Combinatoric Lemmas

Lemma A.4.

k

X

l=0 k−l

X

m=0

(1 +k−l−m)clcmck−l−m = 1 3

k

X

l=0 k−l

X

m=0

(k+ 3)clcmck−l−m.

Proof. Let the lhs be V. Replacingk−l−m→u by settingm=k−l−u and finally u→mproduces

V =

k

X

l=0 k−l

X

m=0

(1 +m)c_lcmck−l−m.

Now l → u and Pk u=0

Pk−u

m=0 → Pk m=0

Pk−m

u=0 and then renaming m → l and u → m this is

V =

k

X

l=0 k−l

X

m=0

(1 +l)c_mc_lck−m−l. This gives three different forms ofV. On the other hand

V =

k

X

l=0 k−l

X

m=0

(1 +k−l−m)c_lcmck−l−m

=

k

X

l=0 k−l

X

m=0

(3 +k−(1 +l)−(1 +m))c_lcmck−l−m =

k

X

l=0 k−l

X

m=0

(k+ 3)c_lcmck−l−m−2V and hence

3V =

k

X

l=0 k−l

X

m=0

(k+ 3)clcmck−l−m.

Lemma A.5.

If D(t) =P∞

n=0dntⁿ and C(t) =P∞

n=1cntⁿ and one sets cn= xn

n!, n≥1 d_n=

n

X

l=0

(s+l)!

n!s! B_n,l(x₁, x₂, x₃, . . .), n≥0 then

D(t) =

1 1−C(t)

s+1

.

Proof. By eq. (1.17) D(t) =

∞

X

n=0 n

X

l=0

tⁿ(s+l)!

s!n! B_n,l(x1, x2, . . .) =

∞

X

l=0

(s+l)!

s!

∞

X

n=l

tⁿ

n!B_n,l(x1, x2, . . .)

=

∞

X

l=0

(s+l)!

s!l!





∞

X

j=1

xj

t^j j!





l

. The parenthesis is

∞

X

j=1

xj

j!t^j =

∞

X

j=1

cjt^j =C(t),

so

D(t) =

∞

X

i=0

(s+i)!

s!i! Cⁱ(t)

=

∞

X

i=0

s+i s

Cⁱ(t).

Binomial coefficients (with integer upper entry) fulfill n

i

= (−1)ⁱ

−n+i−1 i

, this allows to use the binomial series,

D(t) =

∞

X

i=0

−(s+i) +i−1 i

(−1)ⁱCⁱ(t)

=

∞

X

i=0

−(s+ 1) i

(−C)ⁱ(t)

=

1 1−C(t)

s+1

.

Several identities follow from lemma A.5. To avoid unreadable notation with the sum as series coefficientdn, retreat first to the generic case. Assume C(t) andD(t) are functions fulfilling the following conditions:

C(t) =

∞

X

n=1

cntⁿ, c0 =−1 D(t) =

∞

X

n=0

d_ntⁿ (A.6)

and D(t) =

1 1−C(t)

s+1

. Lemma A.6.

Under the conditionseq. (A.6)eithers= 2 or

n

X

k=3 k−3

X

l=0 k−3−l

X

m=0

kc_lc_mck−3−l−mdn−k= 0. (A.7)

Proof. This proof follows a technique used in [Cvi13]. The derivative ofD(t) fulfills D⁰(t)(1−C(t)) = (s+ 1)D(t)C⁰(t). (A.8)

Multiplying by (1−C(t))² yields

D⁰(t)(1−C(t))³= (s+ 1)D(t)C⁰(t)(1−C(t))². (A.9) The series expansion of the left hand side is

(1−C(t))³ =−

∞

X

s=0 s

X

l=0 s−l

X

m=0

c_lcjcs−l−mt^s.

−D⁰(t)(1−C(t))³ =

∞

X

u=0 u

X

k=0 k

X

l=0 k−l

X

m=0

(u+ 1−k)c_lcmck−l−mdu+1−kt^u.

