rotationssymmetrischer Körper
3.2 Druckbelasteter dickwandiger Zylinder
Für Bauteile unter Innen- und Aussendruck und ohne Rotation braucht man sich nicht um den inhomogenen Teil der chung zu kümmern. Mit dem homogenen Teil der Differentialglei-chung kann eine Lösung gefunden werden. Zunächst wird die Lösung (170) in die kinematischen Gleichungen eingesetzt, wodurch man für die Dehnungen erhält:
3.2.1 Druckbehälter mit freier Längsdehnung
Bild (B003druZ) schematische Darstellung eines freien Druckbehälters
Druckbehälter ohne Längslast und -zwängung können sich längs frei dehnen und befinden sich in einem ebenen Spannungszustand ESZ mit σx=0.
Die Spannungen in radialer und tangentialer Richtung werden mit Gleichung (163) und (172):
(172)
Zur Bestimmung der Parameter A und B setzt man die Radialspan-nung σr am Innen- und am Aussenrand gleich den gegebenen Drü-cken:
und erhält:
Mit dem Radiusverhältnis:
lassen sich die Parameter A und B einfacher schreiben:
(174)
Daraus folgt die Darstellung für die Spannungen im ESZ:
und die Dehnungen:
Die Dehnung in Längsrichtung wird nach dem Stoffgesetz:
Die Dehnung εx ist demnach konstant in den Richtungen x und r. Ent-sprechend handelt es sich hier sowohl um einen ebenen Spannungs-zustand (ESZ) als auch um einen ebenen, allgemeinen Dehnungszustand (EFZ) mit εx=konstant.
Geschlossene Druckbehälter mit axialer Belastung erfahren die Druckbelastung natürlich nicht nur in radialer, sondern auch in Längs-richtung. Die daraus entstehende Längsspannung ist konstant über den Querschnitt verteilt und man kann sie berechnen, indem der Aus-sen- und der Innendruck mit den Axialprojektionen der beaufschlag-ten Flächen multipliziert wird. Die so berechnete Kraft wird auf den Zylinderquerschnitt bezogen:
Bild (B004druZ) Geschlossener Druckbehälter
Mit dem oben definierten Radiusverhältnis und nach Kürzen mit π erhält man:
Substituiert man dies in das Stoffgesetz folgen die Dehnungen:
und nach Umstellung die Spannungen
(182)
Die Lösungen der homogenen Differentialgleichung für εr und εθ ein-gesetzt liefern:
Da A und νc/1–ν wiederum Konstanten sind, werden diese zu einem neuen A zusammengefasst und es resultiert dieselbe Beziehung für σθ und σr wie gehabt:
Analog zum Fall σx=0 könnten die Konstanten A und B mit den Rand-bedingungen σr=pa, pi bestimmt und die Spannungen σθ und σr berechnet werden. Dies soll hier jedoch nicht erfolgen. Die Dehnun-gen berechnen sich nach Gleichung (158), wobei man schon in der ersten Beziehung für εx sieht, dass sich die Gesamtdehnung aus den Dehnungsanteilen infolge σθ und σr sowie dem Anteil aus σx
Bild (B005druZ) Dickwandiger Zylinder (χ=0.1) unter Innen- und Aussendruck (Die Axi-alspannung x ist in diesem Beispiel negativ, weil der Innenradius sehr viel kleiner ist als der Aussenradius.)
3.2.2 Druckbehälter mit behinderter Längsdehnung
Falls das Druckrohr z.B. beidseitig in Längsrichtung eingespannt ist, wird εx0=0 und σx unbekannt (EFZ). Die Funktionen für εθ und εr nach Gleichung (172) werden in diesem Fall in Gleichung (161) eingesetzt:
Bild (B017druZ) In Längsrichtung eingespanntes Druckrohr
(188)
Nun sollen die freien Parameter A* und B* dieses Falles bestimmt werden. Mit den Randbedingungen:
wird wieder:
Die Ausdrücke für die Parameter a und b in die Spannungsgleichun-gen (188) eingesetzt führt schliesslich auf die Spannungsverläufe σθ und σr direkt in Abhängigkeit von den Drücken pi und pa für EFZ:
Man sieht im Vergleich der Resultate von ESZ Gleichung (179) und EFZ Gleichung (192), dass σ und σ von der Behinderung in x-Richtung
(189)
Die Dehnungen εθ und εr sind von der Existenz von σx unabhängig, wie man leicht durch Einsetzen zeigen kann. Somit gelten die Ergeb-nisse von Gleichung (29) auch für EFZ. εx hingegen ist: εx=0.
3.2.3 Vergleichsspannung
σx, σθ und σr sind, wie man sich leicht vorstellen kann, Hauptspan-nungen. Somit können die Vergleichsspannungen direkt nach der ent-sprechenden Hypothese berechnet werden. Bei der Normal-spannungs- und der Schubspannungshypothese muss die Lage von σx in Bezug auf σθ und σr überprüft werden.
