Oben wurde bereits dargestellt, wann an einen hyperbolischen Fixpunkt einer L¨osungshalbgruppe stabile und instabile Mannigfaltigkeiten existieren.
Uber die instabile Mannigfaltigkeit l¨¨ aßt sich eine Bl¨atterung definieren, wenn folgende Voraussetzungen erf¨ullt sind:
SeiX ein Banachraum,
S(t) :X →X eine (L¨osungs-)Halbgruppe f¨ur t≥0, und sei 0 ein Gleichgewichtspunkt.
Es seien folgende Voraussetzungen erf¨ullt (verk¨urzt zitiert):
Bl¨ atterungen im Zusammenhang mit PDEs
Oben wurde bereits dargestellt, wann an einen hyperbolischen Fixpunkt einer L¨osungshalbgruppe stabile und instabile Mannigfaltigkeiten existieren.
Uber die instabile Mannigfaltigkeit l¨¨ aßt sich eine Bl¨atterung definieren, wenn folgende Voraussetzungen erf¨ullt sind:
SeiX ein Banachraum,
S(t) :X →X eine (L¨osungs-)Halbgruppe f¨ur t≥0, und sei 0 ein Gleichgewichtspunkt.
Es seien folgende Voraussetzungen erf¨ullt (verk¨urzt zitiert):
1. S(t) sei stetig in (t,u)∈R+×X und erf¨ulle eine Lipschitz-Bedingung.
2. F¨ur einτ lasse sichS(τ) geeignet linearisieren.
3. Es gebe eine unter der Linearisierung Linvariante Zerlegung X =X+⊕X− mitX+ endlichdimensional. Auf den
Unterr¨aumen istL expandierend bzw. kontrahierend.
Danngibt es
1. eine instabile Mannigfaltigkeit M+(0), die sich als Graph einer Lipschitz-Abbildung darstellen l¨aßt, und
2. Es gibt eine Bl¨atterung{Mx} ¨uber die instabile
MannigfaltigkeitM+(0), so daß St(Mx)⊂MS(t)(x),n≥0.
Jedes Mx ist Graph einer stetigen Abbildung.
3. M0 ist dabei stabile Mannigfaltigkeit an 0.
4. F¨ur alleξ ∈X gilt: Mξ∩M−(0) besteht aus genau einem Punkt und
Mx ∩My =∅ f¨ur x6=y und [
x∈M+(0)
Mx =X.
Danngibt es
1. eine instabile Mannigfaltigkeit M+(0), die sich als Graph einer Lipschitz-Abbildung darstellen l¨aßt, und
2. Es gibt eine Bl¨atterung{Mx} ¨uber die instabile
MannigfaltigkeitM+(0), so daß St(Mx)⊂MS(t)(x),n≥0.
Jedes Mx ist Graph einer stetigen Abbildung.
3. M0 ist dabei stabile Mannigfaltigkeit an 0.
4. F¨ur alleξ ∈X gilt: Mξ∩M−(0) besteht aus genau einem Punkt und
Mx ∩My =∅ f¨ur x6=y und [
x∈M+(0)
Mx =X.
Danngibt es
1. eine instabile Mannigfaltigkeit M+(0), die sich als Graph einer Lipschitz-Abbildung darstellen l¨aßt, und
2. Es gibt eine Bl¨atterung{Mx} ¨uber die instabile
MannigfaltigkeitM+(0), so daß St(Mx)⊂MS(t)(x),n≥0.
Jedes Mx ist Graph einer stetigen Abbildung.
3. M0 ist dabei stabile Mannigfaltigkeit an 0.
4. F¨ur alleξ ∈X gilt: Mξ∩M−(0) besteht aus genau einem Punkt und
Mx ∩My =∅ f¨ur x6=y und [
x∈M+(0)
Mx =X.
Es gibt also eineS(t)-invariante Bl¨atterung von X ¨uber die instabile MannigfaltigkeitM+(0).