− tⁿ⁻⁴

D⁰(t)(1−C(t))³ =

n−4

X

k=0 k

X

l=0 k−l

X

m=0

(n−3−k)c_lc_mck−l−mdn−3−k

Here,k=n−3 can be included since (n−3−k) is zero in this case, hence

− tⁿ⁻⁴

D⁰(t)(1−C(t))³=

n−3

X

k=0 k

X

l=0 k−l

X

m=0

(n−3−k)c_lc_mck−l−mdn−3−k. The right hand side ofeq. (A.9)is

(1−C(t))²C⁰(t) =

∞

X

u=0 u

X

v=0 v

X

i=0

(u−v+ 1)cicv−icu−v+1t^u

D(t)(1−C(t))²C⁰(t) =

∞

X

u=0 u

X

k=0 k

X

l=0 k−l

X

m=0

(k−m−l+ 1)clcmck−m−l+1du−kt^u. The ordertⁿ⁻⁴ of this term hence is

tⁿ⁻⁴

D(t)(1−C(t))²C⁰(t) =

n−3

X

k=1 k−1

X

l=0 k−1−l

X

m=0

(k−l−m)clcmck−l−mdn−3−k. It is possible to includem=k−land alsol=kinto the summation since in both cases the prefactor (k−l−m) vanishes. Even k= 0 can be included,

tⁿ⁻⁴

D(t)(1−C(t))²C⁰(t) =

n−3

X

k=0 k

X

l=0 k−l

X

m=0

(k−l−m)c_lc_mck−l−mdn−3−k. eq. (A.9)now implies

0 =− tⁿ⁻⁴

D⁰(t)(1−C(t))³+ (s+ 1) tⁿ⁻⁴

D(t)(1−C(t))²C⁰(t)

=

n−3

X

k=0 k

X

l=0 k−l

X

m=0

(s+ 1)(1 +k−l−m)clcmck−l−mdn−3−k

−

n−3

X

k=0 k

X

l=0 k−l

X

m=0

(k+ 3)c_lcmck−l−mdn−3−k.

By lemma A.4both sums are the same up to a prefactor, 0 =

1

3(s+ 1)−1 ⁿ⁻³

X

k=0 k

X

l=0 k−l

X

m=0

(k+ 3)c_lc_mck−l−mdn−3−k. Then if s6= 2

n−3

X

k=0 k

X

l=0 k−l

X

m=0

(k+ 3)c_lcmck−l−mdn−3−k= 0, this iseq. (A.6)with shifted summation indices.

Lemma A.7.

n−r+1

X

w=2

(w−1)x_w w!

Bn−w,r−1(x₁, x₂, , . . .)

(n−w)! = (n−r)B_n,r(x₁, . . .) n!

Proof. By [KY17], Lemma 2.4 (which is a modified form of [Cvi13]) it is

n

X

s=0

x_s s!

Bn−s,r−1(x₁, . . .)

(n−s)! =rB_n,r(x₁, . . .) n!

n

X

s=0

sx_s s!

Bn−s,r−1(x₁, . . .)

(n−s)! = B_n,r(x₁, . . .) (n−1)! .

However, it seems in the first equation the sum better start at s = 1 to be valid.

Namely, seeeq. (1.15),B_0,k = 0 ∀k >0, this is implied in [Cvi13] equation 1.4 but lost in [KY17] when they substitute Bn,1(. . .) = xn. The problem does not occur in the second equation sinces= 0 makes the summand vanish anyway. The correct form thus is

n

X

s=1

x_s s!

Bn−s,r−1(x₁, . . .)

(n−s)! =rB_n,r(x₁, . . .)

n! .

Combining both above sums directly yields

n

X

s=1

(s−1)x_s s!

Bn−s,r−1(x1, . . .)

(n−s)! = Bn,r(x1, . . .) (n−1)!

1− r n

.

Now By,r−1(. . .) = 0 if y < r−1. Thus, all summands vanish where n−s < r−1 or s > n−r+ 1. What remains is the first summand s= 1 but this one equals zero due to the prefactor (s−1).

In lemma A.6, the coefficients c_lcmck−3−l−m in the summands turned out to be the explicit form of the third power of (1−C(t)). Using results on coefficients of powers of generating functions the above lemma can indeed be generalized to arbitrary powers.

Lemma A.8.

If eq. (A.6)holds withs=n−1 then either n=r or

n

X

k=r

1

(k−1)!B_k,r(1!c₀,2!c₁,3!c₂, . . .)dn−k= 0.

