Effektive Austauschwechselwirkung

Zu berechnen sind nun die effektiven Matrixelemente zwischen Zuständen |˜n, |n bei denen an den OrtenR_i,R_j die Spin-Zustände|S_i, m_i|S_j, m_j,|S_i,m˜_i|S_j,m˜_j vorhan-den sind, sowie sich die Ladungsträger im Vielteilchen-Grundzustand|ψ₀ befinden.

|˜n = |ψ₀|S_i,m˜_i|S_j,m˜_j, |n=|ψ₀|S_i, m_i|S_j, m_j

|ψ₀ = "

kσ

ˆ

c^†_kσ|0. (6.31)

Hierbei ist|0der Vakuum-Zustand und über Auswertung der Wirkung von⁽¹⁾Hˆ auf die Anfangs- und Endzustände|˜n,|nkann ein expliziter Ausdruck für ⁽¹⁾Hˆ entsprechend Czycholl oder Nolting^[97] gefunden werden:

− 1 2

n,˜n

|˜nn|

m

˜n|⁽¹⁾Hˆ|mm|⁽¹⁾Hˆ|n

1

E_m−E_n− 1 E_˜n−Em

= − 1

2

ij

k,k k≤kF

J² N²

e^{i(k−k)(Ri−Rj)}+e^{−i(k−k)(Ri−Rj)} ε(k)−ε(k)

=:Jij

(ˆSi·Sˆj). (6.32)

Als Ergebnis folgt eine indirekte, effektive Austauschkopplung J_ij zwischen den ma-gnetischen Momenten am GitterplatzR_i bzw.R_j. Somit ist gezeigt, dass auch dass-d Modell wiederum ein effektives Heisenberg-Modell beinhaltet und die zu Beginn als phä-nomenologisch präsentierten theoretischen Modelle zur Beschreibung von Magnetismus ihre Rechtfertigung aus der Coulomb- Wechselwirkung erfahren.

6.5 Effektive Austauschwechselwirkung

Im vorherigen Kapitel wurde klar, dass einerseits Modelle zur Beschreibung von Ma-gnetismus unerlässlich sind und andererseits, dass die Ursache ein komplexer quan-tenmechanischer Vielteilcheneffekt ist. In beiden zuvor diskutierten Fällen tritt eine effektive Austauschwechselwirkung zwischen magnetischen Momenten bzw. Spins auf, dessen Größe, Vorzeichen und Anisotropie bzw. Symmetrie die Ausbildung von magne-tischer Ordnung in realen Materialien bestimmen. Zweckmäßig kann die Beschreibung des thermodynamischen Problems dann oft über das Heisenberg-Modell erfolgen. Es gibt mit Sicherheit auch Systeme, in denen das Hubbard-Modell von Beginn an verwen-det werden muss, aber dennoch ist die Studie der effektiven Austauschwechselwirkung aufschlussreich.

Als Ausgangspunkt dienen die Arbeiten von Katsnelson und Lichtenstein[70,85,86,87] zur Berechnung der effektiven AustauschintegraleJ_ij für stark korrelierte Systeme. Der re-sultierende Ausdruck ist das Ergebnis der Variation des thermodynamischen Potentials bezüglich kleiner Spin-Rotationen in Kombination mit demLocal Force Theorem, dessen

Erweiterung auf den Spin-polarisierten Fall bzw. den Spin-Freiheitsgrad unter dem Be-griff Magnetic Force Theorem geläufig ist[22,86,133]. In diesem Zusammenhang sei auch auf Arbeiten verwiesen, welche sich mit der (Nicht-) Relevanz von durch Unordnung induzierten Vertexkorrekturen zu J_ij beschäftigen^[23,71] oder den systematisch einge-führten Fehler^[85](Vernachlässigung einer Energierenormierung) für endliche Magnon-Wellenlängen korrigieren^[22]. Im Folgenden soll allerdings der ursprüngliche Ausdruck^[70]

verwendet werden, der bereits beispielsweise sowohl für Metalle[15,71,116] als auch ver-dünnt magnetische Halbleiter^[80] ausgewertet wurde.

