Der Beweis des Hauptsatzes

enthalten lediglich den Eintragλ_i.

 Weitere Beispiele von Matrizen in Jordanscher Normalform:



Die folgenden Matrizen sind nicht in Jordanscher Normalform:



Bemerkung 11.1.9 IstAin Jordanscher Normalform, so sind die Einträgeλ_iin der Diagonalen die Eigenwerte vonA, jeder mit der Anzahl seiner algebraischen Vielfachheite_i:=e_λi. Verschiede-ne Jordanblöcke könVerschiede-nen zu demselben Eigenwertλ_igehören: Die Zahl der Jordanblöcke zum Eigenwert λ_i ist die geometrische Vielfachheit d_i:=d_λi des Eigenwertes λ_i.

Bemerkung 11.1.10 Aus Lemma 11.1.3 erhalten wir leicht, dass das Minimalpolynom einer MatrixAin Jordanscher Normalform, die aus BlöckenJmi,λbesteht, gegeben ist durch

(t−λ)^p mit p:= max{m1, . . . , mt}.

Ein Polynom Q ∈ K[t] annulliert nämlich genau dann die Matrix A, wenn es alle Jordanblöcke J_mi,λannulliert, was nach Lemma 11.1.3 heiÿt, dass es von(t−λ)^p geteilt wird.

BestehtAaus Jordanblöcken zu verschiedenen Eigenwertenλ₁, . . . , λ_rund istp_idie maximale Gröÿe eines Jordanblocks zu dem Eigenwertλ_i, so sieht man mit der gleichen Argumentation wie im Beweis von Lemma 11.1.3, dass das Minimalpolynom vonAgegeben ist durch

MA(t) =

r

Y

i=1

(t−λi)^pi.

11.2 Der Beweis des Hauptsatzes

11.2.1 [Einleitende Betrachtungen] Angenommen,B= (v₁, . . . ,v_m,v_m+1, . . . ,v_n)ist eine Basis des VektorraumsV, so dass die MatrixA= [ϕ]_Bvonϕ∈End(V)bzgl.BJordansche Normalform besitzt, wobei die erstenmBasisvektorenv1, . . . , vmzum ersten Jordanblock

J1=Jm,λ

gehören. Dann ergibt sich

ϕ(v₁) =λv₁ Av₁=λv₁

ϕ(v2) =v1+λv2 Av2=v1+λv2

... ...

ϕ(vm) =v_m−1+λvm Avm=v_m−1+λvm,

oder anders geschrieben

(ϕ−λid)v1= 0 (A−λE)v1= 0 (ϕ−λid)v₂=v₁ (A−λE)v₂=v₁

... ...

(ϕ−λid)vm=vm−1 (A−λE)vm=vm−1.

(∗)

Denition 11.2.2 [Jordanketten] Eine Folgev1,v2, . . . ,vmvon Vektoren inV heiÿt Jordankette für ϕ ∈ End(V), wenn (∗) mit v1 6= 0 erfüllt ist. In diesem Fall ist v1 ein Eigenvektor zum Eigenwertλ. Weiterhin gilt fürj= 0, 1, . . . ,m−1

(ϕ−λid)^jvm=vm−j und (ϕ−λid)^mvm= 0.

Eine Folgev1, v2, . . . ,vm von Vektoren inKⁿ heiÿt Jordankette der MatrixA∈Mn(K)zum Eigenwertλ, wenn(∗)mit v16= 0efüllt ist.

Lemma 11.2.3 Bilden die Vektoren v1, . . . , vm eine Jordankette für ϕ und den Eigenwert λ, so sind sie linear unabhängig.

Beweis. Zum Erreichen eines Widerspruchs nehmen wir Pm

i=1αivi = 0 an, wobei nicht alle α_i= 0seien. Seik= max{i:α_i6= 0}. Beachte, dassk≥2gelten muss. Dann ist

(ϕ−λid)^k−1v_k=v₁, ebenso

(ϕ−λid)^k−1v_j= 0 fürj < k, also

0 = (ϕ−λid)^k−1(

m

X

i=1

αivi) =αkv1,

worausαk= 0 folgt. Dieser Widerspruch zeigt die lineare Unabhängigkeit dervi.

