Die Greensfunktion für den gesamten Kristall

Um die Greensfunktion für Blochelektronen im Magnetfeld aufzustellen, gehen wir zu-nächst von Gleichung (2.24) aus. Der betrachtete Kristall sei ideal kubisch und bestehe in x– und y–Richtung aus jeweils N Atomen. Dementsprechend hat der zu (2.24) gehörige Hamilton–Operator H^eNN²Eigenwerteεklmit kl 1999n N und Eigenfunktionen_N¹z^kl. Dabei entspricht z^kl den Lösungen von (2.24), diese müssen auf die Größe des Kristalls normiert werden, sonst würde die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Kristallelektronen für sehr große Kristalle divergieren¹.

Das Element der Greensfunktion zu den Gitterplätzen a m n und a ^e m^e n^e wird mit (3.1) berechnet:

G^eN λ a a ^e λ H^eN ^" 1

1 N²

∑

N k 1

∑

N l 1

z^k_m^ln¯z^k_m^l

kn^k

λ εkl

(3.25)

Um die Berechnung zu vereinfachen werden die z^k_m^lnauf die Lösungen der Azbel–Harper–

Gleichung (2.26) zurückgeführt. Wegen (2.25) gilt:

z^k_m^l

n e^iνk#ng^l_m

In einem endlichen Kristall mit N Atomen in y–Richtung nimmtνnur die diskreten Werte ν 2π

N k mit k 1W99+N (3.26)

an. Deshalb gilt in diesem Fall

z^k_m^ln e^i2Nπkng^l_m (3.27)

1Diese Normierung entspricht der Vorgehensweise bei der Behandlung eines Teilchens im Kasten.

3.2. Die Greensfunktion zum Azbel–Harper–Hamiltonian

Einsetzen der Bedingungen (3.26) und (3.27) in (3.25) führt zu folgender Gleichung:

G^e_N λa a ^e

Der Operator div bezeichnet hier die Division ganzer Zahlen ohne Rest, das Ergebnis von m div q ist also der ganzzahlige Anteil von^m_q, mod ist der Modulo–Operator, das Ergebnis ist Rest einer Division ganzer Zahlen. Der Kristall ist endlich, deshalb nimmt µ nur die diskreten Werte

µ 2π

N d mit d 19W9W

N q

an. Die Summe über alle l in (3.28) läßt sich damit durch zwei Summen, eine über die d magnetischen Brillouinzonen und eine über die q verschiedenen Eigenwerte in jeder magnetischen Brillouinzone ausdrücken:

Im Grenzfall (N ^C ∞) — dieser kommt den realen Bedingungen sehr nahe — gehen die Summen in Integrale über:

G^e λa a ^e

3.2.2. Die Greensfunktion zum Azbel–Harper–Hamiltonian

Bei der Herleitung des Azbel–Harper–Hamiltonians wurden einige Vereinfachungen ge-macht: Mit Hilfe der Bloch–Phase ν und der Floquet–Phase µ wurde der Hamilton–

Operator mit Rang ∞ über dem zweidimensionalen Gitter auf einen eindimensionalen

Operator vom Rang q reduziert. Wie wirken sich diese Vereinfachungen auf die „unend-lich ausgedehnten” Kristall kontinuier„unend-lich im Intervall . π π⁰. Analog zum Vorgehen in Abschnitt 3.2.1 ist deshalb über alle möglichen Werte von µ undνzu integrieren:

G^a λ 1

Ein Element der Greensfunktion kann damit durch G^a λ m n

Ein Vergleich mit der Greensfunktion für den gesamten Kristall G^e (3.29) zeigt, daß die beiden Operatoren zumindest dann gleich sind, wenn die beiden Gitterpunkte a und a ^e

auf der selben Kristallachse in x-Richtung (n n^e 0) und in der selben magnetischen Brillouinzone ( m m^e div q 0) liegen. Insbesondere sind die Diagonalelemente gleich:

G^e λ a a G^a λ m m (3.33)

Wie beschrieben, wird H^adurch eine q^[ q -Matrix über^\ dargestellt, ebenso λ H^a . Deshalb kann die Greensfunktion G^azu H^a auch direkt durch (3.1) bestimmt werden:

G^a λ λ H^a " 1

Mit (3.30) werden die Elemente der Inversen von λ H^a berechnet. Die Elemente der Inversen können auch mit der Cramerschen Regel berechnet werden. Für festesν0und µ0

ergibt sich:

3.2. Die Greensfunktion zum Azbel–Harper–Hamiltonian dabei ist Amndie klassische Adjunkte zu λ H^a , also die Determinante der Matrix, die aus λ H durch Streichen der m-ten Zeile und der n-ten Spalte entsteht, multipliziert mit 1

l m.

Der Vergleich von (3.30) und (3.35) ergibt:

∑

q

Für einen „unendlich großen” Kristall hat G^a demnach die Form

G^a λmn

Eigenschaften vonG^a

Zur genaueren Bestimmung der Struktur von G^a werden zunächst einige Eigenschaften dieser speziellen Greensfunktion untersucht. Diese werden es ermöglichen, die Diago-nalelemente und die Elemente der ersten Nebendiagonalen analytisch zu berechnen.

Die Elemente der Resolventen G^a können entweder mit Hilfe der Eigenvektoren von H^a (3.32) oder mit Hilfe der Adjunkten A_ij (3.37) berechnet werden. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird vor allem die Berechnung über die Adjunkten von besonderer Bedeu-tung sein. Für sie gelten folgende Eigenschaften:

Sei M λ H^a , die Elemente von M seien a_ij, dann gilt

und analog:

Von hier an wird in diesem Abschnitt der einfacheren Darstellung halber G G^agesetzt.

