c) Die Bedingung von Lopatinskii-Shapiro

Sei Ω ⊂ Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit C^2m−1,1-Rand. Wir betrachten nun ein Randwertproblem der Form

(A(x, D)−λ)u=f in Ω,

Bj(x, D)u=gj (j = 1, . . . , m) auf ∂Ω. (7-3) Hierbei sind A(x, D) = P

|α|≤2ma_α(x)D^α, B_j(x, D) = P

|β|≤mjb_jβ(x)γ₀D^β (j = 1, . . . , m) mit m_j < 2m. Die Bezeichnung γ₀ steht hier f¨ur die sogenannte Spurab-bildung u 7→ u|_∂Ω, welche zun¨achst f¨ur C^∞-Funktionen definiert ist, sich aber zu einem stetigen linearen Operator

γ₀:W_p^k(Ω)→W_p^k−1/p(∂Ω) :=B_pp^k−1/p(∂Ω)

f¨ur k = 1, . . . ,2m fortsetzen l¨asst. Dabei steht Bpp^k−1/p(∂Ω) f¨ur den Besovraum der Ordnungk−1/pauf dem Rand∂Ω. Die rechten Seiten von (7-3) sind gegeben und aus den folgenden Sobolevr¨aumen:

f ∈L^p(Ω), g_j ∈W_p^{2m−mj−1/p}(∂Ω) (j = 1, . . . , m).

Zur L¨osung von (7-3) wird folgende Strategie verwendet:

(i) Reduktion auf den Fall f = 0: Falls A parameterelliptisch in einem Sektor L ⊂Cist, so existiert nach Satz 7.22 f¨ur λ∈L, |λ| groß, eine L¨osungu₁ von

(A(x, D)−λ)u1 =fe in Rⁿ,

7. Parameterelliptische Randwertprobleme 85 wobei

fe:=

(f in Ω, 0 in Rⁿ\Ω.

F¨ur die L¨osung u₁ gilt u₁ ∈W_p^2m(Rⁿ) und |||u₁|||_2m,p,Rⁿ ≤Ckfk_L^p_(Ω). Man sucht nun eine L¨osungu₂ ∈W_p^2m(Ω) des Randwertproblems

(A(x, D)−λ)u₂ = 0 in Ω,

B_j(x, D)u₂ =g_j −B_j(x, D)u₁ (j = 1, . . . , m) auf∂Ω. (7-4) Dann ist u₁+u₂ eine L¨osung von (7-3). Somit k¨onnen wir f = 0 annehmen.

(ii)Einfrieren der Koeffizienten: Fixierex₀ ∈∂Ω und w¨ahle ein zux₀ geh¨origes Ko-ordinatensystem. Dies ist ein Koordinatensystem, bez¨uglich welchemx₀ = 0 gilt und f¨ur welches die positive xn-Richtung in Richtung der inneren Normale an x0 zeigt, und das aus dem urspr¨unglichen Koordinatensystem durch Drehung und Verschie-bung hervorgeht. In diesem Koordinatensystem sindx⁰ = (x₁, . . . , xn−1) tangentiale Richtungen. Man ersetzt die Operatoren durch ihren Hauptteil und erh¨alt das sog.

Modellproblem im HalbraumRⁿ+ :={x∈Rⁿ :x_n >0}:

(A₀(x₀, D)−λ)u= 0 in Rⁿ+,

B_j0(x₀, D)u=g_j (j = 1, . . . , m) auf Rⁿ⁻¹ =∂Rⁿ+. (7-5) (iii) Partielle Fouriertransformation: Sei F⁰: S⁰(Rⁿ⁻¹) → S⁰(Rⁿ⁻¹) die Fourier-transformation

”x⁰ 7→ξ⁰“. Angewendet auf (7-5) erh¨alt man (A₀(x₀, ξ⁰, D_n)−λ)v(x_n) = 0 (x_n >0),

B_j0(x₀, ξ⁰, D_n)v(x_n)

xn=0 = (F⁰g_j)(ξ⁰) (j = 1, . . . , m). (7-6) Hier ist v(x_n) := (F⁰u)(ξ⁰, x_n). Die L¨osung u erh¨alt man dann durch partielle Fourier-R¨ucktransformation (F⁰)⁻¹. Man beachte, dass (7-6) eine gew¨ohnliche Dif-ferentialgleichung ist. Somit hat man das urspr¨ungliche Randwertproblem im Kern zur¨uckgef¨uhrt auf die L¨osung einer gew¨ohnlichen Differentialgleichung der Ordnung 2m mit m Anfangsbedingungen.