Denition 11.2.4 [Verallgemeinerte Eigenvektoren] Seiϕ∈End(V). Ein Vektor06=v∈V heiÿt verallgemeinerter Eigenvektor (oder auch Hauptvektor) vonϕzum Eigenwertλvonϕ, falls es eine natürliche Zahlmgibt mit

(ϕ−λid)^mv= 0.

Das kleinstem mit dieser Eigenschaft heiÿt die Stufe des verallgemeinerten Eigenvektorsv. Man beachte, dass Eigenvektoren verallgemeinerte Eigenvektoren der Stufe 1 sind.

Die Stufemist kleiner oder gleichdimV: Ist nämlichv ein verallgemeinerter Eigenvektor der Stufem, so ist

v1:= (ϕ−λid)^m−1v, . . . vm−1:= (ϕ−λid)v, vm:=v

eine Jordankette, also linear unabhängig und damit m≤dimV. (Man kann insbesondere zeigen, dassm≤eλgilt, wobeieλ die algebraische Vielfachheit von λist.)

Wir schreiben

V^λ(ϕ) := [

m∈N

ker(ϕ−λid)^m

für die Menge der verallgemeinerten Eigenvektoren von ϕ zum Eigenwert λ. Der Raum V^λ(ϕ) heiÿt verallgemeinerter Eigenraum vonϕzum Eigenwertλ.

Analog deniert man für eine MatrixA∈M_n(K)verallgemeinerte Eigenvektoren als verallge-meinerte Eigenvektoren der linearen AbbildungϕA:Kⁿ →Kⁿ, x7→Axund überträgt die Begrie entsprechend.

11.2. DER BEWEIS DES HAUPTSATZES 247 Lemma 11.2.5 Vertauschen ϕund ψ∈End(V) miteinander, so sind die verallgemeinerten Ei-genräume V^λ(ϕ) invariant unter ψ, d.h. aus v ∈ V^λ(ϕ) folgt ψ(v) ∈ V^λ(ϕ). Insbesondere ist V^λ(ϕ) invariant unterϕ.

Beweis. Seiv∈V^λ(ϕ). Dann existiert einm∈Nmit(ϕ−λid)^mv= 0. Daψmitϕvertauscht, vertauscht es auch mitϕ−λidund somit auch mit der Potenz(ϕ−λid)^m. Damit erhalten wir

(ϕ−λid)^m(ψ(v)) =ψ◦(ϕ−λid)^m(v) = 0, alsoψ(v)∈V^λ(ϕ).

Wir werden nun den Hauptsatz beweisen, indem wir zuerst zeigen, dass fürϕ∈End(V),K=C und dimV < ∞ der Raum V die direkte Summe der verallgemeinerten Eigenräume ist. Zuerst benötigen wir noch ein paar Fakten über formale Polynome.

Denition 11.2.6 Eine Teilmenge I ⊆ K[t] heiÿt Ideal, wenn I ein Untervektorraum ist, und zusätzlich

IK[t]⊆I und I+I⊆I gilt, d.h. fürf, g∈I undh∈K[t]sindf +g, f h∈I.

Beispiel 11.2.7 1. IstA∈Mn(K), so ist

IA:={p∈K[t] :p(A) = 0}

ein Ideal. Es ist klar, dassI_A ein Untervektorraum ist. Um einzusehen, dassI_Aein Ideal ist, seif ∈I_Aundg∈K[t]. Dann ist

(f g)(A) =f(A)g(A) = 0·g(A) = 0, alsof g∈IA.

Das Ideal I_A enthält das charakteristische Polynom P_A, und für das Minimalpolynom M_A gilt

IA=MA·K[t],

denn wir haben in Lemma 7.6.8 gesehen, dassM_Ajedes Polynom inI_Ateilt.

2. Istϕ∈End(V), so ist

Iϕ:={p∈K[t] :p(ϕ) = 0}

ein Ideal. Das sieht man genauso, wie in 1) für Matrizen.

Lemma 11.2.8 IstI⊆K[t] ein Ideal, so existiert ein Polynomf ∈I mit I=f ·K[t].

