Die Coulomb-Eichung

durch den Pfadintegral-Formalismus entsteht, sondern schon einen Schritt fruher durch die Wahl einer unvollstandigen Eichxierungsbedingung.

Wir merken uns also als Resultat unserer Betrachtungen zur temporalen Eichung:

Nicht alle Eichbedingungen sind gleich gut, auch wenn das oft behauptet wird.

Unvollstandige Eichbedingungen verursachen Eichpole im Propagator. Diese sind durch zusatzliche Eichbedingungen behebbar.

Als nachstes betrachten wir die Coulomb-Eichung. Auch hier scheint eine Rest-eichfreiheit zu existieren. Beim Versuch, diese zu beheben, werden wir auf neue Schwierigkeiten stoen, die uns dazu fuhren, neben den Auswirkungen von Eich-freiheitsgraden auf Propagatoren auch den Einu von Randbedingungen zu stu-dieren.

3.4 Die Coulomb-Eichung

Die Eichbedingung hat hier die Form

@^ixAⁱ(x) = 0: (3.37)

Der Einfachheit halber beschranken wir uns im folgenden auf den abelschen Fall einer Eichtheorie, da hier bereits das Problem, um das es uns geht, sichtbar wird.

Bei nicht-abelschen Eichtheorien tritt zusatzlich das Phanomen auf, da selbst die kovariante Eichbedingung @A = 0 prinzipiell nicht in der Lage ist, die Eichfreiheiten vollstandig zu xieren. Das wird als Gribov-Problem bezeichnet [39]. Die Eichtransformationen, um die es dabei geht, sind sogenannte "groe Eichtransformationen\. Sie sind nicht in der Form V = exp(^;ig^at^a) darstell-bar, reduzieren sich also bei verschwindender Kopplung nicht auf die Identitat im Farbraum. Da wir uns in dieser Arbeit fur die Feynman-Regeln fur nicht-kovariante Eichungen interessieren, beschranken wir unsere Untersuchungen auf den storungstheoretisch zuganglichen Bereich, schlieen also groe Eichtransfor-mationen explizit aus. Auch globale EichtransforEichtransfor-mationen (mit Ausnahme der Identitat naturlich) sind ausgeschlossen.

Wie in Anhang B dargestellt, hat die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes in Coulomb-Eichung die Form

LCoul =^;1

2@A^tri @Aⁱtr^;1

2@ⁱA0@ⁱA⁰: (3.38) Dabei ist Aⁱ_tr die transversale Komponente des Vektorfeldes. Aus (3.38) lat sich der Propagator fur die Coulomb-Eichung scheinbar problemlos ablesen: Tempo-rale und transversale Komponenten sind oenbar entkoppelt und breiten sich mit

38 3. QUANTISIERUNG NICHT-KOVARIANTER EICHUNGEN 1=(kⁱkⁱ) bzw. 1=(kk) aus, d.h.

D~⁰⁰(k) = i

~k² ; (3.39)

D~^ij(k) =^; i

k²+i g^ij+ kⁱk^j

~k²

!

(3.40)

und D~⁰ⁱ(k) = ~Dⁱ⁰(k) = 0: (3.41)

(3.38) ist aber invariant gegen rein zeitliche Eichtransformationen A(x)^!A(x)^;@^x(x0) =

( A0(x)^; _(x0) fur = 0

Aⁱ(x) fur =i ; ^(3.42) und tatsachlich sieht man das der temporalen Komponente des Propagators auch an: ~D00 hat einen Pol bei~k = 0. Trotzdem gibt es kein praktisches Beispiel (wie etwa Loop-Rechnungen im entsprechenden Fall der temporalen Eichung), bei dem dieser Pol Probleme bereiten wurde. Wie wir noch sehen werden, haben wir ein Problem konstruiert, das gar nicht wirklich existiert. Nichtsdestoweniger ist die Klarung folgender Fragen interessant: Wohin fuhrt die Beseitigung dieser schein-baren Resteichfreiheit entsprechend dem im letzten Kapitel dargestellten Verfah-ren? Warum gibt es diese Resteichfreiheit nicht wirklich, die Resteichfreiheit der temporalen Eichung aber schon?

Gehen wir zunachst den eingeschlagenen Weg weiter. Um die Coulomb-Eich-bedingung (3.37) zu erganzen, fordern wir, da die temporale Komponente des Vektorfeldes zusatzlich die Gleichung

A0(x0;~r0) = 0 (3.43)

erfullt. Dabei ist~r0 ein konstanter Ortsraum-Vektor. Oenbar ist das ganze Vor-gehen dem Fall der temporalen Eichung sehr ahnlich. Ein Vergleich der zwei Paare von Eichbedingungen (3.11), (3.30) und (3.37), (3.43) zeigt, da eigent-liche und erganzende Eichbedingung praktisch nur ausgetauscht wurden. (3.43) gilt naturlich hier nur auf einer eindimensionalen Hyperache, entsprechend der Tatsache, da man es nur mit der eindimensionalen Menge der rein zeitlichen Eichtransformationen zu tun hat.