M+(0) ist eine endlichdimensionale Mannigfaltigkeit, da X+ nach Voraussetzung endlichdimensional ist.
Jedes Blatt istC1, weilMx f¨ur jedesx ∈M+(0) eine stetig
differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, fallsS(t) stetig differenzierbar ist. Die Bl¨atterung ist ebenfalls C1, denn sie
”erbt“ den Bl¨atterungsatlas von den stetig differenzierbaren Atlanten von M+(0) und {Mx}.
Es gibt also eineS(t)-invariante Bl¨atterung von X ¨uber die instabile MannigfaltigkeitM+(0).
M+(0) ist eine endlichdimensionale Mannigfaltigkeit, da X+ nach Voraussetzung endlichdimensional ist.
Jedes Blatt istC1, weilMx f¨ur jedesx ∈M+(0) eine stetig
differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, fallsS(t) stetig differenzierbar ist. Die Bl¨atterung ist ebenfalls C1, denn sie
”erbt“ den Bl¨atterungsatlas von den stetig differenzierbaren Atlanten von M+(0) und {Mx}.
Inertialmannigfaltigkeit
Sei durch
St:X → X u0 7→ u(t)
ein dynamisches System auf einem HilbertraumX definiert.
S sei stetig in (t,u0)∈R+×X und inu0 ∈X stetig differenzierbar.
Die zugrundeliegende partielle Differentialgleichung seidissipativ, d.h.
1. limt→0Stu0=u0 ∈X,
2. Es gibt einY kompakt inX, konvex und absorbierend, d.h. zu jeder beschr¨ankten Menge F ⊂X gibt es eint0=t0(F), so daß Stu0∈Y f¨ur alle t≥t0,u0 ∈F.
Inertialmannigfaltigkeit
Sei durch
St:X → X u0 7→ u(t)
ein dynamisches System auf einem HilbertraumX definiert.
S sei stetig in (t,u0)∈R+×X und inu0 ∈X stetig differenzierbar.
Die zugrundeliegende partielle Differentialgleichung seidissipativ, d.h.
1. limt→0Stu0=u0 ∈X,
2. Es gibt einY kompakt inX, konvex und absorbierend, d.h. zu jeder beschr¨ankten Menge F ⊂X gibt es eint0=t0(F), so daß Stu0∈Y f¨ur alle t≥t0,u0 ∈F.
Inertialmannigfaltigkeit
Es existiere weiter eineInertialmannigfaltigkeit M, d.h. eine endlichdimensionale Mannigfaltigkeit inX, f¨ur die gilt:
StM ⊂ M,∀t≥0, Msei kompakt und zusammenh¨angend undC2.
Sie enth¨alt insbesondere den globalen Attraktor der partiellen Differentialgleichung und zieht alle Orbits exponentiell an.
Voraussetzung f¨ur ihre Existenz ist eine bestimmte Struktur des Spektrums des linearen AnteilsAvon F =A+R. Das Spektrum muß aus isolierten Punkten bestehen, deren Abst¨ande zueinander desto gr¨oßer werden, je gr¨oßer ihr Betrag ist.
Inertialmannigfaltigkeit
Weiter nehme ich an, daßMnormal hyperbolisch ist, d.h. es existiert einedSt-invariante Zerlegung des Tangentialb¨undels ¨uber M
TmX =Xms ⊕Xmu⊕TmM,∀m∈ M, so daß
dStXms ⊂XSstm dStXmu ⊂XSutm dSt(TmM)⊂TStmM,
unddSt eingeschr¨ankt auf Xu expandiert zu einem st¨arkeren Grad alsdSt entlang TM, sowiedSt eingeschr¨ankt auf Xs kontrahiert zu einem st¨arkeren Grad als dSt entlang TM.
Inertialmannigfaltigkeit
Die normale Hyperbolizit¨at ist keine starke Forderung. In den meisten F¨allen ist die Inertialmannigfaltigkeit, wenn sie denn existiert, auch normal hyperbolisch. Dies folgt unmittelbar aus der Struktur des Spektrums.