Entsprechend ist der Hamiltonoperator (im nichtrelativistischen Fall) für wechselwir-kende Spins an den Orten ri in Form eines Heisenberg-Modells mit dimensionslosen Spins|ei|= 1 gegeben¹:

Hˆ =−

i>jij

J_ijeiej. (6.33)

Die WechselwirkungsmatrixelementeJ_ij zwischen den Spins oder auch effektiven Aus-tauschintegrale lauten dann:

J_ij =−Tr_ω,α{Σˆ_i(iω) ˆG^↑

ij(iω) ˆΣ_j(iω) ˆG^↓

ji(iω)}. (6.34) Bei Gˆ^σ

ij(iω) handelt es sich um eine Matsubara-Greenfunktions Matrix im Spinsektor σ bezüglich der orbitalen Basis α, d.h. z_n = iω_n mit ω_n = ^π_β(2n+ 1) als Matsubara Frequenzen, und Σˆ_j(iω) = ¹₂( ˆΣ^↑_j(iω)−Σˆ^↓_j(iω)) ist dabei das effektive Spin-abhängige Potential. Trω,α ist dann die Summe bzw. Spur über Matsubara-Frequenzen und Or-bitalindizes, wobei sich die diskrete Frequenzsummation entweder als Integration über die reelle Energieachse ω anhand folgender Identität schreiben lässt oder mittels Resi-duensatz ausgewertet werden kann:

TrωF(iω) = 1 β

n

F(iω_n) =−1 π

_∞

−∞dωf(ω){F(ω+iδ)}=

p

Res(F, z_p)f(z_p). (6.35) Bei f(ω) handelt es sich um die Fermi-Funktion und F(z) ist analytisch in der oberen und unteren komplexen Halbebene mit der EigenschaftF(z)^∗ =F(z^∗)sowie der Annah-me, dassF(z)im Unendlichen hinreichend stark abfällt und Pole bei z_p besitzt. Somit bleibt das folgende Integral für ein im Rahmen dieser Arbeit verwendetes elektronisches Einteilchen-Modell zu berechnen:

J_ij = 1 π

_∞

−∞dωf(ω){Σˆ_i(ω+iδ) ˆG^↑

ij(ω+iδ) ˆΣ_j(ω+iδ) ˆG^↓

ji(ω+iδ)}. (6.36) Unter den Annahmen, dass a) einerseits die Spin-abhängigen Potentiale aus einer lokalen Kontaktwechselwirkung zwischen Spins resultieren, entsprechend dem letzten Term des

1Die Summationsbeschränkungi > j resultiert aus der Arbeit von Bouzeraret al.^[19], taucht aber in den Arbeiten von Katsnelson und Lichtenstein nicht explizit auf.

6.5 Effektive Austauschwechselwirkung

s-d Modells aus Gl.(6.11) und dass b) die Spins der magnetischen Momente für T = 0K vollständig ausgerichtet sind (T = 0K → keine Spin-Flip-Streuung, ersetze Sˆ_i^z → Sˆ_i^z), sind die Spin-abhängigen Potentiale durch frequenz- und gitterplatzunabhängige Diagonalmatrizen gegeben (= 1),

Σˆ_i(ω+iδ) = ˆΣ =−J·ˆ1 S

2, (6.37)

dessen Elemente bis auf einen Vorfaktor durch das Produkt aus Spin-Erwartungswert Sˆ_i^z = S der Störstellen mit dem Vektor der Kopplungskonstanten J_α (für mehrere Orbitaleα) zwischen Störstellen- und Ladungsträger- Spins gegeben ist. Die an dieser Stelle gemachten Modellannahmen werden später für Ga_1−xMn_xAs und Ga_1−xMn_xN näher erläutert und gerechtfertigt. Letztendlich muss nur ein Integral über das Produkt zweier Einteilchen-Greenfunktionen gelöst werden:

J_ij = S² 4π

α,β

J^αJ^β _∞

−∞dωf(ω){Gˆ^↑,αβ_ij (ω+iδ) ˆG^↓,βα_ji (ω+iδ)}. (6.38) Als nächster Schritt wird jetzt der Imaginärteil ausgewertet um abschliessend eine Dar-stellung in Eigenbasis angeben zu können. Über die Dirac-Identität,

1

ω−ω₀±iδ =P 1

ω−ω₀ ∓iπδ(ω−ω₀), (6.39) wobei P den Cauchy’schen Hauptwert bezeichnet, können beide Greenfunktionen in ihren Real- und Imaginärteil zerlegt werden, so dass für das Produkt mit der Eigenbasis