Zudem wird H^a λ anstelle von λ H^a betrachtet, einfach um weniger Vorzeichen in den Matrizen schreiben zu müssen. Für die Determinanten gilt dann

λ H^a 1

q H^a λ (3.41)

Die Adjunkten sind entsprechend mit 1

q" 1zu multiplizieren.

Die Matrix H^a λ ist für λ ^1‹Š hermitesch. Die Hermiteschen Matrizen mit nicht verschwindender Determinante bilden eine Gruppe bezüglich der Multiplikation. Die Determinante von H^a λ verschwindet nicht, wennλkein Eigenwert von H^a ist. Also muß auch die Inverse von H^a λ hermitesch sein. Insbesondere ist

G λ G¯^T λ (3.42)

Im Folgenden soll gezeigt werden, daß die Elemente jeder Diagonalen (Hauptdiagonale und alle Nebendiagonalen) der Greensfunktion G zu H^a jeweils gleich sind. Dazu ist zunächst zu untersuchen, wie sich ein zyklisches Vertauschen der c_iin H^a auf die Deter-minante von H^a λ und auf die Adjunkten A_ijauswirkt.

Diese Untersuchung wird hier für die Determinante und für die H^a λ explizit durch-geführt. Die Betrachtung der Adjunkten verläuft prinzipiell ähnlich, sie ist im Anhang A dargestellt.

3.2. Die Greensfunktion zum Azbel–Harper–Hamiltonian

Die Substitutionν^e ν 2παentspricht also einem zyklischen Vertauschen der c_i. Zur besseren Übersicht definieren wir ferner

e : e^iqµ

Behauptung: Diese wird im Folgenden als

X :

Führen wir nun folgende Bezeichnung ein:

Xⁱ X i-te Zeile gestrichen X_j X j-te Spalte gestrichen

3.2. Die Greensfunktion zum Azbel–Harper–Hamiltonian

Dann gilt für die Determinante H λ bei einer Entwicklung nach der ersten Zeile:

H λ b₁X

nach 1. Spalte entwickeln

1

nach 1. Spalte entwickeln

H λ b1X X₁¹ 1

" 1ist eine untere Dreiecksmatrix deren

Diagonalelemente alle gleich 1 sind, X₁^{q" 1} eine obere Dreiecksmatrix mit der gleichen Eigenschaft. Es folgt nach der letzten Spalte:

H^e λ b1X

nach letzter Zeile entwickeln

1

nach letzter Zeile entwickeln

H^eP λ b₁X 1

Deshalb gilt:

H ν λ H^e ν λ H ν^e λ

Womit die Behauptung bewiesen ist.

Das Hofstadtersche Spurpolynom ist also invariant gegenüber einer zyklischen Vertau-schung der c_i. Daraus folgt u.a., daß die Eigenwerte von H^aunabhängig vom Ort sind.

Wie in Anhang A explizit gezeigt wird, gilt ferner für alle i j 1B i q 1B j q

A_ij ν A_i^e

" 1j" 1 ν A_i

" 1j" 1 ν^e (3.44)

Die zyklische Vertauschung der c_ientspricht also einer „Verschiebung” der Adjunkten.

Die Adjunkte A_ij ist periodisch inν mit der Periode 2π, denn H^a ν H^a ν^e fürν^e ν 2π. Das Hofstadtersche Spurpolynom P λ 2 cos qν 2 cos qµ ist offensichtlich periodisch inνmit der Periode 2π^A q. Deshalb ist auch

G λ i j µ ν Aij µν

P λ 2 cos qν 2 cos qµ

periodisch inνmit der Periode 2π.

Das Integral über eine Periode einer periodischen Funktion ist unabhängig von den Inte-grationsgrenzen:

Wenn nun jedes Element einer Diagonale der Greensfunktion gleich dem nächsten (bzw.

3.2. Die Greensfunktion zum Azbel–Harper–Hamiltonian

vorhergehenden) auf dieser Diagonale ist, müssen alle Elemente in einer Diagonale gleich sein.

Nach den Gleichungen (A.6) und (A.8) hat der Imaginärteil der Greensfunktion immer die Form

ℑ G λ i j9

&

π

" π

&

π

" π

4 sin qµ f λi j ν

P λ 2 cos qν 2 cos qµ

dνdµ

Dabei ist f die Determinante einer Matrix, die µ nicht enthält. Der Integrand des Imagi-närteils ist also der Quotient einer in µ ungeraden und einer in µ geraden Funktion. Der Quotient einer ungeraden und einer geraden Funktion ist selbst wieder ungerade. Das In-tegral über eine Periode (oder das ganzzahlige Vielfache einer Periode) einer ungeraden Funktion ergibt immer 0, deshalb gilt:

ℑ G λi jW

0 (3.45)

Mit der Hermitizität von H^a (3.42) folgt:

G λi j G λ j i (3.46)

Die Greensfunktion G^a λ zum Azbel–Harper Hamiltonian H^ahat also für alleλ^1Š , die keine Eigenwerte von H^asind, folgende Eigenschaften:

1. Die Elemente der Greensfunktion G^a λ i j sind für alle i j reell (3.45).

2. G^aist symmetrisch (3.46).

3. Die Diagonalelemente von G^asind identisch:

G^a λ l l G^a λ m m 1 ^B l m^B qJ (3.47)

4. Die Elemente jeder j -ten Nebendiagonale sind untereinander gleich:

G λll j G λ m m j 1B l B mB q‘ (3.48) Um G^a vollständig anzugeben, genügt die Kenntnis von maximal q Elementen von G^a. Diese Aussage gilt nur für die verwendete Landau-Eichung des Vektorpotentials und für das auf eine Dimension und eine magnetische Brillouinzone reduzierte System.

Im Dokument Störstellen auf Hofstadters Schmetterling (Seite 36-46)