θ_n^U)s

(Fn)s

zum kommutieren. Nach Konstruktion ist _s f ¨ur alle n≥k eindeutig und ein P^∗-Algebra-Homomorphismus. Um festzustellen, ob damit eindeutig auf ganzT definiert ist, m ¨ussen wir pr ¨ufen, ob das Diagramm mit dieser Definition von auch kommutiert, wenn n<k ist. Dazu be-trachten wir folgendes Diagramm, in demn=k ist:

(T)_s ^(Ψⁿ⁾^s (F_n)_s ^(Θ ^Uⁿ⁾^s (U)_s

(Ψn−1)_s ( _n−1)_s (Θ_n−1^U )_s

(F_n−1)_s

Es ist zu ¨uberpr ¨ufen, ob auch (Θ_n−1^U )_s° s= (Ψn−1)_s ist. In diesem Dia-gramm kommutieren aber die Einzeldreiecke:

Das obere Dreieck (das mehr wie ein Viereck aussieht wegen des geknick-ten Pfeils) kommutiert, weil hiern≥ k ist und wir das f ¨ur den Fall eben gezeigt haben.

Das linke Dreieck kommutiert, weil das eine der Eigenschaften ist, dieΨ haben muss.

Das rechte Dreieck kommutiert nach Eigenschaft (4) vonΘ^U. Damit muss dann auch das ¨außere Dreieck

(T)s

(U)s

(Ψn−1)_s (Θ_n−1^U )_s

(Fn−1)_s

kommutieren, und das war zu zeigen. Analog k¨onnen wir daraus, wieder mit einem großen Diagramm wie oben, folgern, dass das Diagramm mit n−2 kommutiert und so weiter bis zu n= 0. Daher ist

: T U

durch

k(p−1) = (Θ^U_n)⁻¹°Ψ_n _k₍_p−1)

mitn≥keindeutig bestimmt und ist nach Konstruktion einP^∗ -Algebra-Homomorphismus. Das zeigt, dassUdie universelle Eigenschaft des (in-versen) Limes vom{( [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1))_k(p−1)}hat und es folgt

U= lim {( [z1, . . . , z_n]^Σⁿ ^/(p−1))_k(p−1)}.

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Lebenslauf

Geburtstag und -ort: 08.08.1970 in Kassel Familienstand: ledig

Nationalit¨at: deutsch

1976-1980: Grundschule Kassel

1980-1989: Engelsburg-Gymnasium Kassel, Abschluss Abitur 09/1989-06/1991: Ausbildung zur Bankkauffrau: Deutsche Bank AG Kassel 10/1991-02/1998: Mathematik-Studium: Universit¨at G¨ottingen

10/1993: Vordiplom Mathematik mit Nebenfach Betriebswirtschaftslehre 29.04.-03.05.1996: Teilnahme am Workshop ,,Computational Invariant Theory”

in Dagstuhl

12.10.-18.10.1997: Teilnahme am DMV-Seminar ,,Algorithmische Ideal-und Invariantentheorie” in Oberwolfach

02/1998: Diplom Mathematik an der Universit¨at G¨ottingen, Hauptfach ,,Reine Mathematik, Invariantentheorie”

bei Prof. Smith

Titel der Arbeit: Der Transfer in der modularen Invariantentheorie.

Seit 02/1998: Promotion an der Universit¨at G¨ottingen bei Prof. Smith ¨uber Invariantentheorie seit 09/2000: Assistentin an der Universit¨at G¨ottingen

Unterst ¨utzung von Lehre und Forschung in der reinen Mathematik G¨ottingen, 17.04.2003

Kathrin Kuhnigk

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