Die L¨osungen von

(A₀(x₀, ξ⁰, D_n)−λ)v(x_n) = 0 (x_n>0)

sind gegeben durch Funktionen der Form ce^{iτ xn} mit c ∈ C, wobei τ die alge-braische Gleichung A₀(x₀, ξ⁰, τ)−λ = 0 erf¨ullt (mit entsprechenden Modifikatio-nen bei mehrfachen Nullstellen). Falls Imτ > 0, so ist Reiτ < 0 und es gilt v(xn) → 0 (xn → ∞), d.h. die L¨osung ist (asymptotisch) stabil. Falls Imτ < 0, so folgt analog Reiτ > 0, und es gilt |v(x_n)| → ∞ (x_n → ∞). Da wir insgesamt (mindestens) anL^p-L¨osungen interessiert sind, d¨urfen wir nur die stabilen L¨osungen betrachten.

86 7.Parameterelliptische Randwertprobleme

7.23 Definition. a) Das Randwertproblem (7-3) heißt parameterelliptisch in einem Sektor L ⊂ C, falls A(x, D) in diesem Sektor parameterelliptisch ist und folgende Lopatinskii-Shapiro-Bedingung erf¨ullt ist:

(LS)Sei x₀ ∈∂Ω. Schreibe das Randwertproblem (7-3) und zu x₀ geh¨origen Koor-dinaten. Dann hat die gew¨ohnliche Differentialgleichung

(A₀(x₀, ξ⁰, D_n)−λ)v(x_n) = 0 (x_n>0), B_j0(x₀, ξ⁰, D_n)v(x_n)

xn=0 = 0 (j = 1, . . . , m), v(xn)→0 (xn → ∞) nur die triviale L¨osung f¨ur alle (ξ⁰, λ)∈(Rⁿ⁻¹×L)\ {0}.

b) Das Randwertproblem (A(x, D), B₁(x, D), . . . , B_m(x, D)) heißt elliptisch, falls A(x, D) elliptisch ist und die Lopatinskii-Shapiro-Bedingung f¨urλ= 0 erf¨ullt ist.

7.24 Lemma. Sei A(x, D) elliptisch von Ordnung 2m. F¨ur ein x₀ ∈ ∂Ω gelte die Lopatinskii-Shapiro-Bedingung. Sei M der 2m-dimensionale L¨osungsraum von

(A0(x0, ξ⁰, Dn)−λ)v(xn) = 0 (xn>0),

und seiMpmder Unterraum der stabilen bzw. instabilen L¨osungen. Dann giltdimM±= m, und A(x, D) ist proper elliptisch.

Beweis. Sei ξ⁰ ∈Rⁿ⁻¹\ {0} und P :=A₀(x₀, ξ⁰,·). Wir schreiben M =M(ξ⁰). Da P keine reelle Nullstelle besitzt, gilt M(ξ⁰) = M+(ξ⁰)⊕M−(ξ⁰), und dimM±(ξ⁰) ist die Anzahl der Nullstellen von P in C^±.

Nach (LS) ist die lineare Abbildung

M+→C^m, v 7→B_j0(x₀, ξ⁰, D_n)v(x_n) xn=0

injektiv, d.h. es gilt dimM+(ξ⁰) ≤ m. Wegen A0(x0, ξ⁰, τ) = A0(x0,−ξ⁰,−τ) gilt M⁻(ξ⁰) = M+(−ξ⁰), und (LS) liefert dimM₊(−ξ⁰)≤m. Damit

2m = dimM+(ξ⁰) + dimM−(ξ⁰)≤m+m = 2m, und A ist proper elliptisch.

7.25 Korollar. Sei A(x, D) parameterelliptisch in einem Sektor L ⊂ C. Die fol-genden Bedingungen sind jeweils ¨aquivalent zur Lopatinskii-Shapiro-Bedingung.

(i) F¨ur allex₀ ∈∂Ω, alle (ξ⁰, λ)∈(Rⁿ⁻¹×L)\ {0} und alle h₁, . . . , h_m ∈C besitzt (A0(x0, ξ⁰, Dn)−λ)v(xn) = 0 (xn >0),

7. Parameterelliptische Randwertprobleme 87 B_j0(x₀, ξ⁰, D_n)v(x_n)

_x

n=0 =h_j (j = 1, . . . , m), v(x_n)→0 (x_n→ ∞) genau eine L¨osung.

(ii) F¨ur alle x₀ ∈∂Ω und alle (ξ⁰, λ)∈(Rⁿ⁻¹×L)\ {0} ist der Operator T(x₀, ξ⁰, λ) :W_p^2m((0,∞))→L^p((0,∞))×C^m,

v 7→











(A₀(x₀, ξ⁰, D_n)−λ)v B₁₀(x₀, ξ⁰, D_n)v(x_n)

xn=0

...