Bevor wir den zugehorigen Propagator ausrechnen, wollen wir sicherstellen, da (3.37) und (3.43) auch wirklich gemeinsam realisiert werden konnen. Wir suchen also eine Eichtransformation , die ein beliebiges, insbesondere beliebig geeichtes Vektorfeld V so transformiert, da

A =V^;@ (3.44)

3.4 Die Coulomb-Eichung 39 die beiden Eichbedingungen erfullt. Oenbar fuhren die Gleichungen (3.37) und (3.43) auf Dierentialgleichungen, aus denen in Abhangigkeit vonVbestimmt werden kann. Das gewunschte Ergebnis liefert der Ansatz

(x) =^;Zd³y[^C(~x^;~y)^;C(~r0^;~y)]@^iyVⁱ(x0;~y) +^Zdy0(x0^;y0)V⁰(y0;~r0) (3.45) mit der Greenschen Funktion

^C(~x^;~y) = ^;1

4^j~x^;~y^{j (3.46)}

zum Operator^r~²x. Man uberzeugt sich leicht, da das transformierte FeldA die beiden Eichbedingungen (3.37) und (3.43) erfullt.

Unsere vollstandig eichxierte Lagrange-Dichte ergibt sich aus (3.38) durch Hin-zunahme eines Eichxierungsterms zu

LCoul^;vollst=^;1

2@A^tri @Aⁱtr^; 1

2@ⁱA0@ⁱA⁰_{+ 12}A⁰⁽x)A⁰(x)(~x^;~r0): (3.47) Oenbar bleiben die Raumkomponenten unverandert, soda beim Propagator nur D00 modiziert werden wird. Der Beitrag D^ij ergibt sich weiterhin als Fourier-Transformierte von (3.40). Fur die Zeit-Zeit-Komponente ergibt sich ganz analog zum Fall der temporalen Eichung (vgl. (3.34)) der Ausdruck

D00(x;y) =^Z d⁴k

(2)⁴ie^;ik0(x0;y0)(e^i~k~x;e^i~k~r0)(e^;i~k~y;e^{;i~k ~r0})

~k² : (3.48)

Der Pol bei~k = 0 ist somit tatsachlich beseitigt. Die Auswertung derk-Integrale ergibt aber den divergenten Ausdruck

D00(x;y) =(x0^;y0) i 4

1

j~x^;~y^{j ; j}~x^;1 ~^{j ;j}~^;1 ~y^{j+ 1j}~^;~^j

| {z }

!1

: (3.49) Oenbar haben wir zwar das vermeintliche Infrarot-Problem, den Pol bei~k = 0, beseitigt, aber stattdessen haben wir uns eine Ultraviolett-Singularitat einge-handelt.¹¹ Da es in der gewohnlichen Coulomb-Eichung, d.h. ohne die Zusatzbe-dingung (3.43), gar kein Polproblem gibt (zumindest nicht bei praktischen Rech-nungen), wir aber jetzt durch zusatzliche Eichxierung ein UV-Problem produ-ziert haben, liegt die Vermutung nahe, da wir zuviel des Guten getan haben.

Die bisher verfolgte Philosophie besagte, da die Coulomb-Eichung unvollstandig und durch eine zusatzliche Eichbedingung vollstandig zu machen sei. Nun sieht es

11Die Divergenz kommt von dem Integral^Rd³k=~k²=^R01dk.

40 3. QUANTISIERUNG NICHT-KOVARIANTER EICHUNGEN eher so aus, als ob die Coulomb-Eichung vollstandig ist und durch eine zusatzli-che Eichbedingung sozusagen "ubervollstandig\ wird. Oenbar sieht man diesen Eekt aber erst beim Ermitteln des Eichfeld-Propagators und nicht schon auf dem Level der Eichfelder | im letzten Absatz wurde ja sichergestellt, da man A-Kongurationen nden kann, die beide Eichbedingungen erfullen. Wir haben es also mit einem Problem zu tun, das erst bei der Quantisierung zum Tragen kommt. Werfen wir deshalb noch einmal einen kritischen Blick auf unsere Quan-tisierungsvorschrift 3 auf Seite 30. Der freie Eichfeld-Propagator ergibt sich dort als Losung der partiellen Dierentialgleichung (3.8). Um ihn eindeutig