Proof. Use

D⁰(t)(1−C(t)) = (s+ 1)D(t)C⁰(t) and multiply by (1−C(t))^r−1:

D⁰(t)(1−C(t))^r= (s+ 1)D(t)C⁰(t)(1−C(t))^r−1

0⁰ =D⁰(t)(C(t)−1)^r+ (s+ 1)D(t)C⁰(t)(C(t)−1)^r−1. (A.10) Now define

f(t) =t(C(t)−1) =

∞

X

n=1

cn−1tⁿ g(t) =t^r =

∞

X

n=0

δnrtⁿ then, by Fa`a di Bruno‘s formulaeq. (1.19)

g(f(x)) =

∞

X

n=1

1

n!r!B_n,r(1!c₀,2!c₁,3!c₂, . . .)xⁿ, so

[t^n−r](C(t)−1)^r) = [tⁿ]

(t(C(t)−1))^r

= 1

n!r!B_n,r(1!c₀,2!c₁,3!c₂, . . .) Since

C⁰(t) =

∞

X

n=0

(n+ 1)c_n+1tⁿ D⁰(t) =

∞

X

n=0

(n+ 1)dn+1tⁿ it is

[t^n−1−r]

D⁰(t)(C(t)−1)^r

=

n−1−r

X

v=0

[t^v](C(t)−1)^r[t^{n−1−r−v}]D⁰(t)

=

n−1

X

k=r

[t^k−r](C(t)−1)^r[t^n−1−k]D⁰(t)

=

n−1

X

k=r

1

k!r!(n−k)B_k,r(1!c0,2!c1,3!c2, . . .)dn−k.

The summandk=ncan be included since (n−k) vanishes then.

[t^n−1−r]

D⁰(t)(1−C(t))^r

=

n

X

k=r

1

k!r!(n−k)Bk,r(1!c0,2!c1,3!c2, . . .)dn−k. (A.11) On the other hand

t^r−1(C(t)−1)^r−1= 1 +

∞

X

n=1

1

n!(r−1)!Bn,r−1(1!c₀,2!c₁,3!c₂, . . .)tⁿ and thus

[t^n−r+1]

(C(t)−1)^r−1

= [tⁿ]

t^r−1(C(t)−1)^r−1

= 1

n!(r−1)!Bn,r−1(1!c0,2!c1,3!c2, . . .).

[t^k−r−1]

C⁰(t)(1−C(t))^r−1

=

k−r−1

X

v=0

[t^{k−r−1−v}](1−C(t))^r−1[t^v]C⁰(t)

=

k−r+1

X

w=2

[t^k−w−r+1]

(1−C(t))^r−1

[t^w−2]C⁰(t)

=

k−r+1

X

w=2

1

(k−w)!(r−1)!Bk−w,r−1(1!c0,2!c1, . . .)(w−1)cw−1. Now introducek!ck−1 =x_k, then

[t^k−r−1]

C⁰(t)(1−C(t))^r−1

= (r−1)!

k−r+1

X

w=2

(w−1)xw

w!

Bk−w,r−1(x₁, x₂, x₃, . . .)

(k−w)! .

This is lemma A.7, [t^k−r−1]

C⁰(t)(1−C(t))^r−1

= (r−1)!(k−r)Bk,r(x1, . . .)

k! .

Finally,

[t^n−1−r]

D(t)C⁰(t)(1−C(t))^r−1

=

n−1−r

X

v=0

[t^v]

C⁰(t)(1−C(t))^r−1

[t^{n−1−r−v}]D(t)

=

n

X

k=1+r

[t^k−r−1]

C⁰(t)(1−C(t))^r−1

[t^n−k]D(t)

=

n

X

k=r+1

(r−1)!(k−r)B_k,r(x₁, . . .) k! dn−k

The summandk=r vanishes and can be included without changing the sum, [t^n−1−r]

D(t)C⁰(t)(1−C(t))^r−1

=

n

X

k=r

(r−1)!(k−r)Bk,r(x1, . . .)

k! dn−k (A.12) Noweq. (A.10) implies

0 = [t^n−1−r]

D⁰(t)(1−C(t))^r

+ (s+ 1)[t^n−1−r]

D(t)C⁰(t)(1−C(t))^r−1 Insertingeqs. (A.11) and (A.12)turns this into

0 =

n

X

k=r

(r!(n−k) + (s+ 1)(r−1)!(k−r))1

k!B_k,r(1!c0,2!c1,3!c2, . . .)dn−k. Divide by (r−1)! and sets=n−1 as requested in the conditions,

0 =

n

X

k=r

(r(n−k) +n(k−r))1

k!B_k,r(1!c0,2!c1,3!c2, . . .)dn−k

= (n−r)

n

X

k=r

1

(k−1)!B_k,r(1!c₀,2!c₁,3!c₂, . . .)dn−k.