Bm0(x0, ξ⁰, Dn)v(xn) xn=0









 invertierbar.

Beweis. Die ¨Aquivalenz von (LS) und (i) folgt aus Lemma 7.24 wegen dimM+ = m. Zur ¨Aquivalenz von (i) und (ii) definiert man zu f ∈ L^p((0,∞)) die triviale Fortsetzungfe:=f·χ(0,∞) auf R und l¨ost die gew¨ohnliche Differentialgleichung

(A₀(x₀, ξ⁰, D_n)−λ)v₁(x_n) = f(xe _n) (x_n∈R) durch den Fourieransatz

v1 :=Fx⁻¹n

1

A₀(x₀, ξ⁰, ξ_n)−λFxnfe∈W_p^2m(R).

Damit erreicht man wie oben eine Reduktion auf den Fallf = 0. Die Aussage von (ii) folgt dann daraus, dass eine stabile L¨osung der homogenen Gleichung exponentiell abf¨allt und damit in W_p^2m((0,∞)) liegt.

7.26 Bemerkung. Man betrachtet in (ii) den Operator f¨ur festes ξ⁰ und x0 als Funktion vonλ. Dann istT(λ) = T(x₀, ξ⁰, λ) eine sogenannte Operatorschar, welche linear vom Spektralparameter λ abh¨angt. Das Spektrum einer Operatorschar wird definiert als

σ(T) := {λ∈C:T(λ) nicht bijektiv }.

Damit kann man die Bedingung (ii) in folgender Form schreiben:

F¨ur alle x₀ ∈∂Ω und alle ξ⁰ ∈Rⁿ⁻¹\ {0} istρ(T(x₀, ξ⁰,·))⊃L.

Zum Schluss dieses Abschnitts wollen wir noch den Hauptsatz f¨ur parameterellip-tische Randwertprobleme angeben. Der Beweis verwendet obige L¨osungsstrategie, enth¨alt aber noch eine Reihe technisch aufw¨andiger Details.

In folgendem Satz ist die L^p-RealisierungAB,p des Randwertproblems (A(x, D), B1(x, D), . . . , Bm(x, D))

88 7.Parameterelliptische Randwertprobleme gegeben durch

D(A_B,p) :={u∈W_p^2m(Ω) :B₁u=· · ·=B_mu= 0}, A_B,pu:=A(x, D)u (u∈D(A_B,p)).

7.27 Satz (Hauptsatz f¨ur parameterelliptische Randwertprobleme). Sei Ω ⊂ Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit C^2m−1,1-Rand. F¨ur die Koeffizienten der Operatoren A(x, D) und B_j(x, D) gelte a_α ∈ C(Ω) falls |α| = 2m, a_α ∈ L^∞(Ω) falls |α| < 2m und bjβ ∈C^{2m−mj−1,1}(∂Ω) (j = 1, . . . , m, |β| ≤mj).

Falls das Randwertproblem(A(x, D), B₁(x, D), . . . , B_m(x, D))in einem SektorL ⊂ C parameterelliptisch ist, so existiert ein λ₀ >0 so, dass (7-3) f¨ur alle λ ∈ L mit

|λ| ≥λ₀ und alle

f ∈L^p(Ω), g_j ∈W_p^{2m−mj−1/p}(∂Ω) (j = 1, . . . , m)

eine eindeutige L¨osung u∈W_p^2m(Ω) besitzt, und es gilt die a priori-Absch¨atzung

|||u|||_2m,p,Ω ≤C kfk_L^p_(Ω)+

m

X

j=1

|||g_j|||2m−m_j−1/p,p,∂Ω

(λ∈L,|λ| ≥λ₀).

Insbesondere ist dieL^p-RealisierungA_B,p−λ₀ sektoriell mit Winkelϕ, fallsL = Σ_ϕ. Falls L ⊃Σ_π/2, so erzeugt AB,p−λ0 eine holomorphe Halbgruppe auf L^p(Ω).

89

A. Elemente der Sobolevraumtheorie

A.1 Worum geht’s? In diesem Anhang sollen einige Ergebnisse aus der Theorie der Sobolevr¨aume zitiert werden. Dabei wird nicht in jedem Fall Wert darauf gelegt, die Differenzierbarkeitsbedingungen an das Gebiet minimal zu w¨ahlen.