Inertialmannigfaltigkeit
Man kann zeigen, daß in einer-Umgebungθ() der
InertialmannigfaltigkeitMeine eindeutige C1- zentrumstabile MannigfaltigkeitWcs() und eineC1-zentrumsinstabile MannigfaltigkeitWcu() f¨ur St existiert, so dasß
M=Wcs()∩Wcu(), und
∀m∈M :TmWcs() =Xms ⊕TmM.
.
Inertialmannigfaltigkeit
Wcs(),Wcu() sind invariant unterSt1 und bestimmen das asymptotische Verhalten des HalbflussesSt in θ().
F¨ur jeden Punktx ∈Wcs() gibt es einm∈ M, so daß Stx und Stm daßelbe asymptotische Verhalten besitzen.
Demnach kann die zentrumstabile Mannigfaltigkeit in disjunkte Untermannigfaltigkeiten entsprechend des asymptotischen
Verhaltens zerlegt werden. Es l¨aßt sich also eine Bl¨atterung auf ihr definieren. Dies ist die Aussage des folgenden Satzes:
Inertialmannigfaltigkeit
Zu einem >0 klein gibt es eine eindeutige Familie von C1-Untermannigfaltigkeiten {Wmss() :m∈ M}, die eine Bl¨atterung von Wcs() bilden, so daß
∀m∈ M: TmWmss() =Ems, und f¨ur x,y ∈Wmss():
|Stx−Sty| →0 f¨ur t → ∞.
Inertialmannigfaltigkeit
{Wmss()}bilden eineinvariante stabile Bl¨atterung aufWcs().
Ein analoger Satz l¨aßt sich f¨ur die zentrumsinstabile
Mannigfaltigkeit zeigen. Es l¨aßt sich weiter zeigen, daß ein 1 >0 existiert, so daß f¨ur alle < 1 die Bl¨atterung eindeutig als Graph einer Lipschitzstetigen Funktion dargestellt werden kann und St-invariant ist. Die stabile Bl¨atterung ist C1.
Beispiel
Sei
ut =ν∆u+f(x,u)
eineReaktion-Diffusionsgleichung mit den g¨angigen Randbedingungen auf Ωn= (0,2π)n⊂Rn,u ∈Rd. Dann besitzt die Gleichung f¨ur jedesν >0 eine Inertialmannigfaltigkeit, fallsn = 1,2,3.
Außerdem ist die Inertialmannigfaltigkeitnormal hyperbolisch.
Zusammenfassung
Warum so kompliziert?
Idee:
Aquivalenz zwischen der¨ Existenz bestimmter geometrischer Strukturen der Mannigfaltigkeitd.h. der Bl¨atterung und dem dynamischen Verhalten einer partiellen Differentialgleichung.
Beispielsweise ist die Frage, ob es eine glatte eindimensionale Bl¨atterung auf einer zweidimensionalen Sph¨are gibt,
gleichbedeutend mit der Frage, ob es ein nichtsingul¨ares Vektorfeld auf der Sph¨are gibt.
Zusammenfassung
Es stellt sich die Frage, ob mandas dynamische Verhalten von Bl¨atterungen, d.h. Entropie, Wachstum von Bl¨attern und Existenz besonderer Strukturen in der Bl¨atterung, direkt mit dem dynamischen Verhalten einer partiellen Differentialgleichung in Verbindung setzen kann.
I Wie kann man der Holonomie-Gruppeeine konkrete Bedeutung in Bezug auf PDEs verleihen?
I Existenz minimaler oder außergew¨ohnlicher Bl¨atter−→
Chaos?
I Kann man dieEntropieeiner Bl¨atterung mit der Dynamik der PDE verbinden?
Beschreibt man die globalen stabilen Mannigfaltigkeiten als Bl¨atter einer Bl¨atterung, kann man durch Untersuchung der Bl¨atterung verstehen, wie sie im Raum liegen und was sie mit lokal
transversalen Schnitten, den instabilen Mannigfaltigkeiten, machen.