Wir schreiben auch I = (f) :=f ·K[t] für das vonf erzeugte Ideal vonK[t]. Ideale, die von einem Element erzeugt werden, heiÿen Hauptideale. Das Lemma besagt also, dass jedes Ideal von K[t]ein Hauptideal ist. Man nenntK[t]daher auch einen Hauptidealring.

Beweis. IstI={0}, so nehmen wirf := 0undI=f·K[t]gilt trivialerweise.

IstI6={0}, so ist

{n∈N0: (∃f ∈I\ {0}) deg(f) =n}

nicht leer, enthält also ein minimales Elementd. Seif ∈I mit deg(f) =d. Ist g∈I, so erhalten wir mittels Polynomdivision Polynomeq, r∈K[t]mit

g=f ·q+r, deg(r)<deg(f) =d.

Wegenf, g∈Iist auchf·q∈Iund daherr=g−f q∈I. Ausdeg(r)< dfolgt daherr= 0, also g=f q∈f·K[t]. DaI ein Ideal ist, giltf ·K[t]⊆I trivialerweise. Also istI=f·K[t].

Lemma 11.2.9 Sei V ein Vektorraum undE1, . . . , En∈End(V)Elemente mit E1+. . .+En= idV und EiEj=δijEi.

Dann istV die direkte Summe der Unterräume V_i:= im(E_i). Beweis. Zunächst erhalten wir für jedesv∈V die Relation

v= id_V(v) =

m

X

j=1

E_i(v)∈V₁+. . .+V_m, also

V =V1+. . .+Vm.

Wegen E_jE_i = 0für j6=iist V_i ⊆kerE_j und fürv ∈V_i existiert ein w∈V mit v=E_i(w), wasE_i(v) =E_i²(w) =E_i(w) =v zur Folge hat.

Seien nunv_j ∈V_j mitPv_j= 0. Dann gilt also 0 =E_i(0) =E_i(X

j

v_j) =E_i(v_i) +X

j6=i

E_i(v_j) =E_i(v_i) =v_i. Folglich ist die SummeV =V1+. . .+Vm direkt.

Satz 11.2.10 (Zerlegung in verallgemeinerte Eigenräume) SeiV ein endlichdimensionaler kom-plexer Vektorraum und ϕ ∈ End(V) mit den paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1, . . . , λm. Dann ist

V =V^λ1(ϕ)⊕ · · · ⊕V^λm(ϕ), d.h. V ist direkte Summe der verallgemeinerten Eigenräume von ϕ. Beweis. Sei zunächstf ∈C[t]das Minimalpolynom vonϕ, sowie

f = (t−λ₁)^k1(t−λ₂)^k2· · ·(t−λ_m)^km

die Zerlegung in Linearfaktoren, die nach dem Fundamentalsatz der Algebra existiert. Sei fi :=

f /(t−λi)^ki. Wir betrachten das Ideal

I= (f₁) +. . .+ (f_m)⊆C[t].

Dieses Ideal wird von einem Element g erzeugt (Lemma 11.2.8), das gemeinsamer Teiler aller Polynome fi ist. Also hat g keine Nullstelle und ist somit konstant. Also istI =g·C[t] =C[t]. Wir nden daher Polynomer₁, . . . , r_m∈C[t]mit

(∗) 1 =r1f1+. . .+rmfm.

SeiE_i:= (r_if_i)(ϕ)∈End(V). Wenden wir die Relation (*) auf den Endomorphismusϕan, so erhalten wir

E₁+. . .+E_m= id_V .

Die AbbildungenEi vertauschen mit allen linearen Abbildungen, die mitϕvertauschen, denn sie sind Polynome inϕ. Füri6=j istf ein Teiler vonrifirjfj. Wegenf(ϕ) = 0 ist daher

E_iE_j = 0.

Daraus folgtE_i²=Ei Pm j=1Ej

=Ei·idV =Ei.Lemma 11.2.9 zeigt nun, dassV direkte Summe der UnterräumeVi:= im(Ei) =Ei(V)ist:

V =V1⊕. . .⊕Vm.