Bild (B007druZ) Spannungsverteilung und Lage der maximalen Vergleichsspannung
Die Vergleichsspannung ist bei r=ri maximal und beträgt:
(193)
3.2.4 Spezialfälle
Druckrohr mit vernachlässigbarem Aussendruck
Wenn der Innendruck wesentlich grösser ist als der Aussendruck, darf man pa=0 setzen. Damit wird aus Gleichung (192):
σx ist, je nach der erwähnten Bedingung:
a) freie Längsausdehnung ohne axiale Last:
b) behinderte Längsdehnung (εx0=0):
c) freie Längsdehnung mit axialer Last:
(195)
Aufgezeichnet erkennt man in Bild B007druZ, dass die höchste Belas-tung am Innenradius auftritt und σx immer innerhalb von σr und σθ liegt. Die grösste Spannungsdifferenz ist demnach diejenige zwischen σθ und σr:
Bild (B008druZ) Mohr’scher Spannungskreis am Innenrand
Zieht man einen duktilen (fliessfähigen) Werkstoff in Betracht, kann man mit der Schubspannungshypothese sehr einfach die Vergleichs-spannung für den Innenradius berechnen:
und mit dem entsprechenden Sicherheitsfaktor gegen Fliessen dimen-sionieren:
(199)
(200) σ
σθ
σx
σr
τmax
σ σ σ
θ χ
v ri r ri pi 2 2
=
( )
−( )
= 1−
⎛
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟
σ σ σ σ χ
v zul F
F
F 2
s ; pi F
1
≤ = ≤
(
2s−)
Bild (B009druZ) dickwandiger Zylinder (χ=0.5) unter Innendruck.
Grenzwertbetrachtung
Extreme Innendrücke erfordern sehr hohe Wanddicken mit χ→0. Für r=ri liefert die Gleichung (195):
und die Vergleichsspannung gegen Fliessen ist gemäss der Schub-spannungshypothese σv=2pi ein von ra unabhängiger Wert.
Ist der Innendruck so hoch, dass die Vergleichsspannung die Fliess-grenze des betrachteten Werkstoffs erreicht, bringt auch eine weitere Verdickung der Wand demnach keinen Vorteil. Vielmehr wäre zu prü-fen, ob nicht plastisches Fliessen in den inneren Radienbereichen des Werkstoffs in Kauf genommen werden kann. Dazu müsste nachge-wiesen werden, dass die plastische Zone sich nur bis zu einer gewissen Grösse ausbildet und dann nicht mehr weiter wächst. Dieser Gedanke liegt schon deshalb nahe, weil die hochbeanspruchte Zone am Innen-radius sehr stark lokalisiert ist, wie dies das Bild B010druZ zeigt. Eine
(201)
Aufschrumpfen eines äusseren Rohres oder durch Vorbeanspruchung des inneren Bereiches durch Innendruck über die Fliessgrenze hinaus.
Schliesslich wird in der Praxis auch eine Hybridbauweise eingesetzt, bei der ein metallischer Innenbehälter mit einer Umwicklung aus hochfestem faserverstärktem Kunststoff gesichert wird. Hier wird ein Fliessen des Innenbehälters bewusst in Kauf genommen, wenn es von der Faserumwicklung sicher begrenzt wird.
Bild (B010druZ) extrem dickwandiger Zylinder (χ=0.01) unter Innendruck
Zylinder unter Aussendruck
Während bei verschwindendem Aussendruck sowohl Druck- als auch Zugspannungen auftreten, gibt es bei verschwindendem Innendruck nur Druckspannungen im ganzen Körper, wie Bild B011druZ zeigt.
Wieder findet sich die maximale Werkstoffbeanspruchung am Innen-radius. Die Gleichungen (192) sind für diesen Fall (pi=0):
σ
r / ra 1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
σθ
σx
σr
Wieder liegt σx (jedoch mit negativem Vorzeichen) zwischen den bei-den Werten (wobei σri=0) und die Vergleichsspannung wird gegeben mit:
Bild (B011druZ) Zylinder unter Aussendruck
(202)
Es mag paradox erscheinen, aber auch in diesem Fall liegt die höchste Beanspruchung am Innenradius und beträgt nach der Schubspan-nungstheorie:
Diskussion: Man erkennt hier die Gefahr von kleinen Löchern in Wel-len, welche z.B. durch Aufpressen von Naben einen Aussendruck erfahren. Am Innenrand dieser Löcher treten sehr grosse Spannungen auf.
Vollwelle unter Aussendruck
Bei Press- und Schrumpfsitzen wird meist eine Nabe auf eine Vollwelle gepresst. Dabei steht die Vollwelle unter Aussendruck. Die Verschie-bungsfunktion w(r) entspricht Gleichung (171) und die Spannungen sind unabhängig von r konstant:
A wird gemäss (178) und (190):
(204)