Lemma A.9.

Under the conditions eq. (A.6),

n

X

i=0 i

X

j=0

2(s+ 1)(i−j)j+ (n−i)i

dn−ici−jc_j = 0

n

X

i=0 i

X

j=0

2(n−i) + (s+ 1)i

dn−ici−jcj = 0

n

X

i=0 i

X

j=0

(s+ 1)(i−j)j(i−2) + (n−i)(j(j−1) + (i−j)(i−j−1))

dn−1ci−jc_j = 0

n

X

i=0 i

X

j=0

(s+ 1)i(i−1) + (n−i)i−(s+ 1)(j(j−1) + (i−j)(i−j−1))

dn−ici−jcj = 0

Proof. This is [KY17, lemma 2.6]. The proof works along the same lines as the one of lemma A.6.

Lemma A.10.

If x0 =−1 andn6= 3 then

n

X

k=3 k−3

X

l=0 k−3−l

X

m=0

k (n−k)!

x_lx_mxk−3−l−m

l!m!(k−3−r−m)!

n−k

X

j=0

(n−1 +j)!Bn−k,j(x₁, x₂, . . .) = 0.

Proof. By lemma A.5the choice d_n=

n

X

l=0

(s+l)!

n!s! B_n,l(x₁, x₂, . . .), n≥0

⇒dn−k = 1 (n−k)!s!

n−k

X

j=0

(s+j)!Bn−k,j(x₁, x₂, . . .), n≥k cn= xn

n!, n≥1, c0 =x0 =−1 fulfills eq. (A.6). Hence,lemma A.6can be applied,

1 s!

n

X

k=3 k−3

X

l=0 k−3−l

X

m=0

x_lx_mxk−3−l−m

l!m!(k−3−l−m)!

k (n−k)!

n−k

X

j=0

(s+j)!Bn−k,j(x₁, x₂, . . .) = 0.

Settings→n−1 gives the statement, the requirements6= 2 fromlemma A.6 becomes n6= 3.

Lemma A.11.

With

γ_n=

n

X

l=0

(s+l)!Bn−i,l(x₁, x₂, . . .) it is

n

X

i=0 i

X

j=0

2(s+ 1)(i−j)j+ (n−i)i (n−i)!

xi−jxj

(i−j)!j!γn= 0

n

X

i=0 i

X

j=0

2(n−i) + (s+ 1)i (n−i)!

xi−jx_j

(i−j)!j!γ_n= 0

n

X

i=0 i

X

j=0

(s+ 1)(i−j)j(i−2) + (n−i)(j(j−1) + (i−j)(i−j−1)) (n−i)!

xi−jxj

(i−j)!j!γn= 0

n

X

i=0 i

X

j=0

(s+ 1)i(i−1) + (n−i)i−(s+ 1)(j(j−1) + (i−j)(i−j−1)) (n−i)!

xi−jx_j

(i−j)!j!γ_n= 0.

Proof. This is [KY17, lemma 2.8] and a direct consequence oflemma A.9usinglemma A.5.

Lemma A.12.

Ifx0 =−1 andn6=sthen

n

X

k=s

1

(k−1)!B_k,s(1x₀,2x₁,3x₂, . . .)

n−k

X

j=0

(n−1 +j)!

(n−k)! Bn−k,j(x₁, x₂, . . .) = 0

Proof. Similar to the proof oflemma A.10, define

dn−k= 1

(n−k)!(n−1)!

n−k

X

j=0

(n−1 +j)!Bn−k,j(x₁, x₂, . . .), n≥k cn= xn

n!, n≥1, c0 =x0 =−1

to fulfilleq. (A.6)withs=n−1 bylemma A.5and obtain for the above sum

n

X

k=s

1

(k−1)!B_k,s(1·0!c₀,2·1!c₁,3·2!c₂, . . .)(n−1)!dn−k

= (n−1)!

n

X

k=s

1

(k−1)!B_k,s(1!c₀,2!c₁,3!c₂, . . .)dn−k. This vanishes bylemma A.8ifn6=r.

Lemma A.13.

With the Catalan numbers Cm = _m!(m+1)!^(2m)! from eq. (1.5), Bn,k(1!C1,2!C2,3!C3, . . .) = (2n)!(n−1)!