11.2. DER BEWEIS DES HAUPTSATZES 249 Wir zeigen nun, dass Vi der verallgemeinerte Eigenraum zum Eigenwert λi ist. Daϕmit Ei

vertauscht, läÿtϕdie UnterräumeV_iinvariant. Damit läÿt auchf_i(ϕ)den UnterraumV_iinvariant.

Wegen

id_Vi =E_i|_Vi=r_i(ϕ)f_i(ϕ)|_Vi

ist die Einschränkung vonf_i(ϕ)auf V_i sogar invertierbar. Mitf(ϕ) = 0folgt daher (ϕ−λ_iid)^ki(V_i) = (ϕ−λ_iid)^ki f_i(ϕ)(V_i)

=f(ϕ)(V_i) ={0}, d.h.Vi⊆V^λi(ϕ).

Wir zeigen jetzt noch, dass Vi ⊇ V^λi(ϕ) ist. Sei also v ∈V^λi(ϕ), (ϕ−λiid)^k(v) = 0 sowie v=Pm

j=1vj mitvj∈Vj. Dann ist

0 = (ϕ−λ_iid)^k(v) =

m

X

j=1

(ϕ−λ_iid)^k(v_j).

Aus der Invarianz aller UnterräumeV_j unterϕfolgt(ϕ−λ_iid)^k(v_j)∈V_j, und aus der Direktheit der Zerlegung erhalten wir damit(ϕ−λ_iid)^k(v_j) = 0, insbesonderev_j ∈V^λi(ϕ).

Istvj6= 0, so existiert ein Eigenvektorv_j⁰ ∈V^λi(ϕ)∩Vj. Hierzu setze man v⁰_j= (ϕ−λiid)^l(vj),

wobeil maximal ist mit der Eigenschaft, dass dieser Vektor nicht verschwindet. Nun existiert ein d∈Nmit

(ϕ−λ_jid)^d(v_j⁰) = (λ_i−λ_j)^d·v_j⁰ = 0, alsoλ_j=λ_i, d.h.j=i. Hieraus folgtv=v_i∈V_i und damitV^λi(ϕ) =V_i. Lemma 11.2.11 SeiC= (v₁¹, . . . , v_l¹

1, v₂², . . . , v_l²

2, . . . , v^s₁, . . . , v_l^s

s)eine Familie vonsJordanketten zum Eigenwertλvonϕ, d.h

(ϕ−λid)v_j+1ⁱ =v_jⁱ für 1< j≤l_i, und (ϕ−λid)v₁ⁱ = 0.

Sind die Eigenvektorenv₁¹, . . . v₁^s linear unabhängig, so sind alle Vektoren inC linear unabhängig.

Beweis. SeiP

i,jαijv_jⁱ = 0. Wir müssen zeigen, dass alle αij verschwinden. Nehmen wir also an, dies sei nicht der Fall. Seik das Maximum der Stufenj, für die ein αij 6= 0 ist. Wenden wir (ϕ−λid)^k−1 an, so erhalten wir eine lineare Relation zwischen den Eigenvektoren

0 =X

α_ik(ϕ−λid)^k−1vⁱ_k=X α_ikvⁱ₁. Hieraus folgtαik= 0für alle i, im Widerspruch zur Wahl vonk. Lemma 11.2.12 Sei C = (v¹₁, . . . , v¹_l

1, v²₂, . . . , v²_l

2, . . . , v₁^s, . . . , v^s_l

s) eine linear abhängige Familie von Jordanketten. Dann gibt es eine Familie von JordankettenC⁰, so dassspan(C⁰) = span(C)ist undC⁰ einen Vektor weniger alsC enthält.

Beweis. Nach dem vorigen Lemma sind die Eigenvektorenv₁ⁱ linear abhängig, z.B. mit

s

X

i=1

α_iv₁ⁱ = 0.

Wir wählen aus den Jordankettenv₁ⁱ, . . . , v_lⁱ

i, für dieαi6= 0ist, eine von minimaler Länge aus und zeigen, dass diese Jordankette durch eine von kürzerer Länge ersetzt werden kann. Wir nehmen o.B.d.A. an, dass v¹₁, . . . , v_l¹

1 die erste Jordankette mit dieser Eigenschaft ist, d.h. α1 6= 0 und l1≤li, fallsαi 6= 0.