Im folgenden seiD:=−i(∂_x1, . . . , ∂_xn), und Ω⊂Rⁿein Gebiet. Zum∈NistC^m(Ω) definiert als die Menge aller stetigen Funktionenf: Ω→C, welche eine Fortsetzung fe∈C^m(U) mit einer offenen Teilmenge U ⊃ Ω besitzen. Die Konstanten C, C₁, C₂ in den folgenden Aussagen sind wieder generische Konstanten.

Zun¨achst zitieren wir noch eine Variante der H¨olderschen Ungleichung.

A.2 Satz(H¨older-Ungleichung). Seien 1≤p, q, r ≤ ∞mit ¹_p+¹_q = ¹_r. Dann ist f¨ur f ∈L^p(Ω) und g ∈L^q(Ω) das Produkt f g ∈L^r(Ω) und

kf gk_L^r_(Ω) ≤ kfk_L^p_(Ω)kgk_L^q_(Ω).

A.3 Definition. Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und m ∈ N. Dann ist der Sobolevraum W_p^m(Ω) definiert als die Menge aller u ∈D⁰(Ω) mit D^αu∈ L^p(Ω) (|α| ≤m). Die Norm auf W_p^m(Ω) ist gegeben durch

kuk_m,p,Ω :=kuk_Wp^m_(Ω) := X

|α|≤m

kD^αuk^p_Lp(Ω)

1/p

. Man definiert auch noch die Seminorm

|u|_m,p,Ω :=|u|_Wp^m_(Ω) := X

|α|=m

kD^αuk^p_Lp(Ω)

1/p

.

Im Fall p=∞ modifiziert man wie ¨ublich.

Man beachte, dassk · k_0,p,Ω =k · k_L^p_(Ω).

A.4 Satz. a) Der Sobolevraum W_p^m(Ω) ist ein Banachraum.

b) Sei H_p^m(Ω) die Vervollst¨andigung von {u ∈ C^m(Ω) : kuk_m,p,Ω < ∞}. Dann gilt H_p^m(Ω) =W_p^m(Ω).

c) Falls∂Ωdie Segmentbedingung erf¨ullt, so ist die Menge {u|_Ω :u∈D(Rⁿ)} dicht in W_p^m(Ω).

A.5 Satz (Sobolevscher Einbettungssatz). a) Falls Ω der Kegelbedingung gen¨ugt, so gilt f¨ur m ∈N und p∈[1,∞) mit mp > n und j ∈N0 die Einbettung

W_p^m+j(Ω),→C_b^j(Ω),

90 A. Elemente der Sobolevraumtheorie

d.h. jedes u ∈ W_p^m+j(Ω) ist nach ¨Anderung auf einer Nullmenge eine Funktion in C_b^j(Ω), und die Abbildung u7→u, W_p^m+j(Ω),→C_b^j(Ω) ist stetig.

b) Falls Ω die starke lokale Lipschitzbedingung erf¨ullt, so kann in a) C_b^j(Ω) durch C^j(Ω) ersetzt werden, und es gilt sogar W_p^j+m(Ω),→C^0,γ(Ω) f¨ur alle λ∈(0,1) mit λ≤m− ⁿ_p.

A.6 Satz (Gagliardo-Nirenberg-Ungleichung). Sei Ωein Lipschitz-Gebiet, und sei-en m∈N und p, p₁ ∈(1,∞) gegeben mit

0< τ := n m

1 p − 1

p₁

<1.

Dann gilt W_p^m(Ω),→L_p1(Ω) und

kuk0,p1,Ω ≤Ckuk^τ_m,p,Ωkuk^1−τ_0,p,Ω (u∈W_p^m(Ω)).

A.7 Satz (Interpolations-Ungleichung). Sei Ω ein Gebiet, welches die Kegelbedin-gung erf¨ullt, und seien m, k ∈ N mit 0 < k < m. Dann gilt mit τ := _m^k die Absch¨atzung

|u|_k,p,Ω ≤Ckuk^τ_m,p,Ωkuk_0,p,Ω (u∈W_p^m(Ω)).

F¨ur jedes ε >0 existiert eine Konstante C(ε)>0 mit

|u|_k,p,Ω ≤ε|u|_m,p,Ω+C(ε)kuk_0,p,Ω, kuk_k,p,Ω ≤εkuk_m,p,Ω+C(ε)kuk_0,p,Ω

Literatur 91

Literatur

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[10] Lunardi, A.:Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems.

Birkh¨auser, Basel, 1995.

[11] Pazy, A.:Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Springer, New York etc., 1992.

[12] Tanabe, H.: Equations of evolution. Pitman, London etc., 1979.

[13] Wloka, J.: Partielle Differentialgleichungen. Teubner-Verlag Stuttgart 1982.

Im Dokument Skript zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen II : Sommersemester 2007 (Seite 88-95)