(k−1)!(n+k)!(n−k)!

Proof. The generating function of the Bell polynomialseq. (1.17)in this case is

∞

X

n=0 n

X

k=0

Bn,k(1!C1,2!C2,3!C3, . . .)tⁿ

n!u^k= exp



u

∞

X

j=1

j!Cj

t^j j!





= exp



u

∞

X

j=1

Cjt^j





= exp



u





∞

X

j=0

C_jt^j−C₀t⁰









= exp(u(C(t)−1))

=

∞

X

k=0

1

k!(u(C(t)−1))^k where

C(t) =

∞

X

j=0

C_jt^j

is the generating function of the Catalan numberseq. (1.6). Changing summation order on the lhs, this reduces to an equation for the summands,

B_n,k(1!C₁,2!C₂,3!C₃, . . .) = n!

k−1)^k.

On therhs, apply the functional equation eq. (1.9)to obtain B_n,k(1!C₁,2!C₂,3!C₃, . . .) = n!

k![tⁿ] tC²(t)k

= n!

k![t^n−k]C^2k(t).

Now applylemma 1.1withq = 2, b= 2k, h

t^n−ki

C^2k(t) = 2k 2m+ 2k

2m+ 2k m

_m=n−k

, hence

Bn,k(1!C1,2!C2,3!C3, . . .) = n!

k!

k n

2n n−k

.

Lemma A.14.

Form∈N, with Fuss-Catalan numbersc_j =A_j(m+1,1) fromdefinition 2and ifn > m is a multiple ofm then

B_n,k

m−1 times

z }| { 0,0, . . . ,0, m!c1,

m−1 times

z }| {

0, . . . ,0,(2m)!c2,0, . . .

=m(n−1)!

(k−1)!

n

m(m+ 1)

n m −k

. Ifn=m then

B_n,k(0, . . . ,0, m!c1,0, . . . ,0,(2m)!c2,0, . . .) =m!δ_k1, for all othern

B_n,k(0, . . . ,0, m!c₁,0, . . . ,0,(2m)!c₂,0, . . .) = 0.

Proof. Note lemma A.13 is the special case of this lemma for m = 1 and the proof therefore works similarly.

∞

X

k=0

∞

X

n=k

B_n,k(0, . . . ,0, m!c1,0, . . . ,0,(2m)!c2,0, . . .)tⁿ n!u^k

= exp



u X

j∈N·m

j!c^j

m

t^j j!



= exp



u

∞

X

j=1

c_jt^mj





= exp



u





∞

X

j=0

cj(t^m)^j−1









= exp(u(Cm+1,1(t^m)−1))

=

∞

X

k=0

1

k!u^k(Cm+1,1(t^m)−1)^k

Here, Cm+1,1 is the generating function of the Fuss-Catalan numbers from eq. (1.6).

The equation holds for each summand,

∞

X

n=k

B_n,k(0, . . . ,0, m!c1,0, . . . ,0,(2m)!c2,0, . . .)tⁿ n!

= 1

k!(C_m+1,1(t^m)−1)^k Byeq. (1.7)

Cm+1,1(t)−1 =t·C_m+1,1^m+1 (t) and therefore

B_n,k(0, . . . ,0, m!c1,0, . . . ,0,(2m)!c2,0, . . .)

= n!

k−1)^k

= n!

k![tⁿ]

t^mC_m+1,1^m+1 (t^m)k

= n!

k!

h t^n−mk

i

C_m+1,1^k(m+1)(t^m).

The series coefficient follows fromlemma 1.1withq =m+ 1, b=k(m+ 1), B_n,k(0, . . . ,0, m!c1,0, . . . ,0,(2m)!c2,0, . . .)

= n!

k!

h t^n−mk

iX^∞

s=0

(t^m)^s k(m+ 1) s(m+ 1) +k(m+ 1)

s(m+ 1) +k(m+ 1) s

. (A.13) The result is zero unlessn−mk=msfor some s∈N. Since alsok∈N, this impliesn has to be a multiple ofm. Assume alson >1m. Under this conditions= _mⁿ −kand

B_n,k(0, . . . ,0, m!c1,0, . . . ,0,(2m)!c2,0, . . .)