Für l1 = 1 können wir die Kette v¹₁ einfach entfernen, da ihr alleiniges Element eine Linear-kombination anderer Vektoren ist.

Fürl1≥2 denieren wir

ev_j¹=v¹_j+1+ X

α_i6=0

αi

α1

vⁱ_j+1

fürj= 1, . . . , l1−1, wobei die Summe über dieiläuft, für dieαi6= 0ist. Man beachte, dass wegen der Minimalitätsannahmev_j+1ⁱ in diesem Fall existiert.

Die Vektorenve¹₁, . . . ,ev_l¹

1−1bilden nun eine Jordankette der Längel1−1, daev0= 0ist, und eine Ersetzung der Kettev₁¹, . . . , v_l¹

1 durchev_l¹

1−1, . . . ,ev₁¹verändert nicht den aufgespannten Unterraum.

Man erhält also eine kürzere KetteC⁰, d.h. eine Kette, die weniger Vektoren enthält.

Satz 11.2.13 Für jeden Eigenwert λ von ϕ besitzt der verallgemeinerte Eigenraum V^λ(ϕ) eine Jordanbasis.

Beweis. Seiu1, . . . , ud eine Basis von V^λ(ϕ). Für jedes der ui bilden wir die zugehörige Jor-danketteui,(ϕ−λid)ui, . . . ,(ϕ−λid)^k−1ui, wobeikdie Stufe des verallgemeinerten Eigenvektors ui ist.

SeiCdie Vereinigung aller Jordanketten, die bei denu_ibegonnen haben. Beachte, dass obwohl u1, . . . , ud eine Basis von Eigenvektoren ist, C i.a. linear abhängig ist, da es mehr alsdElemente enthält. Mehrfaches Anwenden von Lemma 11.2.12 führt auf die gesuchte Jordanbasis.

Beweis des Hauptsatzes über die Jordansche Normalform: Wir haben damit die Exi-stenz einer Jordanbasis für jedes V^λi gezeigt. Da wir nach Satz 11.2.10 eine direkte Zerlegung V =V^λ1⊕ · · · ⊕V^λm haben, erhalten wir eine Jordanbasis fürV, indem wir einfach Jordanbasen für die verallgemeinerten Eigenräume kombinieren. IstB eine Jordanbasis vonV, so die Matrix [ϕ]B von ϕ bzgl.B in Jordanscher Normalform. Das folgt aus der Art, wie ϕauf Basisvektoren wirkt.

Fassen wir die entscheidenden Schritte, die auf eine Jordanbasis führen, zusammen.

1. Bestimme die Eigenwerte λi von Amit ihren algebraischen Vielfachheitenei:=eλ_i. 2. Bestimme für jeden Eigenwertλi eine Basis des verallgemeinerten EigenraumsV^λi. Dies tut man praktisch durch Lösen des homogenen Systems linearer Gleichungen

(ϕ−λid)^kv= 0

und zwar schrittweise fürk= 1, . . ., bis mane_i linear unabhängige verallgemeinerte Eigen-vektoren gefunden hat.

3. Für jeden Eigenwertλbilde die Jordanketten zu den verallgemeinerten Eigenvektoren bzgl.

der Basis von V^λ, um ein (i.a. linear abhängiges) System von JordankettenC zu erzeugen.

Verringere die Gröÿe dieses Systems durch Subtraktion von Linearkombinationen von län-geren Ketten von kürzeren Ketten analog zum Beweis von Lemma 11.2.12, bis eine Basis erhalten wird.

4. Bilde die Übergangsmatrix, indem als Spalten die verallgemeinerten Eigenvektoren in der resultierenden Jordanbasis genommen werden. Diese Spalten müssen kettenweise und in aufsteigender Ordnung der Stufe gebildet werden, d.h. jede beginnt mit dem Eigenvektor.

5. Bilde die Jordansche Normalform, indem für jede Jordankette der Längel und Eigenwertλ ein JordanblockJl,λ genommen wird. Achte darauf, dass die Ordung der Jordanblöcke zur entsprechenden Ordnung der Jordanketten passt.