#

n|nn|= ˆ1 gilt:

{Gˆ^↑,αβ_ij (ω+iδ) ˆG^↓,βα_ji (ω+iδ)}=

n,m

{i, α,↑ |nn|j, β,↑j, β,↓ |mm|i, α↓}

·

$ P 1

ω−ω_nP 1

ω−ω_m −π²δ(ω−ω_n)δ(ω−ω_m)

%

−π{i, α,↑ |nn|j, β,↑j, β,↓ |mm|i, α↓}

·

$ P 1

ω−ω_nδ(ω−ω_m) +δ(ω−ω_n)P 1 ω−ω_m

%

. (6.40)

Für den Fall, dassHˆ reelle Matrixelemente besitzt, verschwindet der erste Term in Form des Imaginärteils, weil dann wegen reellen Eigenfunktionen|n ∈Rgilt:

{i, α,↑ |nn|j, β,↑j, β,↓ |mm|i, α↓}= 0. (6.41) Für den Spezialfall, dassHˆ hermitesch und Spin-unabhängig ist, gilt dies auch, weil nach komplexer Konjugation der Entwicklungskoeffizienten und Umbenennung der Summa-tionsindicesm↔ndie Summe aufgrund des Vorzeichenwechsels im Imaginärteil exakt

null ergibt. Aus diesem Grund soll von jetzt an reelle Matrixelemente für Hˆ vorraus-gesetzt werden und die weitere Auswertung des Ausdruckes für die effektiven Austau-schintegrale ergibt dann:

J_ij = S² 4

α,β

J^αJ^β

n,m

f(ω_m)−f(ω_n)

ω_n−ω_m {i, α,↑ |nn|j, β,↑j, β,↓ |mm|i, α↓}. (6.42) Die Umwandlung der Summation in ein kontinuierliches Integral liefert anschliessend:

J_ij = S² 4

α,β

J^αJ^β _∞

−∞dω _∞

−∞dωf(ω)−f(ω) ω−ω ×

n,m

δ(ω−ω_m)δ(ω−ω_n){i, α,↑ |nn|j, β,↑j, β,↓ |mm|i, α↓}. (6.43) Die untere Zeile kann wiederum auf die folgende Form gebracht werden,

{i, α,↑ |δ(ω−Hˆ)|j, β,↑j, β,↓ |δ(ω−Hˆ)|i, α↓}={ρ^αβ↑_ij (ω)ρ^βα↓_ji (ω)}, (6.44) bei der es sich um ein Produkt von Matrixelementen des Spektraldichte-Operators han-delt. Da reelle Matrixelemente für Hˆ vorrausgesetzt wurden, kann streng genommen auch auf die Angabe von verzichtet werden. Diese Form erlaubt die Berechnung der effektiven Austauschintegrale mittels der Polynomkernentwicklung, so dass die Berech-nung der vollen Eigenbasis, welche zur Auswertung von Gl.(6.42) benötigt wird, entfal-len kann. Zweckmäßig erfolgen die Rechnungen konsistent mit den Modellannahmen für T = 0K, so dass die Doppelintegration über die Differenz der Fermi-Funktionen noch explizit vereinfacht werden kann:

J_ij^αβ = S² 4 J^αJ^β

_∞

E_f dω _Ef

−∞dω 1

ω−ω × {ρ^αβ↑_ij (ω)ρ^βα↓_ji (ω) +ρ^αβ↑_ij (ω)ρ^βα↓_ji (ω)}. (6.45) In dieser Definition der effektiven Austauschintegrale in Kombination mit dem effektiven Spin-Spin Hamiltonoperator, wird von klassichen Spins ausgegangen und die Größe des SpinsS ist in die Definition vonJ_ij absorbiert worden. Daher muss beim Übergang zu quantenmechanischen Spins Sˆi die Definition der klassischen Austauschintegrale eben-falls modifiziert werden:

ei → Sˆi,

J_ij^Cl:=J_ij → J_ij^Qm := 1

S²J_ij. (6.46)

RKKY-Grenzfall: Die bisher vorgestellte Theorie enthält auch qualitativ den be-kannten Spezialfall der RKKY-Wechselwirkung[11,69,129,187], wie im Folgenden gezeigt werden soll. Dazu sind für die Greenfunktionen in Gl.(6.38) die ⁽⁰⁾G

ij(ω+iδ) des un-gestörten gitterperiodischen Volumenmaterials zu wählen, das bedeutet, dass eventuell