= n!

k!

k(m+ 1)

n m −k

(m+ 1) +k(m+ 1) _n

m −k

(m+ 1) +k(m+ 1)

n m −k

If on the other hand n = 1m then s = 1−k, but in the sum eq. (A.13) still s ≥ 0, therefore onlyk= 1 gives a non-vanishing result,

Bm,1(0, . . . ,0, m!c1,0, . . . ,0,(2m)!c2,0, . . .) =m!(t^m)⁰m+ 1 m+ 1

m+ 1 0

=m!.

This can also be seen immediately fromeq. (1.15).

Lemma A.15.

b_n+1 =

n

X

k=0

(n+k)!

n! B_n,k(−1!a₁,−2!a₂, . . .)

⇔Bm,m−n(b1, b2, . . .) =

n

X

k=0

(m−1 +k)!

(m−1−n)!n!B_n,k(−1!a1,−2!a2, . . .) m > n6= 0.

Proof. This is [KY17], Lemma 3.2. The proof is given there.

B Umgangssprachliche Erl¨ auterung der Arbeit

Diese Masterarbeit ist stellenweise etwas technisch und f¨ur Laien schwer verst¨andlich.

Deshalb folgt hier eine umgangssprachliche Erl¨auterung der Problemstellung und der zentralen Ergebnisse f¨ur Nichtphysiker anhand einer Analogie.

Aus der Alltagserfahrung weiß man, dass es keine Wechselwirkung von Licht mit sich selbst gibt: Die Strahlen mehrerer Laserpointer prallen nicht aneinander ab, sondern durchdringen sich und sind danach unver¨andert. Wenn man mehrere gleichartige Lam-pen nacheinander anschaltet, wird der Raum im gleichen Maße heller. Mathematisch w¨urde man sagen, Licht verh¨alt sich wie einfreies Feld. Dabei lassen wir außen vor, dass es nat¨urlich Wechselwirkung zwischen Licht und Materie gibt, schließlich durchdringt der Laserpointer keine W¨ande, und konzentrieren uns nur auf den Aspekt von Licht mit Licht.

Angenommen, wir wollen durch ein Experiment ¨uberpr¨ufen, ob Licht ein freies Feld ist. Ein m¨oglicher Aufbau w¨are ein Lichtsensor, auf den wir nach und nach mit meh-reren gleichen Lampen leuchten. Wir werden feststellen, dass die Lichtintensit¨at mit jeder neuen Lampe um einen festen Wert zunimmt. Daraus schließen wir, dass Licht tats¨achlich ein freies Feld ist.

Es k¨onnte aber sein, dass unser Lichtsensor minderwertig und seine Skala nicht gleichm¨aßig unterteilt ist. Dann w¨urde bei zwei Lampen zwar nach wie vor doppelt so viel Licht einfallen wie bei einer, aber der Sensor w¨urde nicht den doppelten Mess-wert anzeigen. Wenn wir so einen Sensor verwenden, dann kommen wir zu dem falschen Schluss, dass das Licht der beiden Lampen sich offensichtlich gegenseitig beeinflusst und dass Licht folglich kein freies Feld ist.

Aus diesem Gedankenexperiment ist ersichtlich, dass die Verwendung einer

” krum-men“ Skala im Allgemeinen dazu f¨uhrt, dass ein damit gemessenes Feld so erscheint, als habe es eine Wechselwirkung mit sich selbst. Man spricht vereinfacht von einem wechselwirkenden Feld. Andersherum ist auch plausibel, dass man f¨ur ein tats¨achlich wechselwirkendes Feld eine Skala finden kann, auf der es wie ein freies Feld erscheint.

Diese Masterarbeit behandelt das analoge Ph¨anomen auf Basis der Quantenfeldtheo-rie. Messungen in der Quantentheorie sind stets konzeptionell schwierig, wir betrachten daher nicht den Fall, dass ein Feld gemessen wird, sondern wir konzentrieren uns dar-auf, wie sich die Rechnungen selbst ver¨andern, wenn man ein Feld durch eine”krumme“

Funktion dieses Feldes ersetzt. Unser Feld heißt φ (Phi) und ist ein Skalarfeld, das ist

¨ahnlich wie Licht, aber mathematisch einfacher zu behandeln, weil es nur eine m¨ogliche Polarisationsrichtung hat (Licht hat zwei). In der Natur gibt es kein Skalarfeld in der genauen Form, wie wir es hier benutzen. Lediglich das Higgs-Boson ist ein Skalarfeld, es hat aber noch zus¨atzlich Wechselwirkungen mit den restlichen Feldern in der Natur.