11.2. DER BEWEIS DES HAUPTSATZES 251 mit algebraischer Vielfachheite= 5.

In diesem Fall giltC⁵=V^λ(A), also bildet z.B.

Die von v₁ undv₂ beginnenden Jordanketten sind also linear abhängig und wir könnenv₁, w durch

ersetzen, was einen Eigenvektor liefert.

Weiterhin ist(A−E)v3= (A−E)v4=v5, was ein Eigenvektor ist. Die Jordanketten, die von v3 undv4 beginnen, sind also linear abhängig und wir könnenv3durch

ve3=v3−1

ersetzen, was ein Eigenvektor ist.

Wir haben folgendes System von Jordanketten erhalten: ev₁, v₂→ −w,ev₃, v₄→v₅.

Die vier Eigenvektoren sind linear abhängig: −w−v₅−¹₂ev₃+¹₂ev₁ = 0, wir entfernenev₁, um ein linear unabhängiges System von Jordanketten:−w, v2, v₅, v₄,ev₃zu erhalten, d.h. die Transfor-mationsmatrix

Beachte, dass die Jordanketten in S eingesetzt werden, indem mit dem Eigenvektor begonnen wird!

Bemerkung 11.2.15 Alternativ kann mach auch, um eine Jordanbasis zu erhalten, rückwärts von den Eigenvektoren für einen Eigenwertλarbeiten. D.h. man startet mit einer Basisv₁¹, . . . , v^t₁ des EigenraumsVλ(A)zum Eigenwertλ, die man wie folgt konstruiert:

Sei(A−λE)^k = 0aber(A−λE)^k−16= 0. Dann denieren wir

Für d_m−1 < j≤dm zeigt die Konstruktion der Basis, die Existenz von Vektorenv_k+1−m^j mit (A−λE)^k−mv_k+1−m^j =v^j₁. Denieren wir nun

v_l^j:= (A−λE)^k+1−m−lv^j_k+1−m, 1≤l≤k+ 1−m, so erhalten wir Jordanketten

v_k+1−m^j , . . . , v^j₁

der Länge k+ 1−m, m = 1, . . . , k. Da die Vektoren v^j₁ linear unabhängig sind, gilt dies nach Lemma 11.2.11 auch für das System aller so konstruierten Vektoren v^j_i. In der Tat bildet dieses System sogar automatisch eine Jordanbasis vonCⁿ.

In Beispiel 11.2.14 ist die geometrische Vielfachheit 3 und damit gleich der Anzahl der Jordan-blöcke. Die Vektoren

11.2. DER BEWEIS DES HAUPTSATZES 253 sind drei linear unabhängige Eigenvektoren von A, wobei keiner von ihnen im Bild von A−λE ist, d.h. das Ende einer Jordankette der Länge>1. Allgemeiner treten solche Beispiele wie folgt auf: ist v ein Eigenvektor, so dass (A−λE)x= v keine Lösungen hat und v₁ ein Eigenvektor, der eine Jordankette der Länge>1terminiert, d.h.v₁= (A−λE)v₂, dann istv₁+vein anderer Eigenvektor, so dass(A−λE)x= (v₁+v)keine Lösung hat.

11.2.16 [Eindeutigkeit der Jordanschen Normalform] Es bleibt zu zeigen, dass die Jordansche Normalform eindeutig bis auf Permutation der Jordanblöcke ist. Das ist gleichwertig zu der Aus-sage, dass sich zwei ähnliche Jordansche Normalformen nur durch eine Permutation ihrer Blöcke unterscheiden.

Dazu bilden wir für jeden Eigenwertλdie (aufsteigende) Folge von ganzen Zahlen dim(ker(A−λE))

dim(ker(A−λE)²) dim(ker(A−λE)³) . . .

