Breitensuche

Ein sehr wichtiger Algorithmus bei der Implementierung eines Workflow-Editors ist die Breitensuche (breadth-first-search). Auch sonst ist die Breitensuche ein Algorithmus, der in fast jedem Programm, das mit Graphen arbeitet, benötigt wird. Die Breitensuche bildet die Grundlage für verschieden

1 FIFO = first in, first out

KAPITEL 4 – DIE SPEICHERUNG UND ANALYSE VON GRAPHEN 50

Algorithmen wie z.B. die Bestimmung von Vorgänger- und Nachfolgermengen eines Knotens und für die Bestimmung des kürzesten Wegs von u nach v. Um die Vorgängermenge über die Breitensuche bestimmen zu können, müssen die gerichteten Kanten des Graphen logisch gedreht werden, da nun alle Knoten bis zum Startknoten gesucht werden.

Bei der Breitensuche werden zuerst alle Knoten bearbeitet, die sich in einer bestimmten Entfernung vom Startknoten befinden.

Bei der Bestimmung der Nachfolgermenge eines Knotens kann folgender auf der Breitensuche basierende Algorithmus benutzt werden:

GetSuccessorSet(n) → S ⊂ V input:

Der Algorithmus zur Bestimmung legt zuerst eine FIFO-Queue Q an, in der alle Knoten gespeichert werden, die schon „entdeckt“ wurden Œ. Als erster Knoten wird der Startknoten in Q gespeichert.

Dann wird die Menge S der Nachfolger mit ∅ initialisiert •.

In der Schleife Ž, die abgebrochen wird, wenn kein Knoten im Graph mehr vorhanden ist wird das jeweils erste Element u aus Q gelesen und entfernt. Danach werden alle Kanten mit Startknoten u gesucht •. Alle Endknoten v der gefundenen Kanten, werden, sofern sie noch nicht in der Nachfolgerliste S gespeichert sind, dort gespeichert und in Q geschrieben. Wenn alle Knoten, die Nachfolgerknoten des Ursprungsknoten n sind, gefunden worden sind, wird die Nachfolgerlist S als Ergebnis zurückgegeben.

Eine weitere Anwendung des Breitensuche-Algorithmus ist die Bestimmung des kürzesten Pfades zwischen den Knoten u und v in einem Graph. Eine Bedingung, damit der Algorithmus funktioniert, ist, daß der Knoten v ein Nachfolger des Knotens u ist. Beim Einfügen von Fehlerkanten muß ein Pfad vom Endknoten zum Startknoten der Fehlerkante bestimmt werden. Der Grund für die Notwendigkeit

4.3 ALGORITHMEN ZUR GRAPHANALYSE 51

des Pfades ist, daß zwischen dem Start- und Endknoten der Fehlerkante kein offener Synchronisationsknoten einer Verzweigung mit „1 aus n“-Semantik sein darf. Um die Existenz eines solchen Knotens festzustellen, müssen alle Knoten aus dem Pfad betrachtet werden. Natürlich ließe sich das Problem auch mit jedem anderen Pfad vom Endknoten zum Startknoten der Fehlerkante lösen, aber der kürzeste Pfad enthält die geringste Anzahl Knoten.

Die Beschreibung des Algorithmus zur Bestimmung des kürzesten Pfades zwischen zwei Knoten bezieht sich auf einen Graphen mit nur einer Kantenart. Im Gegensatz dazu müssen im Editor für das ADEPT-Basismodell nur Kontrollkanten betrachtet werden. Alle anderen Kantenarten werden ignoriert.

FindPathAToB(n1,n2) → Path ⊂ V input

P : Prozeßgraph

output

Pfad : Feld, das den Pfad von u nach v repräsentiert begin

VorgängerVon := VorgängerVon ∪ {(v,u)} ’

Q.push(v) end

u := schwarz “

end

// Code, der kürzesten Pfad von n1 nach n2 aus VorgängerVon-Menge ermittelt s := n2

KAPITEL 4 – DIE SPEICHERUNG UND ANALYSE VON GRAPHEN 52

Der Algorithmus beginnt damit, daß zuerst alle Knoten des Graphen, außer dem Startknoten des Pfades, weiß gefärbt werden Œ. Die Färbungen der Knoten, die im Algorithmus auftauchen, haben folgende Bedeutungen: Weiß bedeutet, daß der Knoten noch nicht besucht wurde. Grau bedeutet, daß der Knoten zwar besucht wurde, aber die Betrachtung noch nicht abgeschlossen ist. Die Farbe Schwarz steht für alle besuchten und vollständig betrachteten Knoten. Der Startknoten des Pfades n1

wird anschließend grau gefärbt und in die FIFO-Queue Q geschrieben •. Q nimmt alle Knoten auf, die noch betrachtet werden müssen. Danach wird die VorgängerVon-Menge mit ∅ initialisiert Ž. Die VorgängerVon-Menge nimmt Knotenpaare auf. Die Bedeutung eines Knotenpaares (x,y) ist, daß Knoten y ein Vorgänger von Knoten x ist. Aufgrund dieser Menge wird später der kürzeste Pfad vom Knoten n1 nach n2 bestimmt.

Die while-Schleife • wird solange durchlaufen, bis keine Knoten mehr betrachtet werden müssen. In jeder Iteration der while-Schleife wird das erste Element von Q gelesen und aus der Queue gelöscht.

In • werden alle Nachfolger v des Knotens u bestimmt. Ist ein Nachfolgerknoten noch weiß ‘, so wird er grau gefärbt und in der VorgängerVon-Menge mit dem Paar (v, u) gespeichert ’. Außerdem wird der Knoten v noch in Q zur Bearbeitung gespeichert. Jeder Knoten, dessen Betrachtung abgeschlossen ist, wird am Ende der while-Schleife schwarz gefärbt “.

Nun beginnt die eigentliche Bestimmung der Knoten des kürzesten Pfads von n1 nach n2. Zuerst wird der Endknoten des Pfads n2 dem Feld Pfad als erstes Element hinzugefügt ”. Dann wird der Pfad mit Hilfe der Elemente der VorgängerVon-Menge aufgebaut. In der VorgängerVon-Menge wird dann das Knotenpaar gesucht, dessen erstes Element der Knoten s ist •. Das zweite Element aus dem Knotenpaar (der Vorgängerknoten von s) ist dann der nächste Knoten des kürzesten Pfades. Damit wird der Pfad vom Endknoten des Pfades aus über die Vorgängerknoten aufgebaut. Der Algorithmus macht sich dabei eine besondere Eigenschaft der VorgängerVon-Menge zunutze. In ‘ läßt sich ein neues Knotenpaar nur erzeugen, wenn der Nachfolgerknoten weiß ist. Bei einem Synchronisationsknoten einer Verzweigung wird ein Knotenpaar mit dem Synchronisationsknoten der Verzweigung nur für den kürzesten Pfad durch die Verzweigung aufgebaut. Ein längerer Pfad durch die Verzweigung wird nicht hinzugenommen, da der Synchronisationsknoten schon eine andere Farbe als Weiß besitzt. Deswegen wird nur der kürzeste Pfad durch eine Verzweigung in den kürzesten Pfad zwischen den Knoten n1 und n2 aufgenommen.

Jeder weitere Knoten des kürzesten Pfads von n1 nach n2 muß nun als erstes Element in das Feld Pfad eingefügt werden, damit die richtige Reihenfolge der Knoten von n1 nach n2 erhalten bleibt. Nachdem dies alles geschehen ist, kann das Feld Pfad als Ergebnis zurückgegeben werden.