Unser Feld φ hingegen wird isoliert betrachtet, wir nehmen an, dass es mit keinem anderen Feld wechselwirkt.

Die”krumme“ Funktion des Feldes heißtDiffeomorphismus, das ist eine Transforma-tionφ→ρ, die jedem Wert vonφeinen Wert vonρ(Rho) zuordnet. Das bedeutet,ρist ebenfalls ein Quantenfeld, das auf eine bestimmte Weise vom Originalfeldφ abh¨angt.

Die genaue Form dieser Abh¨angigkeit ist durch die Parametera1, a2, a3, . . .des Diffeo-morphismus gegeben.

In dieser Masterarbeit untersuchen wir, welche Eigenschaften das Feld ρ hat. Im Kapitel 2 nehmen wir an, dass φ ein freies Feld ist. Wie erwartet stellt sich heraus, dass das Feldρ nicht mehr als freies Feld erkennbar ist. Mathematisch ¨außert sich das dadurch, dass es nun Wechselwirkungsvertices (Gleichung 2.15) gibt. Allerdings sind diese Vertices zun¨achst nur eine mathematische Konstruktion. Was man - wenn es das Feldρ in der Natur g¨abe - in einem Experiment beobachten w¨urde, sind bestimmte n-Punkt Funktionen (n¨amlich die, f¨ur die die beteiligten Impulseonshell sind). Mit einer relativ komplizierten Rechnung kann man beweisen, dass die Vertices des Feldesρ sich immer derartig gegeneinander aufheben, dass die n-Punkt-Funktionen gleich sind wie f¨ur das zu Grunde liegende Feld φ, das ist Theorem 2.2. Dieses Ergebnis war in der Literatur schon vorher bekannt. Es bedeutet, wenn man m¨ochte, kann man mit einem transformierten Feldρanstelle vonφrechnen; man wird dennoch dieselben Vorhersagen f¨ur physikalisch messbare Werte erhalten, lediglich die Zwischenschritte der Rechnung unterscheiden sich.

Die folgenden beiden Kapitel 3 und 4 behandeln den Fall, dass das Feld φ selbst schon eine Wechselwirkung hat. Kapitel3konzentriert sich auf die einfachste m¨ogliche Form einer Wechselwirkung, Kapitel4verallgemeinert diese Behandlung auf eine große Klasse m¨oglicher Wechselwirkungen. Wir k¨onnen zeigen (Theoreme3.1 und 4.3), dass sich auch in diesem Fall die messbaren n-Punkt-Funktionen nicht ¨andern, wenn man einen Diffeomorphismus anwendet und das Feldρ anstelle vonφ betrachtet.

Als naheliegende

”Anwendung“ dieser Wahlfreiheit widmen wir uns dem eingangs angedeuteten umgekehrten Problem: Wenn das Feld φ selbst schon eine Wechselwir-kung hat, gibt es dann einen Diffeomorphisms, sodass das transformierte Feld ρ wie ein freies Feld erscheint? Da wir wissen, dass die onshell n-Punkt-Funktionen sich bei Diffeomorphismen nicht ¨andern, betrachten wir eine 2-Punkt-Funktion, deren Impulse nicht onshell sind. In Theorem 4.2 zeigen wir, welchen Diffeomorphismus man w¨ahlen muss, damit diese Funktion genauso ist wie die entsprechende Funktion eines freien Skalarfeldes. Das so definierte Feldρ nennen wiradiabatischen Diffeomorphismus.

Im letzten Kapitel,5, untersuchen wir die Eigenschaften des adiabatischen Diffeomor-phismusρ. Insbesondere istρkein insgesamt freies Feld, sondern seine 2-Punkt-Funktion entspricht der eines freien Feldes nur f¨ur einen ganz bestimmten Impulsp.

Die Ergebnisse dieser Masterarbeit haben keinerlei technische Anwendung, schon al-leine deshalb, weil das Feldφin der Natur nicht existiert. Allerdings gibt es zwei große Probleme in der heutigen Quantenfeldtheorie, die formal ¨ahnlich zu den rechnerischen Effekten sind, die auftreten, wenn manφdurch einen Diffeomorphismusρ ersetzt. Das erste ist eine konzeptionelle Schwierigkeit bei der Definition desWechselwirkungsbildes in der Quantenfeldtheorie, siehe Abschnitt1.5.1. Man nimmt dort an, dass auf eine be-stimmte Weise wechselwirkende Felder mit freien Feldern zusammenh¨angen, allerdings steht diese Annahme im Widerspruch zu Haag’s Theorem (1.2). Da auch die in dieser

Arbeit behandelten Diffeomorphismen einen Zusammenhang zwischen zwei (scheinbar verschiedenen) Feldern vermitteln, besteht die Hoffnung, dass man mit Hilfe von Diffeo-morphismen die Annahmen des Wechselwirkungsbildes mathematisch widerspruchsfrei formulieren k¨onnte.