6.5 Effektive Austauschwechselwirkung

auftretende magnetische (Spin-abhängige) und nichtmagnetische Potentialstreuterme Hˆ¹ im zugehörigen Hamiltonoperator Hˆ =⁽⁰⁾Hˆ +⁽¹⁾Hˆ zu vernachlässigen sind. Durch Einfügen der Eigenbasis #

n,k|n,kn,k| = ˆ1, dargestellt bezüglich der gitterperiodi-schen Bloch-|k, α, σ bzw. als Fourier-Summe der lokalisierten |i, α, σ Basis:

|n,k=

α,σ

|k, α, σk, α, σ|n,k= √1 N

i,α,σ

e^ikRi|i, α, σk, α, σ|n,k, (6.47)

(0)G^σ,αβ_ij (ω+iδ) = 1 N

n,k

e^ik(Ri−Rj)k, α, σ|n,kn,k|k, β, σ ω−ω_n(k) +iδ

(0)G^σ,αβ_nk (ω+iδ)

, (6.48)

ergibt sich für den Fall eines (n= 1) elektronischen s-artigen Leitungsbandes (α =s) und unter Verwendung der gleichen Näherungen wie zuvor eine skalare Selbstenergie,

Σˆ_i(ω+iδ) = ˆΣ =−J S

2 , (6.49)

so dass für die effektiven Austauschkopplungen folgender Ausdruck resultiert:

J_ij^RKKY= (J S)² 4N²

k,k

e^{i(k−k)(Ri−Rj)}f(ω(k))−f(ω(k)) ω(k)−ω(k) ×

{k,↑ |kk|k,↑k,↓ |kk|k,↓}. (6.50) Die weitere Auswertung in der Näherung freier Elektronen mit parabolischer Dispersion und ebenen Wellen als Eigenfunktionen,

ω(k) = ²k²

2m , ω(kf) = ²k²_f 2m ,

k,↑ |k = k,↓ |k= 1, (6.51)

liefert dann bis auf einen Vorfaktor S²/2das bekannte Lehrbuchresultat J˜_ij^RKKY[108], J_ij^RKKY = (J S)²

4N²

k,k

e^{i(k−k)(Ri−Rj)}f(ω(k))−f(ω(k)) ω(k)−ω(k) = S²

2 J˜_ij^RKKY, J˜_ij^RKKY = J²k⁶_f

ω_f · ²V²

(2π)³N²F(2k_fR_ij), F(x) = sin(x)−x·cos(x)

x⁴ , (6.52)

welches sich über Störungsrechnung in⁽¹⁾Hˆ ≡ −J#

iSˆiˆsials zweite Ordnung ergibt^[97]. In Abb.(6.2) ist der Funktionsverlauf von F(x) dargestellt und somit oszilliert die RKKY-Wechselwirkung als Funktion des Produktes aus Betrag des Fermivektors k_f mit dem AbstandR_ij zwischen den magnetischen Momenten. Anhand dieses Resulta-tes kann der Magnetismus in Metallen, bei denen die Fermienergie im Leitungsband liegt und somit im Bereich einer endlichen Zustandsdichte, qualitativ verstanden werden, da

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−6

−4

−2 0 2 4 6 8 10x 10⁻³

x in 2Π

F(x)

F(x)=( sin(x)−x*cos(x) ) / x⁴

Abbildung 6.2: Charakteristische RKKY-Funktion - Die für die RKKY-Wechselwirkung typische FunktionF(x)oszilliert langreichweitig und weist eine Dämpfung auf.

je nach Abstand der magnetischen Momente zueinander die Kopplung zwischen diesen entweder ferromagnetisch (J_ij >0) oder antiferromagnetisch (J_ij <0) sein kann. Den-noch muss auch das Wirken aller Kopplungen auf ein einzelnes Moment bzw. die zuein-ander in Konkurrenz stehenden positiven und negativen Kopplungen zu verschiedenen Abständen mit bedacht werden, um eine mögliche makroskopische, ferromagnetische Ordnung zu gewährleisten.

Im Dokument Tight-Binding-Theorie für optische und magnetische Eigenschaften von Halbleitern (Seite 61-66)