Es ist oensichtlich, dass ähnliche Matrizen dieselbe Folge erzeugen, andererseits bestimmt diese Folge die Gröÿe und Zahl der Jordanblöcke, was man am leichtesten durch ein Beispiel sieht: Es sei für eine MatrixA

dim(ker(A−λE)) = 5 =dλ, dim(ker(A−λE)²) = 9, dim(ker(A−λE)³) = 11, dim(ker(A−λE)⁴) = 12 =eλ

Ersetzen wirAdurch eine zuAähnliche Matrix, insbesondere durch eine Jordansche Normalform von A, so erhalten wir dieselbe Sequenz von Zahlen und daraus ersehen wir, dass wir in unserer Jordanbasis5Eigenvektoren,4 = 9−5verallgemeinerte Eigenvektoren der Stufe zwei,2 = 11−9 verallgemeinerte Eigenvektoren der Stufe drei und1 = 12−11verallgemeinerte Eigenvektoren der höchsten Stufe vier haben. Der einzige Weg um das zu erreichen, besteht aus einer Jordankette der Länge 4, einer der Länge 3, zwei der Länge 2 und einem einzelnen Eigenvektor.

Allgemeiner ist die Zahl der Jordanketten der Längek gleich dim(ker(A−λE)^k)−dim(ker(A−λE)^k−1).

11.2.17 [Matrixpotenzen] Ist J eine Jordansche Normalform, dann können wir J = D+N schreiben, wobeiD eine Diagonalmatrix undN eine Matrix mit verschwindender Diagonale und einigen Einsen oberhalb der Diagonale ist. Ist J ein Jordanblock, dann gilt D =λE und natür-lichDN =N D. Ist J eine Jordansche Normalform aus mehreren Blöcken, die möglicherweise zu verschiedenen Eigenwerten gehört, dann gilt ebenfalls DN =N D, wie man anhand von Block-multiplikation sehen kann.

Es gilt also

J^l= (D+N)^l=

l

X

i=0

l i

D^l−iNⁱ=D^l+lD^l−1N+. . .

Nur die ersten Terme dieser Summe sind von Null verschieden, genauer diejenigen, bei denen i kleiner als die Gröÿe des gröÿten Jordanblocks in J ist. Die Summe kann also mit vertretbarem Aufwand berechnet werden. Ist z.B.J die Jordansche Normalform aus Beispiel 11.2.14, so gilt

J^l=





















1 l 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 l 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1





















Natürlich folgt wie gewöhnlich ausS⁻¹AS=J auch A^l=SJ^lS⁻¹.

Beispiel 11.2.18 Man erinnere sich, dass sich die Lösung einer linearen Rekursion erster Ordnung f(0) =g, f(k+ 1) =Af(k)

mit f :N →Cⁿ, g ∈Cⁿ, A∈ Mn(C) zu f(n) = Aⁿg ergibt. Ist A nicht diagonalisierbar, dann können wir die Jordansche Normalform benutzen, umAⁿzu berechnen. Betrachte z.B. das folgende System einer linearen Rekursionen erster Ordnung:

a_k+1 = 3a_k+b_k

bk+1 = 3bk

c_k+1 = −b_k+ 3c_k+d_k

dk+1 = 3dk

ek+1 = −bk+ 3ek

a0=b0=c0=d0=e0= 1

Schreiben wirf(k) = (ak bk ck dk ek)^> undg= (1 1 1 1 1)^>, so folgt f(k+ 1) = (A+ 2E)f(k), f(0) =g

wobeiAdie Matrix aus Beispiel 11.2.14 ist. WegenS⁻¹AS =Jgilt auchS⁻¹(A+ 2E)S=J+ 2E, woraus wir die Jordansche Normalform vonA+ 2E ohne weitere Berechnung erhalten.

Aus dem Obigen erkennen wir

(J+ 2E)^k=





















3^k k3^k−1 0 0 0

0 3^k 0 0 0

0 0 3^k k3^k−1 0

0 0 0 3^k 0

0 0 0 0 3^k



















 ,

woraus wir folgende Lösung in geschlossener Form erhalten:

f(k) =S(J+ 2E)^kS⁻¹g oder

a(k) =e(k) = 3^k−1k+ 3^k b(k) =c(k) =d(k) = 3^k ,

Damit können wir Matrixpotenzen benutzen, um eine geschlossene Form für e^A = P∞ k=0

A^k k! zu erhalten und damit Systeme linearer Dierenzialgleichungen lösen. Sie werden darüber mehr in späteren Vorlesungen erfahren.

Im Dokument Lineare Algebra II (Seite 87-96)