Das zweite Problem ist die bis heute unverstandene Theorie der Quantengravitation.

Sie leidet stark vereinfacht unter der Tatsache, dass sie unendlich viele Wechselwir-kungsvertices enth¨alt, aber das trifft auch auf Diffeomorphismen ρ zu. Andererseits wissen wir, dass Diffeomorphismen die physikalisch messbaren Gr¨oßen nicht ver¨andern, das heißt, im Prinzip stellt auch ein Diffeomorphismus ρ eine sinnvolle Theorie dar, wenn die zu Grunde liegende Theorieφsinnvoll war. Daher sind Diffeomorphismen ein Beispiel eines Quantenfeldes, das zwar unendlich viele Wechselwirkungsvertices enth¨alt, aber trotzdem physikalischen Sinn haben kann. Man k¨onnte pr¨ufen, ob ein ¨ahnlicher Fall auch in der Quantengravitation vorliegt, ob es also eine zugrunde liegende Theorie gibt, die mathematisch weniger problematisch ist.

Beide Probleme liegen weit jenseits dessen, was in der vorliegenden Arbeit ¨uber Diffeo-morphismen gesagt wird, und erfordern die Kl¨arung zahlreicher weiterer Fragen. Es ist dabei durchaus unsicher, ob letztendlich auch nur eines der beiden Probleme ¨uberhaupt mit Hilfe von Diffeomorphismen gel¨ost werden kann. Aber die bloße Tatsache, dass diese Probleme zumindest zu ¨ahnlichen Fragestellungen f¨uhren, wie sie auch bei Diffeomor-phismen auftreten, dient als Motivation daf¨ur, sich mit letzteren zu besch¨aftigen.

C Danksagung

Zwei verschiedene Dinge verdanke ich Dirk Kreimer: Erstens das Thema der Master-arbeit, das f¨ur mich im Laufe der Bearbeitung immer interessanter wurde und auch noch f¨ur sp¨ater einige Forschungsfragen aufwirft. ¨Uber das letzte Jahr hinweg hat er bereitwillig meine Arbeitsweise akzeptiert - dass ich wochenlang irgendetwas mache, ohne zwischendurch zu berichten, was eigentlich. Und zweitens drei Vorlesungen ¨uber fortgeschrittene Quantenfeldtheorie, die mir ¨uberhaupt gezeigt haben, dass es lohnend ist, sich

”heute noch“ mit der QFT zu besch¨aftigen, wo selbst B¨ackereiverk¨aufer von Stringtheorie reden, wenn sie mitbekommen, dass man Physiker ist.

Dann danke ich meinen Eltern, die ohne Beschwerde hinnehmen, dass ich volle sie-ben Jahre lang studiere, mich die ganze Zeit unterst¨utzen und schließlich auch diese Masterarbeit Korrektur gelesen haben.

Auch Daniel hat Korrektur gelesen und mich konsequent auf unpr¨azise Formulierun-gen, ¨uberfl¨ussige Halbs¨atze und fehlende Zitationen hingewiesen und darauf bestanden, dass ich wenigstens einmal einen konkreten experimentellen Zahlenwert zitiere. Das habe ich nur widerstrebend getan, denn

”wenn im mathematischen Verfahren das Un-bekannte zum UnUn-bekannten einer Gleichung wird, ist es damit zum AltUn-bekannten ge-stempelt, ehe noch ein Wert eingesetzt ist. Natur ist, vor und nach der Quantentheorie, das mathematisch zu Erfassende“ [HA88].

Zu guter Letzt verdanke ich Cordula zahlreiche Empfehlungen zu Layout und Ge-staltung, die dazu beigetragen haben, dass der Leser sich nur noch mit inhaltlichen Schwierigkeiten herumschlagen muss, aber nicht mehr mit der Struktur des Textes.

Im Dokument The propagator and diffeomorphisms of an interacting field theory (Seite 112-130)